2.3 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的综合问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步学习全称量词命题与存在量词命题,会判断命题的真假及初步了解不等式恒(能)成立问题. 题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N, 2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使=0; (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角α,使sin α=. [解]　(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题. (3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题. |思|维|建|模| 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”. (2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题. [针对训练] 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 解析:选B　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,q是假命题.综上,p和q都是真命题. 2.对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假. (1)p:∃x∈∁RQ,x2∈Q; (2)p:所有能被2整除的数都是偶数; (3)p:存在x∈R,使得2x≤0; (4)p:∃x∈Z+,∈N. 解:(1)p:∀x∈∁RQ,x2∉Q,当x=∈∁RQ,则x2=2∈Q,所以p为假命题. (2)p:存在能被2整除的数不是偶数,因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题,所以p为假命题. (3)p:对于任意的x∈R,都有2x>0,因为函数2x>0,所以p为真命题. (4)p:∀x∈Z+,∉N,因为=3-,且x∈Z+,所以x+1>1,所以0<<1,所以3-∉N,即∉N,所以p为真命题. 题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用 [例2]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围. [解]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}. 　　[变式拓展] 　若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围. 解:由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是{a|a<1}. |思|维|建|模| 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. [针对训练] 3.已知命题p:“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5. 答案:{m|m≤5} 4.已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p是假命题,求实数a的取值范围. 解:因为p是假命题,所以p是真命题, 又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}, 则解得-3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. [课时检测] 1.命题p:存在一个实数,它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是 (　 ) A.p:任意实数,它的绝对值是正数,p为假命题 B.p:任意实数,它的绝对值不是正数,p为假命题 C.p:存在一个实数,它的绝对值是正数,p为真命题 D.p:存在一个实数,它的绝对值是负数,p为真命题 解析:选A　因为命题p“存在一个实数,它的绝对值不是正数”为存在量词命题,其否定p为“任意实数,它的绝对值是正数”,因为|0|=0,所以p为假命题. 2.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 (　 ) A.实数都大于0 　B.有些菱形是正方形 C.三角形内角和为180° 　D.有小于1的自然数 解析:选C　实数都大于0,是全称量词命题,但不是真命题,所以A选项错误;有些菱形是正方形,是真命题,但不是全称量词命题,所以B选项错误;三角形内角和为180°,是真命题,也是全称量词命题,所以C选项正确;有小于1的自然数,是真命题,但不是全称量词命题,所以D选项错误. 3.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 (　 ) A.p:∃x∈R,x2+1=0 B.p:∀x∈R,x2+1=0 C.p是真命题,p是假命题 D.p是假命题,p是真命题 解析:选AC　命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x∈R,x2+1=0”.所以p是真命题,p是假命题. 4.(多选)下列命题是假命题的为 (　 ) A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5x+1=0 C.任意x∈R,x2-1=0 D.任意x∈R,x2+x+2>0 解析:选ABC　选项A中,<x<且x∈Z,不成立;选项B中,x=-,与x∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确. 5.已知命题p:“∃x∈R,使得x2-2x+m=0成立”是真命题,则实数m的取值范围是 (　 ) A.{m|m<3} B.{m|m>3} C.{m|m≤3} D.{m|m≥3} 解析:选C　∃x∈R,使得x2-2x+m=0成立⇔Δ=12-4m≥0,∴m≤3. 6.已知非空集合M,P,则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是 (　 ) A.∀x∈M,x∉P B.∀x∈P,x∈M C.∃x1∈M,x1∈P且x2∈M,x2∉P D.∃x∈M,x∉P 解析:选D　因为M⊆P等价于∀x∈M,x∈P,又“M⊆P”是假命题,所以其否定为∃x∈M,x∉P.故选D. 7.有四张卡片,它们的一面为数字,另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上,只能看到向上面的情况如图.对于命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,要验证p的真假,至少要翻开的是 (　 ) A.①④ B.①② C.①③ D.①③④ 解析:选A　根据命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,因为①的向上面为大写字母,④的背面可能是大写字母,所以要验证p的真假,至少要翻开的是①④. 8.(5分)命题“已知y=|x|-1,∀x∈R都有m≤y”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由已知y=|x|-1,得y≥-1,要使∀x∈R,都有m≤y成立,只需m≤-1. 答案:{m|m≤-1} 9.(5分)能够说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为　　　　.  解析:∵x∈N*,将x代入1,2,3,…可知,当x=3时,23<32,∴说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题. 答案:3 10.(5分)某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致?　　　　.