专题06 空间向量中建系求点能力强化（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题06 空间向量中建系求点能力强化 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 5 类型一、直接建系 5 类型二、底面是三角形 7 类型三、底面是常见四边形（菱形、梯形等） 9 类型四、底面是其他图形 11 类型五、在图形外建系 13 类型六、以圆柱、圆锥、圆台为载体 16 压轴专练 18 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体. ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心. ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心. （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、垂面模型 已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是垂面模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 类型一、直接建系 已知条件中有过一点两两垂直的三条直线 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 一、解答题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（24-25高二下·上海·月考）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 4．（24-25高二下·湖南·月考）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 类型二、底面是三角形 一、解答题 1．（24-25高二上·安徽·期末）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， (1)求证： (2)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值. 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 4．已知正三棱锥的底面边长等于，顶点P在底面ABC内的投影为O，点O在侧面PAB内的投影为D，连接PD与棱AB交于点E． (1)证明：点E是棱AB的中点； (2)若点D是的重心，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 类型三、底面是常见四边形（菱形、梯形等） 一、解答题 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.    (1)证明：； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高三上·河北保定·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 3．（24-25高二下·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（24-25高二上·浙江宁波·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，四边形ACFE为矩形，平面平面，，点M是线段EF的中点． (1)求平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值； (2)求出直线CD到平面MAB的距离． 5．（24-25高二上·天津宝坻·月考）如图，已知梯形中，，四边形为矩形，，平面⊥平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的正弦值． (3)求二面角的余弦值； (4)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 6．（24-25高二下·河南安阳·期末）在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 类型四、底面是其他图形 一、解答题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图，在五棱锥中，平面，，，点F为棱的中点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小． 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）如图所示，正六棱柱的底面边长为2，高为，P为线段上的动点 (1)求证：平面； (2)设直线AP与平面所成的角为θ，求的取值范围 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 4．（2025·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.    (1)求证：平面： (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，在五棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)若平面平面，平面平面，探索：是否为定值？若为定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由. 类型五、在图形外建系 一、解答题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高二下·山西·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形是正方形，，，，M是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．（24-25高二上·上海·月考）如图，在几何体中，底面是梯形，且，平面平面，是等边三角形，已知，，点M为棱上的一点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 4．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图1所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图2所示． (1)求证：； (2)试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 6．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 类型六、以圆柱、圆锥、圆台为载体 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面圆心为，底面直径，高为4，为的中点，为圆柱的一条母线，为的中点，为的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，． (1)求证：； (2)若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 4．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在圆锥中，为底面圆的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为. (1)若，平面与平面的交线为，证明：∥； (2)若与平面所成角的正切值为，求的长. 5．（23-24高二上·福建厦门·月考）如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点. (1)求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由； (2)若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值. 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．    (1)若P是线段BC的中点，求证：平面； (2)设平面平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值． 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 2．（2025·江西·三模）如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．