2.3 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的综合问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的综合问题

 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

进一步学习全称量词命题与存在量词命题,会判断命题的真假及初步了解不等式恒(能)成立问题.

题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断

 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.

(1)∀x∈N, 2x+1是奇数;

(2)存在一个x∈R,使=0;

(3)对任意实数a,|a|>0;

(4)有一个角α,使sin α=.

[解]　(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.

(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.

(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.

(4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题.

 

 

 

|思|维|建|模|

 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”.

(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.

[针对训练]

1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　)

A.p和q都是真命题

B.p和q都是真命题

C.p和q都是真命题

D.p和q都是真命题

解析:选B　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,q是假命题.综上,p和q都是真命题.

2.对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假.

(1)p:∃x∈∁RQ,x2∈Q;

(2)p:所有能被2整除的数都是偶数;

(3)p:存在x∈R,使得2x≤0;

(4)p:∃x∈Z+,∈N.

解:(1)p:∀x∈∁RQ,x2∉Q,当x=∈∁RQ,则x2=2∈Q,所以p为假命题.

(2)p:存在能被2整除的数不是偶数,因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题,所以p为假命题.

(3)p:对于任意的x∈R,都有2x>0,因为函数2x>0,所以p为真命题.

(4)p:∀x∈Z+,∉N,因为=3-,且x∈Z+,所以x+1>1,所以0<<1,所以3-∉N,即∉N,所以p为真命题.

题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用

[例2]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.

[解]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}.

　　[变式拓展]

　若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.

解:由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是{a|a<1}.

|思|维|建|模|

利用含量词命题的真假求参数的取值范围

(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.

(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.

[针对训练]

3.已知命题p:“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5.

答案:{m|m≤5}

4.已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p是假命题,求实数a的取值范围.

解:因为p是假命题,所以p是真命题,

又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5},