(填“是”“否”中的一个)  解析:因为命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,而命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 答案:是 11.(10分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假. (1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;(5分) (2)p:∀x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.(5分) 解:(1)p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根. ∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,∴p为假命题. (2)p:∃x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0. ∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,当x=0,y=0时,x2+y2+2x-4y+5≠0成立,∴p为真命题. 12.(10分)已知命题“∀x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围. 解:题中的命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“∃x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根. 所以a=0或即a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1. 故实数a的取值范围是{a|a≤1}. 13.(10分)已知集合A={x|-3≤x≤10},B={x|2m+1≤x≤3m-2},且B≠⌀. (1)若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围;(5分) (2)若命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围.(5分) 解:(1)由命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,可知B⊆A,又B≠⌀,所以解得3≤m≤4. 故m的取值范围是{m|3≤m≤4}. (2)因为B≠⌀,所以2m+1≤3m-2,得m≥3. 因为命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题, 所以A∩B≠⌀, 所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10, 得-2≤m≤. 综上,m的取值范围是. 14.(10分)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0,若命题p和命题q都是真命题,求实数a的取值范围. 解:若命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0为真命题,则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立, ∴a≤1. 若命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0为真命题, 则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2. ∵命题p和命题q都是真命题, ∴解得a≥2. 故a的取值范围是{a|a≥2}. [阶段质量评价]　　　　第1、2章　集合　常用逻辑用语 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.集合A={0,1,2,3}的真子集的个数是 (　 ) A.16 B.15 C.8 D.7 解析:选B　集合A的元素个数为4,故集合A的真子集个数为24-1=15. 2.已知x∈R,则“x≠0”是“x+|x|>0”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　由x+|x|>0可解得x>0,∵“x≠0”是“x>0”的必要且不充分条件,故“x≠0”是“x+|x|>0”的必要且不充分条件. 3.设命题p:∃x∈Z,|x|∈N,则命题p的否定是 (　 ) A.∃x∉Z,|x|∈N B.∀x∉Z,|x|∉N C.∃x∈Z,|x|∉N D.∀x∈Z,|x|∉N 解析:选D　由题意知,命题p的否定为∀x∈Z,|x|∉N. 4.已知集合A={x∈N|x≤2},B={-1,0,1,3},则A∩B= (　 ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2} 解析:选C　由题意A={0,1,2},B={-1,0,1,3},∴A∩B={0,1}. 5.已知集合M={x|x≤0或x≥2},N={x|m<x<n},若M∩N=⌀,M∪N=R,则m+n= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　∵M={x|x≤0或x≥2},N={x|m<x<n},M∩N=⌀,M∪N=R, ∴N={x|0<x<2},∴m=0,n=2,m+n=2. 6.已知集合M,N是全集U的两个非空子集,且M⊆(∁UN),则 (　 ) A.M∩N=⌀ B.M⊆N C.N⊆M D.N∪(∁UM)=U 解析:选A　∁UN表示集合N的补集,因为M⊆(∁UN),所以M∩N=⌀. 7.下列所给的各组p,q中,p是q的充要条件的为 (　 ) A.p:a<0,q:|a|>0 B.p:两个三角形全等,q:两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C.p:a=b,q:a2=b2 D.p:两直角三角形的斜边相等,q:两直角三角形全等 解析:选B　A选项,|a|>0,解得a>0或a<0,所以a<0⇒|a|>0,但|a|>0a<0,故p是q的充分且不必要条件,故A错误;B选项,根据全等三角形的性质及判定可知,p⇔q,故p是q的充要条件,故B正确;C选项,由a2=b2可得a=b或a=-b,p⇒q,qp,则p是q的充分且不必要条件,故C错误;D选项,两直角三角形全等,则两直角三角形的斜边相等,但两直角三角形的斜边相等,两直角三角形不一定全等,例如:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1, BC=,斜边AC=2,在Rt△DEF中,∠E=90°,DE=EF=2,则斜边DF=2,故p是q的必要且不充分条件,故D错误.故选B. 8.设p:4x-3<1;q:x-(2a+1)<0,若p是q的充分且不必要条件,则 (　 ) A.a>0 B.a>1 C.a≥0 D.a≥1 解析:选A　由已知可得p:x<1,q:x<2a+1,因为p是q的充分且不必要条件,所以2a+1>1,解得a>0. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列四个命题中真命题为 (　 ) A.∀x∈R,2x2-3x+4>0 B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0 C.∃x∈N*,x为29的约数 D.对实数m,命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0,命题q:m≥3,则p是q的必要且不充分条件 解析:选ACD　2x2-3x+4=2+≥>0,A正确;由x=-1,则2x+1=-1<0,B不正确;29的约数有1和29,C正确;∀x∈R,x2-4x+2m≥0,则Δ=(-4)2-8m≤0,即m≥2,p是q的必要且不充分条件,D正确. 10.下列结论正确的是 (　 ) A.“x2>1”是“x>1”的充分且不必要条件 B.