（2025·江西南昌·一模）如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 4．（24-25高二下·河南濮阳·期末）在如图所示的几何体中，正方形与菱形所在的平面垂直，，且，为的中点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（24-25高二上·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 6．（24-25高二下·海南·月考）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）如图，在四面体中，平面平面，． (1)求证：； (2)，，，求二面角的大小． 8．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 9．（24-25高二上·湖南永州·月考）如图，三棱台中，底面，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值. 10．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 11．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 12．（24-25高二上·安徽·期末）如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 13．如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．    (1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； (2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 14．如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 15．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，多面体中，四边形为等腰梯形，四边形为矩形，为上一点，且，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为直二面角，当三棱锥的体积最大时，求： ①多面体的体积； ②平面与平面所成锐二面角的余弦值． 16．（24-25高二下·云南·期末）在如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）．    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 17．（23-24高二下·河南·期中）如图为上、下底面半径分别为1，2的圆台，其中AB为上底面直径，BP为母线，CD在上底面，且，.该圆台的体积为为线段AP上一点，且平面PBC.    (1)求的长度; (2)若平面PAD∩平面，求直线与平面PAC所成角的正弦值. 18．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 20．（24-25高二下·云南·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 21．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 22．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，为半圆的直径，是弧上异于的点.点在直线上，平面，其中为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x α O l α y x z O l $$ 专题06 空间向量中建系求点能力强化 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 5 类型一、直接建系 5 类型二、底面是三角形 11 类型三、底面是常见四边形（菱形、梯形等） 20 类型四、底面是其他图形 32 类型五、在图形外建系 43 类型六、以圆柱、圆锥、圆台为载体 53 压轴专练 65 一、建系设点有关的基础储备 1、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直； ⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体. ⑥正三棱柱、正四棱柱：顶点在底面的投影为底面的中心. ⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心. （2）线线垂直（相交垂直） ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若，则 二、建立直角坐标系的原则 1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上 （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意. 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同.但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的. 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略. 三、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下： 轴： 轴： 轴： （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例： 则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同） 这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写.如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离.例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：，则中点 ②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ， 四、垂面模型 已知条件中有一条直线垂直于一个平面，就是垂面模型． 情形１　垂下(上)模型：直线竖直，平面水平，大部分题目都是这种类型．如图，此情形包括垂足在平面图形的顶点处、垂足在平面图形的边上(中点多)和垂足在平面图形的内部三种情况． 第一种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，平面图形的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-1 第二种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，垂足所在的一边为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-2 第三种建系方法为以垂足为坐标原点，垂线的向上方向为z轴，连接垂足与平面图形的一顶点所在直线为为x轴或y轴，在平面图形中，过原点作x轴或y轴的垂线为y轴或x轴(其中很多题目是连接垂足与平面图形的另一顶点)建立空间直角坐标系．如图1-3 　　　　　　 　　　　　　　　　　　图1－1 　　　 图1－2 　 　 图1－3 情形2　垂左(右)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图2－1　　　　　　　　　　　　　　图2－2　　　　　　　　　　　　图2－3 情形3　垂后(前)模型：直线水平，平面竖直，这种类型的题目很少．各种情况如图，建系方法可类比情形1． 图3－1　　　 类型一、直接建系 已知条件中有过一点两两垂直的三条直线 建系：以该点为原点，分别以两两垂直的三条直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，当然条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直面内两条线垂直)，这个过程不能省略．然后建系． 　　　 一、解答题 1．（24-25高二下·广西南宁·期中）如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值； 【详解】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 3．（24-25高二下·上海·月考）如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【详解】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2）点B到平面的距离． 4．（24-25高二下·湖南·月考）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，得到线面平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量夹角公式进行求解. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以， 因为，分别为和的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以，， 因为四边形为矩形，所以， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，令，则，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】(1)垂直 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 类型二、底面是三角形 一、解答题 1．（24-25高二上·安徽·期末）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， (1)求证： (2)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得到平面即可得到结果 （2）建立空间直角坐标系利用面面角的向量求法即可得到结果. 【详解】（1）取AB中点N，连接PN，MN，则，而，故 因为，所以 又，MN，平面PMN， 所以平面 因为平面PMN，所以 （2）因为平面平面ABC，平面，，所以平面 因为平面PMN，所以，故PN，AB，MN两两垂直， 以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面PBM的法向量为， 则即取，则 设平面PBC的法向量为， 则即取，则， 所以， 即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为 2．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 （2）取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由见解析 (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 4．已知正三棱锥的底面边长等于，顶点P在底面ABC内的投影为O，点O在侧面PAB内的投影为D，连接PD与棱AB交于点E． (1)证明：点E是棱AB的中点； (2)若点D是的重心，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直、线面垂直、等腰三角形的知识证得点E是棱AB的中点； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CD与平面PAC所成角的正弦值. 【详解】（1）由于平面平面，所以. 由于平面，平面，所以. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 由于，即三角形是等腰三角形，所以是棱的中点. （2）由（1）可知单点共线，连接， 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， 由于是三角形的重心，所以，， 由于平面，平面，所以. 所以（负根舍去）， 则， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线CD与平面PAC所成角为， 则. 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值； （3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得. 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 类型三、底面是常见四边形（菱形、梯形等） 一、解答题 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.    (1)证明：； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【详解】（1）证明：连接，   是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2）取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，    令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 2．（24-25高三上·河北保定·期末）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2）如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 3．（24-25高二下·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形．，，点为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （3）思路一：建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解；思路二：由（2）知平面，故可将问题转换为与平面所成角的正弦值，由等体积法即可求解. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． （2）因为底面是边长为2的菱形，所以，且既是的中点，也是的中点， 又，所以， 连接，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，所以． 又平面，所以平面． （3）解法一：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，则有， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，所以平面平面， 即在底面的射影在上，所以， 易知，所以，，， 由（2）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 取，则，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：在边长为2的菱形中，，所以， 在，，，，， 由（2）知平面，则平面与平面夹角的余弦值即为与平面所成角的正弦值， 易知，所以， 因为平面平面，所以平面平面， 所以在底面的射影在上， 所以到底面的距离为， 设到底面的距离为，由可知，，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．（24-25高二上·浙江宁波·月考）如图，在梯形ABCD中，，，，四边形ACFE为矩形，平面平面，，点M是线段EF的中点． (1)求平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值； (2)求出直线CD到平面MAB的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质得线面垂直，利用垂直关系建立空间直角坐标系，分别求平面MAB与平面EAD的法向量，再求解夹角即可得； （2）由线面平行关系，将直线CD到平面MAB的距离转化为点到平面的距离，利用法向量求解可得. 【详解】（1）因为在梯形ABCD中，，，， 如图，过C作交AB于G，则四边形是平行四边形. 可得，. 在中，由余弦定理得， 所以，得， 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面； 因为四边形ACFE为矩形，所以， 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，平面，则. 如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，，， 所以，，，， 设平面MAB的法向量为， 则，取，得， 设平面EAD的法向量为， 则，取，得， 所以． 所以平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值为． （2）由，平面，平面， 则平面. 