专题05 立体几何中的新文化及创新定义问题（压轴题5大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题05 立体几何中的数学文化及创新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、立体几何中的数学文化 1 类型二、离散曲率 4 类型三、曼哈顿距离 7 类型四、向量叉乘 8 类型五、立体几何其他新定义问题 11 压轴专练 13 类型一、立体几何中的数学文化 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（   ） A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大 C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6 二、多选题 5．（24-25高二上·广东珠海·月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（   ） A． B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题 6．（24-25高二上·全国·课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．    四、解答题 8．（24-25高二上·辽宁·期中）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 类型二、离散曲率 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．已知正三棱台中，，棱，的中点分别为，．若该棱台顶点，的曲率之差为，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正弦值等于 D．多面体顶点D的曲率的余弦值等于 三、解答题 3．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 4．（24-25高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为． (1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，． ①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值； ②求二面角的平面角的正弦值； (2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率． 类型三、曼哈顿距离 一、填空题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为 . 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 二、解答题 3．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 类型四、向量叉乘 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 3．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 5．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点，且三点不共线. (1)①若，，求； ②求证：是平面的一个法向量；且. (2)①记的面积为，证明：. ②三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积.（用，，表示） (3)如图，两点分别是三角形的两条边上的动点（不含端点），其中的中点为，其中的中点为.求证：三角形面积是四边形面积的四分之一. 类型五、立体几何其他新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 三、解答题 5．（24-25高二上·浙江·期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积. 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 5．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 6．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·福建三明·期中）很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ） A．平面 B．若是棱的中点，则与平面平行 C．点到平面的距离为 D．该半正多面体的体积为 8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（    ） A．直线BF与直线所成角余弦值为 B．在三棱柱中，点的曲率为 C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D．当点在线段AB上运动时，的最小值为 三、填空题 9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 10．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 11．（23-24高二下·江苏扬州·月考）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 . 12．（24-25高二上·贵州黔西·月考）阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 13．（23-24高二上·福建泉州·期末）宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点. (1)求楔形体的表面积； (2)求平面APQ与平面的夹角的余弦值. 14．（24-25高二上·山东济南·月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，． (1)当时，证明：平面． (2)判断是否存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出λ，若不存在，请说明理由． 15．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 (1)①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． (2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 16．（24-25高二上·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 18．（2025·云南红河·三模）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． (1)若图1中，求劣弧的长； (2)若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； (3)由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 立体几何中的数学文化及创新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、立体几何中的数学文化 1 类型二、离散曲率 11 类型三、曼哈顿距离 19 类型四、向量叉乘 23 类型五、立体几何其他新定义问题 35 压轴专练 43 类型一、立体几何中的数学文化 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可求，从而可求它们的和. 【详解】因为，故， 而 ， 而不共面，故，故， 故选：C 2．（2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，同理可得，即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 故选：C 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 4．一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（   ） A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大 C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6 【答案】C 【分析】应用空间向量的坐标表示及模长的坐标计算求出各分子偶极矩模长，结合题设描述依次判断各项的正误. 