设MN,则“x∉M”是“x∉N”的必要且不充分条件 C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分且不必要条件 D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件 解析:选BC　对于A,x2>1x>1,x>1⇒x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要且不充分条件,故A错误;对于B,由MN得∁RN∁RM,则x∉N⇒x∉M,x∉Mx∉N,所以“x∉M”是“x∉N”的必要且不充分条件,故B正确;对于C,由“a,b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”,但是当“a+b是偶数”时,a,b可能都是奇数,所以“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分且不必要条件,故C正确;对于D,“a>1且b>1”⇒“a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1”“a>1且b>1”,比如a=3,b=.所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分且不必要条件,故D错误. 11.已知集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},则下列说法正确的是 (　 ) A.若A={1,2,3},B={3,4},则A-B={1,2},B-A={4} B.(A-B)∩(B-A)=⌀ C.(A-B)∪(B-A)=A∪B D.若A=B,则A-B=⌀ 解析:选ABD　对于A,集合A={1,2,3},B={3,4},则A-B={x|x∈A且x∉B}={1,2},B-A={x|x∈B且x∉A}={4},A正确;对于B,A-B={x|x∈A且x∉B},B-A={x|x∈B且x∉A},则(A-B)∩(B-A)=⌀,B正确;对于C,取选项A中的集合A与B,有(A-B)∪(B-A)={1,2,4},而A∪B={1,2,3,4},C不正确;对于D,若A=B,则A-B={x|x∈A且x∉A}=⌀成立,D正确.故选A、B、D. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)命题“∃x≥1,x2-2<0”的否定是　　　　.  答案:∀x≥1,x2-2≥0 13.(5分)已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为集合A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},且A⊆B,所以a≤-2. 答案:(-∞,-2] 14.(5分)设集合A={x|2x2-ax+b=0,x∈R},B={x|bx2+(a+2)x+b=0,x∈R},则A∩B=的充要条件是　　　　.  解析:由A∩B=,可知∈A,∈B,于是解得此时A=,B=,符合A∩B=.故A∩B=的充要条件是a=-,b=-. 答案:a=-,b=- 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-2≤x≤4},a∈R. (1)当a=2时,求A∪B和A∩B;(5分) (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.(8分) 解:(1)当a=2时,集合A={x|1≤x≤7},B={x|-2≤x≤4}, 由集合并集运算可得A∪B={x|1≤x≤7}∪{x|-2≤x≤4}={x|-2≤x≤7},由交集运算可得A∩B={x|1≤x≤7}∩{x|-2≤x≤4}={x|1≤x≤4},即A∪B={x|-2≤x≤7},A∩B={x|1≤x≤4}. (2)若A∩B=A,则A⊆B, 当A=⌀时,a-1>2a+3,解得a<-4; 当A≠⌀时,满足且a≥-4, 解得-1≤a≤. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪. 16.(15分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|mx-1=0}. (1)求A;(5分) (2)若B⊆A,求实数m的取值集合.(10分) 解:(1)由x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,故A={1,2}. (2)①当B=⌀时,m=0符合; ②当B≠⌀,即m≠0时,则B=,由B⊆A可得=1或=2,解得m=或m=1. 综上,实数m的取值集合为. 17.(15分)设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|-1-2a≤x≤a-2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围;(5分) (2)若命题“∀x∈B,则x∈A”是真命题,求实数a的取值范围.(10分) 解:(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,又B={x|-1-2a≤x≤a-2}, 即解得a≥7. 故实数a的取值范围为[7,+∞). (2)命题“∀x∈B,则x∈A”是真命题,故B⊆A. ①当B=⌀时,-1-2a>a-2,解得a<; ②当B≠⌀时,∵A={x|1≤x≤5},B={x|-1-2a≤x≤a-2},且B⊆A,∴解得a∈⌀.综上所述,实数a的取值范围为. 18.(17分)记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件;(5分) (2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.(12分) 解:(1)因为原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2, 所以x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0, 由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2, 所以当Δ2=0时,M恰有3个元素,即a2-4b=8, 故M恰有3个元素的充要条件为a2-4b=8. (2)必要性:由(1)知,两个方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0, 两个方程的三个根分别为--2,-+2,-, 若它们是直角三角形的三边, 则+=, 解得a=-16,b=62. 充分性:若a=-16,b=62,可解得M={6,8,10},以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形. 所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a=-16,b=62. 19.(17分)设A是实数集的非空子集,称集合B={uv|u,v∈A且u≠v}为集合A的生成集. (1)当A={2,3,5}时,写出集合A的生成集B;(2分) (2)若A是由5个正实数构成的集合,求其生成集B中元素个数的最小值;(7分) (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并说明理由.(8分) 解:(1)因为A={2,3,5},所以B={6,10,15}. (2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0<a1<a2<a3<a4<a5, 因为a1a2<a1a3<a1a4<a1a5<a2a5<a3a5<a4a5,所以B中元素个数大于等于7个. 如A={21,22,23,24,25},B={23,24,25,26,27,28,29},此时B中元素个数等于7个, 所以生成集B中元素个数的最小值为7. (3)不存在,理由如下: 假设存在4个正实数构成的集合A={a,b,c,d},使其生成集B={2,3,5,6,10,16}, 不妨设0<a<b<c<d,则集合A的生成集B={ab,ac,ad,bc,bd,cd},则必有ab=2,cd=16,其4个正实数的乘积abcd=32; 也有ac=3,bd=10,其4个正实数的乘积abcd=30,矛盾. 所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16}. 学科网（北京）股份有限公司 $$