则直线到平面的距离即为点到平面的距离. 由（1）知，，平面的一个法向量， 则点到平面的距离. 故直线CD到平面MAB的距离为. 5．（24-25高二上·天津宝坻·月考）如图，已知梯形中，，四边形为矩形，，平面⊥平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的正弦值． (3)求二面角的余弦值； (4)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）通过证明，再结合平面⊥平面，即可求证； （2）建系，通过异面直线的向量夹角公式即可求解； （3）求出两平面的法向量，由夹角公式即可求解； （4）点在线段上，设，，，可得，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，即可求解． 【详解】（1） 连接交于，因为点是的中点，所以，又， 所以，所以， 又 所以 所以，也即， 又平面⊥平面，交线为，，在平面， 所以平面,在平面内，所以, 又为平面内两条相交直线， 所以平面. （2）由（1）平面． 取为原点，所在直线为轴，的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，， 所以，， 设异面直线DF和BE所成角为， 则，则 所以异面直线DF和BE所成角的正弦值 （3）设平面的法向量， ，， 由，取，得， 设平面的法向量， ，， 由，取，可得， ， 由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值 （4）点在线段上，设，，， ，0，，2，，，， 又平面的法向量，设直线与平面所成角为， ， ，即， ，，． ，，，则， 的长为． 6．（24-25高二下·河南安阳·期末）在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意利用已知条件证明平面，从而建立空间直角坐标系，可得到与平面的法向量共线，即可证明； （2）结合（1）并利用向量法求解面面夹角，从而可求解. 【详解】（1）连接，， 因平面，平面，平面平面，所以， 设，，连接， 由在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， 则得， 又由题意知，则得四边形是等腰梯形， 所以，同理可证， 因，平面，所以平面， 又底面是菱形，所以， 则以为原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，    因为菱形的边长为，，则，， 则，，则， 所以，，，，， 则，，， 设，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，即平面， 又平面，所以平面平面； （2）设，因，， 则，，， 所以，则得， 又在上，设，则，解得， 可得，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 则得， 所以，所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 类型四、底面是其他图形 一、解答题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图，在五棱锥中，平面，，，点F为棱的中点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再根据线面垂直判定定理得出平面，进而得出平面即可证明； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的法向量，再应用二面角夹角余弦公式计算求解. 【详解】（1）证明：平面，平面，， 又，， 又平面，平面， 又面，， 又点F为棱的中点，且，， 又平面，平面，平面， . （2），又中，，，则，， 又平面， 以E为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 由题知，，，，， ，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，，可取， 设平面与平面所成角为θ， ， 又  ， 所以平面与平面所成角为. 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）如图所示，正六棱柱的底面边长为2，高为，P为线段上的动点 (1)求证：平面； (2)设直线AP与平面所成的角为θ，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面平面，进而得到平面； （2）取中点Q，证明平面，建系求出，的坐标，利用向量法求得答案. 【详解】（1）连接，， ，平面，平面， 故平面， 又，平面，平面， 故平面， 又，在平面上，且 所以平面平面，又在平面上 故平面. （2） 如图，以B为原点，方向、方向、方向分别为x、y、z正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，取中点Q， 则，有，，， 设， 故， 易求，又Q是中点， ， 又，， 平面，则， 又，是平面内两条相交直线， 平面， 则， 又，所以， 所以的取值范围为. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 4．（2025·安徽安庆·二模）如图，在矩形中，为中点，在边上，且，将沿翻折至，得到五棱锥为中点.    (1)求证：平面： (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）如图，取中点，连接，然后通过证明平面平面，进而证明平面； （2）取中点，连接，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接，    因为在矩形中，， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以， 因为平面，所以平面， 在中，分别为的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）取中点，连接，如图所示，    因为在矩形中，， 所以在中，，且， 因为平面平面，且平面平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，并过点分别作与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得： ， 所以， 设平面的法向量为，有 ，所以， 取，得平面的一个法向量为 又，设直线与平面所成角的， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．如图，在五棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)若平面平面，平面平面，探索：是否为定值？若为定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是定值， 【分析】（1）由线面垂直证线线垂直. （2）由空间直角坐标系，设，根据面面垂直的向量表示可得， 即得. 【详解】（1）证明：取中点，连接，连接交于， 如图，由知为等腰梯形，， 又，故， 显然为中点，， 故 又，所以平面 又平面，故.    （2）若平面平面， 由为平面与平面的交线，知，， 如图，可以为原点，建立平面直角坐标系.    设，因，    如图，底面延长交于点， 由知为等边三角形， 又，可知也为等边三角形， 故， 又， 所以，又，所以为等边三角形， 所以也为等边三角形，故， 所以，故， ，， ， 设平面法向量为，则即 可令得， ， 设平面法向量为，则即 可令， ，有， 故. 类型五、在图形外建系 一、解答题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，，，.将梯形沿AD折起，使平面平面，连接BF，CF，CE，得到空间几何体，如图2所示.    (1)求的大小； (2)求直线AB到平面的距离； (3)求直线BF与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积证线线垂直. （2）利用线面平行，把问题转化成点到平面的距离，再用空间向量求点到平面的距离. （3）用空间向量求直线与平面所成角的三角函数. 【详解】（1）以为坐标原点，，的方向分别为轴轴的正方向， 以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，，， 因为，所以，即. （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线AB到平面的距离即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，则 令，得， 所以点到平面的距离为. （3）设直线BF与平面所成的角为，则， 所以直线BF与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高二下·山西·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形是正方形，，，，M是的中点.