精品解析：江苏省宿迁市沭阳县广宇学校2023-2024学年上学期九年级数学第一次月考试卷

2023～2024学年度广宇第一学期九年级第一次形成性测试 数 学 试 卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 加权平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的特点，参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数即可． 【详解】解：根据题意，由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数是多少． 故选：D． 【点睛】本题考查中位数，理解中位数的特点，熟知中位数是一组数据从小到大的顺序依次排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）是解答的关键． 2. 下面关于x的方程①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：①，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； ②是一元二次方程，故符合题意； ③不是一元二次方程，故不符合题意； ④是一元二次方程，故符合题意； ⑤不是一元二次方程，故不符合题意； 综上所述，一元二次方程有②④，共个， 故选：B． 3. 如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】由是的直径，可得的值，又由，则可得，由圆周角定理可得. 【详解】由是的直径，可得，又由，则可得，由圆周角定理可得.故选择D项. 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理. 4. 如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 16 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线长定理可得，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得． 【详解】由切线长定理得：， 则三角形ABC的周长为， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题关键． 5. 如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（　　） A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 1．5cm 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键． 6. 已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k>且k≠2 B. k≥且k≠2 C. k >且k≠2 D. k≥且k≠2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此列出关于k的不等式，解答即可． 【详解】∵方程为一元二次方程， ∴k－2≠0，即k≠2． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0， ∴5（4k－3）＞0， ∴k＞． ∴k的取值范围是k＞且k≠2． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键． 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接CE， ∴∠CED＝∠CEA＝90°， ∴点E在以AC为直径的⊙Q上， ∵AC＝10， ∴QC＝QE＝5， 当点Q、E、B共线时BE最小， ∵BC＝12， ∴QB＝＝13， ∴BE＝QB﹣QE＝8， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 8. 如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即的周长最小，求此时的周长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即的周长最小 设与相切于，连接， 则， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 二、 填空题（每题3分，共30分） 9. 已知一组数据a、b、c的平均数为5，则、、的平均数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数据a，b，c的平均数为5可知(a+b+c)=5，据此可得出(++)的值即可． 【详解】解：已知， 所以， ， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查平均数，熟记平均数计算公式是解题的关键． 10. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法可以解答此方程． 【详解】∵（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，∴[（x2+y2）﹣5][（x2+y2）+1]=0，∴x2+y2=5或x2+y2=﹣1（舍去）． 故答案为5． 【点睛】本题考查了换元法解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法，将x2+y2看做一个整体，注意x2+y2是非负数． 11. 已知实数m，n满足，，且，则=______． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，． ∴原式===，故答案为． 考点：根与系数的关系． 12. 在直径为10cm的⊙O中，弦AB的长为5cm，则AB所对的圆周角是_____． 【答案】45°或135° 【解析】 【分析】连接OA、OB，∠C和∠D为AB所对的圆周角，根据勾股定理的逆定理可证△OAB为直角三角形，∠AOB＝，然后根据圆周角定理可得∠C＝∠AOB＝ ，然后根据圆内接四边形的性质可计算出∠D＝． 【详解】解：连接OA、OB，∠C和∠D为AB所对的圆周角，如图 ∵OA＝OB＝5，AB＝5， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∴∠C＝∠AOB＝， ∴∠D＝180°-∠C＝． 即AB所对的圆周角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和圆周角定理，圆内接四边形的性质等，理解题意，根据题意作出相应图形求解是解题关键． 13. 已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，根据一元二次方程有实数根得到，进行求解即可． 【详解】解：当时，原方程化为：，解得：，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：； ∴且； 综上：． 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 15. 有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为正整数，求得a=0，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：解分式方程，得 ， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∴， ∴，1， ∵分式方程的解为正整数，当时，不合题意， ∴， ∴使关于的分式方程有正整数解的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，求概率，熟练掌握根据分式方程解的情况求参数和概率公式是解题的关键． 16. 如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径，得到，进而求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，延长交于点E， ∴，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由中得到要使取得最小值，即需取最小值，连接，交于点即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 要使取得最小值，即需取最小值， 连接，交于点，此时取得最小值， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ，    故答案为：． 18. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2﹣2. 【详解】连结AE，如图1， ∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=， ∴AB=AC=4， ∵AD为直径， ∴∠AED=90°， ∴∠AEB=90°， ∴点E在以AB为直径的O上， ∵O的半径为2， ∴当点O、E. C共线时,CE最小,如图2 在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4， ∴OC=， ∴CE=OC−OE=2﹣2， 即线段CE长度的最小值为2﹣2. 故答案为:2﹣2. 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质. 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）先移项，然后用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）将看作一个整体，用式子相乘法分解因式，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 分解因式得：， 即， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：，． 20. 如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，可得，得到，又由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某中学准备随机选出七、八、九三个年级各1名学生担任领操员，现已知这三个年级分别选送一男、一女共6名学生为备选人，请你利用树状图或表格求选出“两女一男”三名领操员的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列树状图的方法求概率，先根据题意画出树状图，然后根据树状图得出总情况数和“两女一男”的情况数，最后根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：画树状图得． ∵从树状图可知：共有8种结果，且每种结果都是等可能的，其中“两女一男”的结果有3种， ∴选出“两女一男”三名领操员的概率为． 22. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元其销售量就减少10件． （1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ （2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？ 【答案】（1）应将每件售价定为12或16元时，能使每天利润为640元； （2）当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元． 【解析】 【分析】（1）根据等量关系“利润（售价进价）×销量”列出函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值． 【小问1详解】 解：设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元， 则， 解得：． 答：应将每件售价定为12或16元时，能使每天利润为640元； 【小问2详解】 解：设利润为y： 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． 23. 阅读下面的材料，回答问题： 爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题． 例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1 （1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是　 　； （2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为　 　； （3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积． 【答案】（1）5；（2）7；（3）能，最大面积为98m2 【解析】 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答； （2）将函数方程x2＋3x＋y−3＝0代入y-x，把y-x表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值． （3）根据题意列出函数关系式，利用配方法解答． 【详解】解：（1）−2x2−4x＋3＝−2（x2＋2x＋1−1）＋3＝-2（x＋1）2＋5≤5， ∴−2x2−4x＋3有最大值是5， 故答案为：5； （2）解：由x2＋3x＋y−3＝0得 y＝−x2−3x＋3，把y代入y-x得： y−x＝x2−3x＋3−x＝−x2−4x＋3＝−（x＋2）2＋3＋4≤7， ∴y−x的最大值为7． 故答案为：7． （3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16， 由题意知：＝x• ＝−x2＋14x＝−（x−14）2＋98 当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法，解题关键是掌握二次函数的性质及求最大值的方法． 24. 定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】（1）①② （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， 【小问3详解】 解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 25. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得： 即：的取值范围为：； 【小问2详解】 解：存在， 由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 27. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积等于？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 【答案】（1）为5或7 （2）为或 （3）为4或8 【解析】 【分析】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间节点． （1）分别用含的代数式表示，的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分别用含的代数式表示，的长，利用勾股定理列方程求解即可． （3）当，P，Q都没有返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示出，的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示出，的长，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 ∵点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，，， ∴， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∴ 整理，得 解得， ∴当为5或7时，的面积等于； 【小问2详解】 根据勾股定理，得 整理，得 解得 故当为或时，的长度等于； 【小问3详解】 ①当时， 由题意，得 ， 解得： ②当时，， 由题意，得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时，， 由题意，得， 整理得， ∴ ∴方程无解 综上所述，当为4或8时，的面积等于． 28. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G． （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：连接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线； （2）； （3）AG=AD+2CD． 【解析】 【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论； （2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接FD，设⊙F的半径为r， 则r2=（r﹣1）2+22， 解得，r=， 即⊙F的半径为； （3）解：AG=AD+2CD． 证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°， 又∠FEC=∠C=90°， ∴四边形RCEF是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR=RD， ∴EF=RD+CD=AD+CD， ∴AG=2FE=AD+2CD． 【点睛】考点：圆的综合题；探究型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度广宇第一学期九年级第一次形成性测试 数 学 试 卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 加权平均数 C. 众数 D. 中位数 2. 下面关于x的方程①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是( ) A. 8 B. 10 C. 16 D. 不能确定 5. 如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（　　） A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 1．5cm 6. 已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k>且k≠2 B. k≥且k≠2 C. k >且k≠2 D. k≥且k≠2 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（每题3分，共30分） 9. 已知一组数据a、b、c的平均数为5，则、、的平均数是___________． 10. 若，则________． 11. 已知实数m，n满足，，且，则=______． 12. 在直径为10cm的⊙O中，弦AB的长为5cm，则AB所对的圆周角是_____． 13. 已知关于x 的方程有实数根，则k的取值范围为_______． 14. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 15. 有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为______． 16. 如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则_______． 17. 如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为______． 18. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___． 三、解答题 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 21. 某中学准备随机选出七、八、九三个年级各1名学生担任领操员，现已知这三个年级分别选送一男、一女共6名学生为备选人，请你利用树状图或表格求选出“两女一男”三名领操员的概率． 22. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元其销售量就减少10件． （1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？ （2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？ 23. 阅读下面的材料，回答问题： 爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题． 例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1 （1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是　 　； （2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为　 　； （3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积． 24. 定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 25. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 26. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数根，使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 27. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积等于？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G． （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $