7.4 三角函数应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

7.4　三角函数应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]　　　　　　　　 [课时目标] 1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象. 2.通过构建三角函数模型,尝试解决物理、生活中的简单问题. 题型(一)　三角函数在物理中的应用 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 (1)x表示时间,y表示相对于平衡位置的偏离. (2)A:物体运动时离开平衡位置的最大距离,称为振幅. (3)T:T=,它表示往复运动一次所需的时间,称为周期. (4)f:f==,它表示物体在单位时间内往复运动的次数,称为频率. (5)ωx+φ:称为相位;φ:当x=0时的相位,称为初相位. [例1]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题. (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? [解]　列表如下: t - 2t+ 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 s 0 4 0 -4 0 描点、连线,图象如图实线部分所示. (1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2, 所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. |思|维|建|模| 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. [针对训练] 1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边,角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是 (　 ) A.2, B., C.,π D.2,π 解析:选B　当t=0时,θ=sin=.由函数解析式易知,单摆周期为=π,故单摆频率为. 2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图是该函数在一个周期内的图象,求该函数的解析式; (2)如果t在任意一段 s的时间内,电流I都能取到最大值和最小值,那么ω的最小值是多少? 解:(1)由题图可知,A=300,周期T=2×=,∴ω==150π. 又当t=时,I=0,则sin=0,即sin=0.又|φ|<,∴φ=. 故所求的函数解析式为I=300sin. (2)依题意,周期T≤,即≤,∴ω≥300π.故ω的最小值为300π. 题型(二)　三角函数在生活中的应用 [例2]　某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2sin,t∈[0,24]. (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? [解]　(1)因为f(t)=10-2sin,t∈[0,24],所以≤t+≤,-1≤sin≤1. 因为当t=2时,sin=1; 当t=14时,sin=-1, 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,得当f(t)>11时实验室需要降温. 所以10-2sin>11, 即sin<-. 又0≤t≤24, 因此,<t+<,即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温. |思|维|建|模|　解三角函数应用问题的基本步骤 　　[针对训练] 3.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin 160πt+115,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较. 解:(1)T===(min). (2)f==80,即此人每分钟心跳的次数为80. (3)p(t)max=115+25=140(mmHg), p(t)min=115-25=90(mmHg), 即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,在正常值范围内. 题型(三)　数据拟合模型的应用 [例3]　下表所示的是某地2001~2023年的月平均气温(华氏度). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴,x=月份-1,平均气温为y轴建立平面直角坐标系. (1)描出散点图,并用正弦曲线去拟合这些数据; (2)这个函数的周期是多少? (3)估计这个正弦曲线的振幅A; (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据? ①=cos;②=cos;③=cos; ④=sin. [解]　(1)根据表中数据画出散点图,并用曲线拟合这些数据,如图所示. (2)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据散点图知=6-0=6,∴T=12. (3)∵2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,∴A=25.8. (4)∵x=月份-1,∴不妨取x=2-1=1,y=26.0, 代入①,得=>1≠cos,∴①不适合. 代入②,得=<0≠cos, ∴②不适合.同理④不适合,∴③最适合. |思|维|建|模| 处理曲线拟合与预测问题的一般步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据. [针对训练] 4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.  t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0 解析:设y=Asin(ωt+φ),则从题表中可以得到A=4,ω===.又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,取φ=-,故y=4sin,即y=-4cost. 答案:y=-4cost 5.下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时): 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 (1)作出这些数据的散点图; (2)选用一个三角函数来近似描述这些数据. 解:(1)散点图如图所示. (2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+c, 由图象可知:c==37, A==0.4,ω===. ∵ 0.4sin+37=37.4, ∴ sin=1,取φ=-. 故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据. [课时检测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　 ) A.5 B.6 C.8 D.10 解析:选C　根据题图得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,所以水深的最大值为3+k=8. 2.已知初速度为v0,发射角为θ,则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为 (　 ) A.y=v0t B.y=v0tsin θ C.y=v0tsin θ-gt2 D.y=v0tcos θ 解析:选C　由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ,故炮弹上升的高度y=v0tsin θ-gt2. 3.(多选)如图,弹簧挂着的小球上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin,t∈,下列说法正确的是 (　 ) A.小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 解析:选ABC　令t=0,得h=,即小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处,A正确;由h=2sin,知h的最大值为2,最小值为-2,则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm,B正确;函数的周期T=2π,即往复振动一次需2π s,C正确;当t=π时,h=2sin=2×=-≠-2,D错误.故选A、B、C. 4.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的 (　 ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 解析:选C　当10≤t≤15时,有<5≤≤<,此时F(t)单调递增,即车流量在增加.故选C. 5.(5分)已知一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是　　　　.  解析:因为函数y=-sinx的周期T=4,且x=3时y=1,取得最大值,所以t≥7.所以正整数t的最小值是7. 答案:7 6.(5分)如图是电流强度I(单位:安)随时间t(单位:秒)变化的函数I=Asin(A>0,ω>0)的图象,则当t=秒时,电流强度是　　　　安.  解析:由题图可知,A=10,周期T=2×=,所以ω==100π.所以I=10sin.当t=秒时,I=10sin=5(安). 答案:5 7.(5分)如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为　　　　　　　　　.  解析:设h=Asin(ωt+φ),由题图知A=6,T=12,∴=12,即ω==.点(6,0)为五点法作图中的第一点,故×6+φ=0,得φ=-π,∴h=6sin=-6sint(0≤t≤24). 答案:h=-6sint(0≤t≤24) 8.(5分)如图,圆O的半径为2,l为圆O外一条直线,圆心O到直线l的距离|OA|=3,P0为圆周上一点,且∠AOP0=,点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后,点P的横坐标为　　　　;  (2)t秒钟后,点P到直线l的距离用t可以表示为　　　　.  解析:(1)1秒钟后,点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周,此时点P与P0关于原点对称,从而点P的横坐标为-. (2)由题意得,周期为2,则t秒钟后,旋转角为πt,则此时点P的横坐标为2cos,所以点P到直线l的距离为3-2cos,t≥0. 答案:(1)-　(2)3-2cos(t≥0) 9.(10分)通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃. (1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;(7分) (2)29日上午9时某高中将举行期末考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?(3分) 解:(1)由题意知解得易知=14-2,所以T=24,所以ω=, 易知8sin+6=-2, 即sin=-1, 故+φ=-+2kπ,k∈Z, 又|φ|<π,得φ=-, 所以y=8sin+6(x∈[0,24)). (2)当x=9时,y=8sin+6=8sin+6<8sin+6=10. 所以届时学校后勤应该开空调. 10.(15分)为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(8分) (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?(7分) 解:(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100, 所以f(8)=500. 根据上述分析可得,=12, 故ω=,且解得 根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大, 故sin=-1,且sin=1. 又因为0<|φ|<π,故φ=-. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300. (2)由条件可知200sin+300≥400, 化简得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z, 解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物. 学科网（北京）股份有限公司 $$