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，交于点，连接，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理即可证明平面； （2）过在平面内作轴垂直于，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，再根据公式，即可求出平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）    连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）    因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 过在平面内作于垂直的直线为轴， 以为坐标原点，直线AC，AE分别为轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 在中，，，， 由余弦定理可知， 又，所以， 所以，， 所以，， ，. 设平面的一个法向量， 则 令，得，，故， 设平面的一个法向量， 则 令，得，，故， 设平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．（24-25高二上·上海·月考）如图，在几何体中，底面是梯形，且，平面平面，是等边三角形，已知，，点M为棱上的一点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量知识求出平面与平面的法向量，求两法向量的夹角即可. 【详解】（1）在，，，， 所以，即， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2） 由（1）可知，在平面内过点D作平面， 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，， 则，， 设平面的法向量, 则，即， 令，则，所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以 则， 故二面角的余弦值为. 4．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图1所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图2所示． (1)求证：； (2)试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 【答案】(1)证明见详解 (2)点为线段的中点 【分析】（1）取的中点，根据长度关系可知平面，进而可得平面，即可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量处理面面夹角问题. 【详解】（1）取的中点，连接， 由题意可知：∥，且，可知为平行四边形， 则∥，且， 因为，则， 又因为，，则， 即，则， 且，则，即， 又因为，平面，可得平面， 且平面，可得， 由∥可得， 且，平面，可得平面， 由平面，所以. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量， 则，解得或（舍去）， 所以点为线段的中点. 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的对角线垂直，再结合平行关系和已知的面面垂直，即可证明线面垂直； （2）利用空间向量法，假设三个坐标参数，再利用三个相等关系求解参数，然后求两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取中点为，连接交于点， 由于，，，所以四边形是菱形， 则，又因为四边形是平行四边形，则，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2） 由可得：， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，再由平面，平面，故， 如图建系，可设， 由，可得①， 由，因，则②， 再由异面直线与所成角的余弦值为及， 可得：，解得， 将其代入①，②式可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由图可得平面的法向量为， ， 则平面与平面所成角的余弦值是. 6．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 类型六、以圆柱、圆锥、圆台为载体 一、解答题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，圆柱的底面圆心为，底面直径，高为4，为的中点，为圆柱的一条母线，为的中点，为的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，即可利用线面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，再利用向量公式即可求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面， 所以，又因为， ，平面，所以平面， 又平面，故． （2）由题意，以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以， 即二面角的余弦值为． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，． (1)求证：； (2)若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面ABCD，来证得，进而证得. （2）根据四面体的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角平面角的余弦值． 【详解】（1）连接． 在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF， ． ，，平面， 平面ABCD． 又平面ABCD， ． 又为EF的中点， ． （2）连接，，如图所示， 由四面体ABEF的体积，得． 因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 设平面BEF的法向量是． 由，得，取，得． 设平面ABE的法向量是． 由，得，取，得． 所以， 由图象可知，二面角为锐角， 故所求二面角的余弦值为． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图连接， 因为底面圆的直径，所以为的中点， 因为点为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）如图取的中点，连接，则， 如图建立空间直角坐标系，因为底面圆的直径，母线， 所以，又点是上靠近点的三等分点，连接，则， 所以，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 4．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在圆锥中，为底面圆的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为. (1)若，平面与平面的交线为，证明：∥； (2)若与平面所成角的正切值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）方法一：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量处理线面夹角问题；方法二：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量处理线面夹角问题. 【详解】（1）因为为直径，则， 且，则且， 又因为，则，即. 且，平面，可知， 且平面平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2）方法一：由题意知，， 如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可知，设， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为， 则，可得， 且，解得， 即， 整理得，解得，即； 方法二：以点为坐标原点，所在直线分别为和轴，在平面内过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为，则，可得， 且，解得， 即， 整理得，解得， 所以，即. 5．