【详解】分子A的偶极矩，分子B的偶极矩，分子C的偶极矩， 则，，，所以分子A的偶极矩模长最小，A正确； 因为分子C的偶极矩模长最大，所以分子C的极性最大，B正确； 因为，，， 所以，，C错误，D正确. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·广东珠海·月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（   ） A． B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】 A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：BC 三、填空题 6．（24-25高二上·全国·课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】以矩形的中心为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角. 【详解】以矩形的中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为四边形为矩形，，和都是正三角形， 所以平面，且是线段的垂直平分线． 设，则，， 所以，所以，， 设异面直线与所成的角为，故． 故答案为：.    7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．    【答案】 【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【详解】    连接交于点，连接， 因为该几何体是一个高为4的正八面体， 所以，，， 设棱长为，则，， 所以在中，，即，解得， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与夹角为， 则， 因为， 所以异面直线与所成角的正弦值， 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高二上·辽宁·期中）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求余弦值，根据同角关系求结论； 【详解】（1）证明：由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面平面． （2）由已知平面，，平面， 所以，，又， 所以直线，，两两垂直， 以点为原点，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，,2,，，,2,，， 所以，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即，取，可得，，所以， 又为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以， 由于，所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 类型二、离散曲率 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南长沙·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出面角，计算顶点处的曲率，结合顶点个数可得答案. 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故选：B 二、多选题 2．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．已知正三棱台中，，棱，的中点分别为，．若该棱台顶点，的曲率之差为，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正弦值等于 D．多面体顶点D的曲率的余弦值等于 【答案】BC 【分析】延长，相交于P，O为的中心，棱的中点为E，以过O且平行于的直线为x轴，直线为y轴，直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用线线垂直的向量表示，判断A；利用线面垂直的判定，判断B；利用直线与平面所成角的向量求法，判断C；利用向量与向量的夹角，判断D． 【详解】 正三棱台中，棱，的中点分别为，， 延长，相交于P，设O为的中心，棱的中点为E， 以过O且平行于的直线为x轴，直线为y轴， 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ∵正三棱台的顶点，的曲率之差为， ∴， 则， 又， ∴，， 令，则，，， ，，，， ，． 对于A，∵，， ， ∴与不垂直，故A错误； 对于B，∵，，则，同理，， 又，平面， ∴平面，即平面，故B正确； 对于C，∵，， 令平面，即平面的法向量为， 则， 取，得， 令直线与平面所成角为， ∴ ，故C正确； 对于D，∵，， ∴ ， 又多面体顶点D的曲率 ， ∴，故D错误． 故选：BC． 三、解答题 3．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由曲率的定义可得，从而得是边长为2的正三角形，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）取中点，连接,以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2），利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 又因为，点的曲率为， 所以， 解得， 又因为， 所以是边长为2的正三角形， 又因为是的中点， 所以①， 又因为平面平面②， 平面平面，平面③， 由①②③可得：平面； （2）解：取中点，连接, 由（1）可知两两垂直，且交于点, 以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则,， 所以 设平面的法向量为， 则，取， 则， 又因为, 设点B到平面的距离， 则； （3）解：由（2）可知平面的法向量， 设平面的法向量， 因为 所以，取， 则， 所以， 设二面角的大小为，由题意可知， 所以， 所以. 所以二面角的大小为. 4．（24-25高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为． (1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，． ①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值； ②求二面角的平面角的正弦值； (2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率． 【答案】(1)①；②． (2) 【分析】（1）①连接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于点O，进而可证底面ABCD，利用余弦定理可求得，记四棱锥在点P处的曲率为，则，计算即可；②以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求得平面PAB的一个法向量，求得平面ABCD的一个法向量，利用向量法可求得二面角的平面角的正弦值； （2）设碳60（）共有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…，F号，设第i号（）多边形有条边，则碳60（）共有条棱，利用曲率的定义计算可求总曲率的平均曲率. 【详解】（1）①连接AC，由于底面ABCD是菱形，故BD，AC交于点O， 又，所以为正三角形， 因，则， 底面ABCD，底面ABCD，故，． 且，， 由余弦定理得， 由题意可知四棱锥的四个侧面三角形全等， 故有， 记四棱锥在点P处的曲率为，则， 所以 ． ②如图，以点O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，， 所以，． 设平面PAB的一个法向量为， 则，令，得， 为平面ABCD的一个法向量，设二面角的平面角为， 由已知为锐角，则， 所以，即二面角的平面角的正弦值为． （2）设碳60（）共有F个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1，2，…，F号， 设第i号（）多边形有条边，则碳60（）共有条棱， 由题意，碳60（）共有个顶点， i号多边形的内角之和为， 所以碳60（）的所有多边形的内角之和为， 所以碳60（）的总曲率为 ． 