（23-24高二上·福建厦门·月考）如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点. (1)求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由； (2)若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，证明平面垂直于截面， （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面所成夹角的余弦值. 【详解】（1）连接，，，平面即为所求作的平面，证明如下：    ∵在圆台中，面，面，∴， ∵为劣弧中点，为圆的半径，∴， 又∵，平面，∴平面， 又∵平面，∴平面平面. （2）连接，，在圆台中，面，因此梯形为直角梯形. ∵，，，∴， ，则， 过点在下底面内作的垂线交圆于点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.    ∴由题意，，，. 为平面的法向量. ∵，，设平面的法向量为. ∴，令，则， 得. 设平面与平面的夹角为，则. 因此平面与平面的夹角余弦值为. 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．    (1)若P是线段BC的中点，求证：平面； (2)设平面平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出平面和平面的交线，确定四棱锥的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出与平面QAC所成角的正弦值，利用换元法结合二次函数性质即可求得其最大值. 【详解】（1）取中点H，连接，因为P为中点， 则有，    在等腰梯形中，，故有， 则四边形为平行四边形， 即有，又平面，平面， 所以平面. （2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，    过点B作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 因此平面， 即为四棱锥的高，在中，， ， 当且仅当时取等号，此时点与重合， 又梯形的面积S为定值，四棱锥的体积， 于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大， 此时， 以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，， 此梯形的高， 因为,故为的中位线， 则， ， 设， 则， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 则有， 令，则， 当时，； 当时，， 在时取到最小值，此时取到最大值 即当，即时取到最大值， 所以的最大值为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于与平面QAC所成角的正弦值的最大值，解答时要确定四棱锥的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 类型七、点、棱、面之间关系 常见几何体的点、棱、面关系 1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每个面有4条棱，每条棱连接2个面） 2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（ 侧棱平行，底面形状相同） 3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧面）. 【重要性质】 欧拉公式:顶点数-棱数+面数=2(适用于简单凸多面体) 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直三棱柱得到⊥，根据⊥，得到线面垂直，故⊥，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面的一个法向量为，利用线面角的求解公式得到答案. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 2．（2025·江西·三模）如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点的坐标表示出来，从而得到向量的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0即可证明是否垂直. （2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2）设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．（2025·江西南昌·一模）如图，在三棱锥中，平面，为的中点．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，即可证明，，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，    因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2）以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 4．（24-25高二下·河南濮阳·期末）在如图所示的几何体中，正方形与菱形所在的平面垂直，，且，为的中点. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可证连接，设，连接，可证平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可证； （2）求出平面与平面的法向量后可求它们夹角的余弦值. 【详解】（1） 连接，设，连接， 因为四边形为菱形且，，故为等边三角形， 因为四边形为正方形，故为的中点，故， 而平面平面，平面平面， 平面，故平面， 故可以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，故， 又为的中点，故， 故，而， 由不在一条直线上可得. （2）由（1）中结果可得，，， 设平面的一个法向量为， 故即，取， 设平面的一个法向量为， 故即，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 5．（24-25高二上·广西贵港·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面平面得平面即可得证； (2)建立空间直角坐标系，由平面与平面的夹角为得点的坐标，利用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 6．（24-25高二下·海南·月考）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AD中点记为E，先由直四棱柱的性质结合面面垂直的性质定理即可证得平面，则平面； （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面；    （2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：    因为由(1)知， 所以， 所以 设是平面的一个法向量， 则令，则， 所以， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）如图，在四面体中，平面平面，． (1)求证：； (2)，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取的中点为，的中点为，连接，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【详解】（1）平面平面，平面平面， 又，平面，平面， 又平面，． （2）取的中点为，由，， 平面平面，平面平面，平面， 平面． 取的中点为，连接，则，，． 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为，，， 则， ， 所以、、、， 则， ， 由（1）得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则．于是， 显然，二面角为锐角，二面角的大小为． 8．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用平行线的线段比例关系得到，即可证明平面. （2）取中点，以为原点建系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【详解】（1）连接交于，连接，∵，∴． 又∵，∴，∵平面，平面，∴平面． （2）取中点，连接，∵，∴，， 又∵，，∴四边形为矩形，． ∵，∴． ∵，且平面，平面， ∴平面，以为原点建系如上图， ，，，，， ∴，，， 设为平面的法向量， 令，则，，∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 9．（24-25高二上·湖南永州·月考）如图，三棱台中，底面，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据线面垂直的性质可得，再结合三棱台的结构特征可得，即.根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证明； （2）以点为原点，为轴，为轴，过点平行于为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求解二面角的正弦值. 【详解】（1）底面底面，. 又，,，. ，平面，平面，平面. 又平面，所以平面平面. （2）以点为原点，为轴，为轴，过点平行于为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. 同理，，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为可得. 所以， 故， 所以二面角的正弦值为. 10．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得； （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解． 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以． （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则， 取，得， 设是平面的法向量，则， 取，得， 则平面与平面夹角的余弦值为． 11．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 12．（24-25高二上·安徽·期末）如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．    (1)若点为的中点，证明：平面； (2)若，求多面体的体积； (3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3)． 【分析】（1）根据平行关系，转化为证明平面平面，即可证明线面平行； （2）首先将多面体的体积转化为柱体和锥体的体积，再根据几何关系，结合体积公式，即可求解； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面；    （2）取中点，连接，因为是正六边形， 故是等边三角形，所以， 同理， 又因为正六边形的边长为2，所以， 又因为， 所以，可得， 又因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， ， 由题可得， 所以； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为二面角的大小为， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得， 又平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 13．如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．    (1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； (2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，P是中点，证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用面面平行和线面平行确定点的位置，然后利用线面平行判定定理证明即可； （2）过点D作，以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据面面夹角的向量公式求解可得. 【详解】（1）存在，证明如下： 在四棱柱中，因为平面平面， 所以可在平面内作， 由平面几何知识可证，所以，可知P是中点， 因为平面，所以平面． 即存在线段的中点，满足题设条件． 满足条件的点只有一个，证明如下： 当平面时，因为平面， 所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内， 而在平面内过只能作一条直线， 故满足条件的点P只有唯一一个． 所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面． （2）过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD，    所以DA，DF，两两互相垂直， 以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有即 令，得，，所以． 设平面的法向量为． 则有即 令，得，，所以． 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 14．如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； (2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析 (2)存在，是的靠近的三等分点，理由见解析. 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以， 由于分别是边，的中点，所以， 所以， 折叠过程中，平面， 所以平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）存在，理由如下： 当平面平面时，由于平面平面，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 依题意可知 ，， 设，则， 平面的法向量为， ， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 设平面与平面所成角为， 由于平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 解得, 所以当是的靠近的三等分点时，平面与平面所成角的余弦值为. 15．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，多面体中，四边形为等腰梯形，四边形为矩形，为上一点，且，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为直二面角，当三棱锥的体积最大时，求： ①多面体的体积； ②平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）①根据组合体的体积将多面体分为三棱锥和三棱柱求解； ②建立空间直角坐标系，用法向量求解二面角的余弦值. 【详解】（1）    取中点为，连接， 因为，． 所以，， 又因为四边形为等腰梯形， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以三角形为等腰三角形， 又因为，，为中点， 所以， 又因为四边形为等腰梯形， 所以， 所以 又因为四边形为矩形， 所以， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以平面平面 （2）① 过点作与交于点，连接， 由（1）知，面，面， 所以， 又因为，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为直二面角， 所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以三棱锥的体积最大时，， 所以多面体的体积. ②取中点为，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 所以， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，则， 则， 设面的法向量为， 则，令，则， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 16．