由已知，所以碳60（）各顶点的平均曲率为． 【点睛】关键点点睛：立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键，根据题意求得总曲率，进而求解． 类型三、曼哈顿距离 一、填空题 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 故答案为：. 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中， ；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出向量、的坐标，结合题中定义可求得的值；分析可知在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上，设点，，利用题中定义结合三角函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 二、解答题 3．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 【答案】(1)（i）2；（ii）证明见解析； (2). 【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按与之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可. （2）设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】（1）（i），则. （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. （2）设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解是关键 类型四、向量叉乘 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 二、解答题 2．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②； (3)证明见解析， 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 3．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据混合积的定义与性质结合空间向量叉积的运算法则计算即可； （2）设与都垂直的向量，利用空间向量数量积的坐标表示计算，利用点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量的线性运算及（2）的结论，结合空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 【点睛】思路点睛：第二问，异面直线的距离可转化为点到面的距离，求出法向量计算即可；第三问，利用空间向量的线性运算结合向量共线计算即可. 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【答案】(1)2 (2) (3)10 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其大小，结合二面角 与二面角互补可得结论； （3）过点作，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形， 所以，， 因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 5．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点，且三点不共线. (1)①若，，求； ②求证：是平面的一个法向量；且. (2)①记的面积为，证明：. ②三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积.（用，，表示） (3)如图，两点分别是三角形的两条边上的动点（不含端点），其中的中点为，其中的中点为.求证：三角形面积是四边形面积的四分之一. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)①证明见解析；② (3)证明见解析 【分析】（1）①应用定义代入化简可得；②设平面内任意一向量，应用定义结合行列式转化为向量的坐标运算，证明数量积，及即可； （2）①利用正余弦关系，将三角形面积转化为数量积表示代入坐标整理，同时将也坐标化，二者相等即可证明；②利用已证明结论用向量积表示面积，再应用向量方法表示点到平面的距离即可得体积； （3）先证明向量积运算律，应用运算律以为基底，分别表达并求解三角形面积与四边形面积可得证. 【详解】（1）①若，，则，， ， ②设，， 为单位正交基底. 设平面内不同于点的任意一点，即， 则存在，使得， 则 ， 则 . 故向量垂直于平面内任意非零向量， 所以是平面的一个法向量. 由， ， 则. （2），设， ①记的面积为， 则， ， 又， 而，， 则 ， 故，得证. ②由上可知，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 利用结论， 所以 ， 其中，，， 则三棱锥的体积为. （3）首先证明：向量积的运算律：成立. 设，， ，为单位正交基底. 则； 故成立. 由（1）可知， 则有也成立. 其次证明向量积的运算律：，成立. 证明：因为； ； . 所以向量积的运算律：，成立. 又. 设， 因为点分别在边上（不含端点）， 设（）， 因为是的中点，为的中点， 所以， . 结合以上向量积的运算律， 则 ， 因为， ， 又， 所以， 所以， 故三角形面积是四边形面积的四分之一. 【点睛】关键点点睛：此题是“向量积”新定义题目，解决关键有两点：一是理解新定义，“向量积”本质是向量，将求解问题转化为向量进行向量运算即可；二是借助新定义结合向量的运算推导向量积的运算律并应用. 类型五、立体几何其他新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 2．（24-25高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据向量组线性相关，无关的定义列出等式，解方程组即可判断. 【详解】因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示， 即只有当时，. 对于A：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故A错误； 对于B：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故B错误； 对于C：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故C错误； 对于D：设， 整理得：， 所以有，解得， 所以，，线性无关，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题的处理策略关键在于作出正方形框图，即得出P的轨迹为正方形，此外利用阿氏圆的定义确定M轨迹，再数形结合即可. 二、多选题 4．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，    由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 三、解答题 5．（24-25高二上·浙江·期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解； （2）根据空间点到平面的距离向量公式运算得证； （3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球心的坐标，进而求得顶点的坐标，利用（2）的结论求出四面体的高，运算求得四面体的体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是理解新定义，求出四面体的各个顶点坐标运算得解. 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的余弦值. （2）求平面与交线的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，证明直线与平面平行. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【详解】（1）由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为 由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）由平面可知平面的一个法向量为， 由平面可知平面的一个法向量为， 设两平面交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 因为，即，且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得， 即， 故平面与平面夹角的余弦值为 ． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解题中给出的结论，并能利用结论解决问题. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系，结合向量数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以， 又，同理可得， 所以． 故选：C 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合长方体及正四棱台的结构特征建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，在正四棱台中， 点到平面距离为, 则，， 因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A    4．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】B 【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案. 【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边， 所以，正二十面体的棱数为，顶点的个数为. 由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱； 原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为. 故选：B. 5．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 6．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线， 且弦在以为球心，半径为的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故的伴随球半径分别为， 当半径为时，的伴随球的体积为， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的体积的取值范围是． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键． 二、多选题 7．（23-24高二上·福建三明·期中）很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（    ） A．平面 B．若是棱的中点，则与平面平行 C．点到平面的距离为 D．该半正多面体的体积为 【答案】AC 【分析】根据题意作图，结合正方体的几何性质，可判断选项A、B的正误；建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，可判断选项C的正误；.根据该半正多面体可看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，可计算体积，判断选项D的正误. 【详解】由题意，可作图如下：    对于A，根据正方体的几何性质，易知平面，故A正确； 对于B，根据正方体的几何性质，易知平面. 若与平面平行，则有，而是棱的中点，所以在正方形中这是不可能的，故B是错误的； 对于C，建立空间直角坐标系，如下图：    因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为. 由图可知，，，， 在平面内取，， 设平面的法向量，由， 可得，化简可得，令，则，， 所以平面的一个法向量. 因为 设点到平面距离，故.C正确 对于D，该半正多面体可看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的， 所以该立体图形的体积，故D是错误的. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将该多面体放置于正方体当中分析，对于CD选项的判断建立合适的空间直角坐标系再去计算即可. 8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（    ） A．直线BF与直线所成角余弦值为 B．在三棱柱中，点的曲率为 C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D．当点在线段AB上运动时，的最小值为 【答案】BD 【分析】对于B根据曲率的定义计算点的曲率即可判断，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断A，取的中点为，连接，即证平面平面，计算平面的面积即可判断C，设，利用向量求，，设，转化为点到点的距离和点的距离之和，点关于轴对称的点为，则，利用两点距离公式即可求解. 【详解】设,在直三棱柱中,,由点的曲率为, 所以,所以,又,所以, 所以点的曲率为,故B正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意有，， 对于A：，所以， 所以直线BF与直线所成角余弦值为，故A错误； 对于C：取的中点为，连接，由且，所以四边形为平行四边形， 所以，又为的中点，所以，又，所以，又， 所以，又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以截面为平面，可知四边形为梯形， 又，， 则点到直线的距离为， 所以梯形的面积为，故C错误； 对于D：， 设， 所以， ， 所以，， 所以， 设，则表示点到点的距离和点的距离之和， 则点关于轴对称的点为， 所以， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 【答案】 / 【分析】根据曲率的定义结合正方体和四棱锥的特点即可得到答案. 【详解】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为； 由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和， 因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形， 所以任意四棱锥的总曲率为. 故答案为：；. 10．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解平面与平面夹角的余弦值. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以， 设为平面的一个法向量， 则，令可得，所以 设平面与平面所成角为，， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·江苏扬州·月考）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则 ，异面直线所成角的余弦值是 . 【答案】 【分析】过分别作，的高，垂足分别为，，证明，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】过分别作，的高，垂足分别为，，如图所示： 平面平面，，由得：， 又平面平面，面，故平面， 又面，故可得， ∵，，又，故，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则由题意可知，，，，， ∴，，， ∴， ， 即异面直线所成角的余弦值是． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法， 定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； 向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 12．（24-25高二上·贵州黔西·月考）阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可. 【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为，平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为，由， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·福建泉州·期末）宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点. (1)求楔形体的表面积； (2)求平面APQ与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意楔形体为上底、下底分别为1，3，高为3的正四棱台，可以依次求出其侧棱以及斜高，然后即可求出它的表面积. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量夹角余弦的绝对值公式即可得解. 【详解】（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形， 侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3，腰的长为， 所以侧面等腰梯形的高为， 所以该楔形体的表面积为. （2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，     所以平面的一个法向量为， 同理得，解得，令，则； 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 14．（24-25高二上·山东济南·月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，． (1)当时，证明：平面． (2)判断是否存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出λ，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，理由见解析 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，即可证明； （2）根据已知条件EF与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法建立方程，即可求出的值. 【详解】（1）证明：因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 所以，， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 所以， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形为，有， 平面，，所以平面, 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． （2）存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为. 理由如下： 设，所以， 因为，所以，即 所以， 设平面的法向量为，由，， 则有，解得， 令，所以， 所以， 整理得，，解得，， 故存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为. 15．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 (1)①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． (2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 【答案】(1)①7； ②； (2)2； (3)2，，，，. 【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可； （2）设直线上任意一点坐标为，然后表示，分类讨论求的最小值； （3）将的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的，即可得到的最小值. 【详解】（1）①； ②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即. （2）设直线上任意一点坐标为，则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. （3） 如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点， 当四个点在同一个面上时， （i）例如：，此时； （ii）例如：，此时； 当四个点不在同一个平面时， （iii）例如：，此时； （iiii）例如：，此时； （iiiii）例如：，此时； （iiiiii）例如：，此时； （iiiiiii）例如：，此时； 综上所述，的最大值为2，例如：，，，. 16．（24-25高二上·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，且 【分析】（1）根据直线与平面所成的角求得，根据平面的点法式方程求得正确答案. （2）利用等面积法来求得到直线的距离. （3）设出点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】（1）由于平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 所以，所以. 所以， 所以, ，设平面的法向量为， 则，故可设，平面， 则平面的方程为， 即. （2）在中，，， 设到的距离为，则， 由于平行四边形和平行四边形全等， 所以到直线的距离等于设到的距离， 即到直线的距离为. （3），，，， 即，而， 所以， 设，则，即， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 若平面平面，则， 即， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点，且. 17．（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用向量的坐标运算将条件等式转化为关于的方程求解可得； （2）利用法向量方法求二面角； （3）设，，利用向量的坐标运算将条件转化为垂直关系，结合模长等量关系，建立的方程组求解可得. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由已知， 则, 则， 则， 且. 由题意知, 所以有， 则，解得（舍去）， 故的长为. （2）由（1）知，, 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 由题意，设，， 则 则， 由可知，， 且，由， 则，解得； 则， 则解得，， 则， 又，解得. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解新定义“向量积”，首先它是一个向量，解题中也要从方向与长度两个方面分析，如第三问中的转化：一是该向量的垂直关系可得与两个等式；二是向量的模长.由此通过建立空间直角坐标系向量坐标化转化为方程组的求解即可. 18．（2025·云南红河·三模）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． (1)若图1中，求劣弧的长； (2)若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； (3)由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据弧长公式计算即可； (2)根据弧长公式计算出，通过垂直关系得出，再计算球面三角形的面积，根据公式求出球面三角形的总曲率即可； (3)根据余弦定理，线面垂直的判定定理和性质定理得出，，两两垂直，以此建系，分别求出平面法向量和平面法向量，通过重要不等式计算即可. 【详解】（1）设劣弧的长度为，因为，， 所以； （2）设，，的长度为，， 则，且，所以，，， 故平面，平面，平面两两垂直，得， 所以球面三角形的面积， 故球面三角形的总曲率； （3）由余弦定理知：，所以， ，所以， 因为，所以，因为，故， 由题知，是球的直径，则，， 因为，，且，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，，且，平面，所以平面， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以． 因为，，两两垂直， 以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，设，，则， ，，，，， ，， 则，，，， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 要使取最大值，则取最小值，取最大值， 因为 ， 令，，则，， 可得， 当且仅当，即时等号成立． 则取最大值，为最小值，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$