（24-25高二下·云南·期末）在如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）．    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得平面，然后根据线面垂直的性质定理证明即可. （2）在平面内过点P作于点G，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面． 因为，所以平面， 因为平面，所以． （2）在平面内过点P作于点G， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以G为坐标原点，以过点G与平行的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    当时，， 则，可得， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 因为点P在以为直径的半圆上，所以， 又，，平面，，所以平面， 则平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17．（23-24高二下·河南·期中）如图为上、下底面半径分别为1，2的圆台，其中AB为上底面直径，BP为母线，CD在上底面，且，.该圆台的体积为为线段AP上一点，且平面PBC.    (1)求的长度; (2)若平面PAD∩平面，求直线与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取AB的中点,连接,证明平面平面，再证，推得是AP的中点，根据圆台体积求出其高，继而求得长，即得长； （2）依题意建系，写出相关点的坐标，证明，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）    如图，取AB的中点，连接，则， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面. 又平面平面，，所以平面平面. 因为平面，所以平面PBC. 又平面PAB，平面平面，所以. 又是AB的中点，所以是AP的中点. 设圆台的高为h， 由，解得， 故. （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 故， 因为平面PBC，又平面PAD，平面平面，故， 设为平面PAC的法向量， 则取，得为平面的一个法向量， 设为与平面所成的角，则. 18．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，故，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式和同角三角函数关系进行求解； （2）设，．设，其中，则，根据与成30°角得到方程，求出，其中，即，结合求出答案. 【详解】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）解法1：取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明；解法2：利用向量数量积的运算律证明； （2）解法1：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可；解法2：由向量的四则运算设，则是平面和平面的交线，可得，又，所以即为平面和平面的夹角，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形，所以，， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以. 解法2：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形， 所以，，即，， 因为， 所以，即. （2）解法1：分别以射线，，为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角为60°． 解法2：因为，所以， 又因为，， 所以， 设， 则是平面和平面的交线，平面， 因为平面，所以， 又因为，所以即为平面和平面的夹角， 所以， 即平面和平面的夹角为60°． 20．（24-25高二下·云南·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，为锐角，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：连接，设，连接，由线面平行的判定即可证明； 证法二：设的中点分别为，连接,由线面平行的判定及性质即可证明；． （2）建立空间直角坐标系，由面面角余弦的向量公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）证法一：连接，设，连接． 在中，分别是的中点，所以． 在中，分别是的中点，所以，则． 因为平面，平面，所以平面． 证法二：设的中点分别为，连接,如图所示． 因为， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，且，则． 设，则，即， 则． 设平面的法向量为，则， 所以可取． 易得平面的一个法向量为． ． 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故二面角的余弦值的最大值为． 21．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）设AC与BD交于点F，证明平面ABD，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用向量法求出直线DM与平面ABE所成角的正弦值的表达式，结合基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，    由于底面底面，故， 又，即，平面， 故平面，又平面，故，， 为底面圆的内接正三角形，且边长为， 则，； 又，即, 而∽，则，即， 结合，平面ABD，， ∴平面ABD，又平面， ∴平面平面. （2）以点F为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，    结合（1）可知， 则， 则， 设平面ABE的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取为， 则，由原图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为； （3）由（2）可得, 设，则， 设直线DM与平面ABE所成角为， 则， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取最大值4，则取最大值1， 故直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值为1. 22．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，为半圆的直径，是弧上异于的点.点在直线上，平面，其中为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，求得线线平行，再根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可. （2）根据求线面角的向量方法，构造空间直角坐标系，求出方向向量和平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，平面平面平面，所以. 又为的中点，所以为的中点. 又为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2） 如图，连接，取的中点，连接. 因为，所以. 由已知底面在半圆上，为圆的直径， 可得. 因为，所以， 所以. 又，所以，所以， 则有， 所以， 又平面平面，所以平面. 建立如图所示的空间直角坐标系，因为， 则， 所以. 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则，则平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 α O l α y x z O l l α O l α O y z x O D A B C P x y z O l α O l α y x z O l α O l α y x z l α O l α O y x z l α O l α x O y z l α O l α x y z O l α O l α y O z x α O l α y x z O l $$