专题 15.2 线段的垂直平分线（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024)

专题 15.2 线段的垂直平分线 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识引入： 1 知识点（一）线段垂直平分线的性质 2 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 2 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 3 【题型3】利用线段垂直平分线的性质与作图题 4 知识点（二）线段垂直平分线的判定 5 【题型4】利用线段垂直平分线的判定定理求值 6 【题型5】利用线段垂直平分线的判定定理证明 6 【题型6】利用线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 7 【题型7】线段垂直平分线的性质定理与判定定理——尺规定作图 8 知识点（三）互逆命题 9 【题型8】互逆命题 10 知识点（四）互逆定理 10 【题型9】互逆定理 10 二. 同步练习 11 【基础巩固（16题）】 11 【能力提升（16题）】 15 【中考真题8题】 19 一.知识梳理与题型分类精析 知识引入： 【例题1】 我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线所在直线是线段的对称轴，如图1直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、，将线段与直线对称，我们发现与完全重合，由此得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等. 已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点. 求证：.         图1  由【例1】我们可以得出： 知识点（一）线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 【例题 2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若，，求的长； （3）若的周长为，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长是，的周长是，则的长为 ． 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 【例题3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； （2）补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，点在上，垂直平分，垂足为点，分别交，，于点N，G，F，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【题型3】利用线段垂直平分线的性质与作图题 【例题4】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点、分别是的边、上的一点． （1）用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数； （3）在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【例题5】（24-25八年级上·河南周口·期末）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明：    知识点（二）线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. 图3 【题型4】利用线段垂直平分线的判定定理求值 【例题6】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【题型5】利用线段垂直平分线的判定定理证明 【例题7】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【题型6】利用线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 【例题8】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，与相交于点E． （1）请你添加一个条件使，并加以证明， （2）在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【题型7】线段垂直平分线的性质定理与判定定理——尺规定作图 【例题9】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，已知线段及线段外一点C，要求过点C作直线，使直线⊥直线． 小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧； ②以点A为圆心，长为半径作弧，与①中的弧交于另一点D； ③作直线，则直线即为所求．小明对小欣的作法进行了证明． 证明：连接，．    ∵☆________，∴点△________在线段的垂直平分线上（◎________）（填推理的依据）． ∵，∴点□________在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线，∴．下列表示正确的是（    ） A． ☆表示 B． △表示D C． ◎表示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．□表示A 【变式2】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 小结：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，（2）线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 由小结可知：命题（1）与命题（2）题设和结论正好相反，而且都是真命题 知识点（三）互逆命题 互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立. 【题型8】互逆命题 【例题10】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” （1）写出命题的题设和结论，及逆命题． （2）判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 知识点（四）互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 【题型9】互逆定理 【例题11】（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列几何图形中有且仅有一条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，，则的周长是（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、填空题 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，则的长为 ． 11．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接． （1）请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若交于点，连接，且，，求的周长． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． （1）请判定与是否相等？为什么？ （2）与互补吗？请说明理由． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，等腰三角形中，． （1）在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线、边交于点、．若．求证： ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（    ） A．    B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的周长相等 D．若，则 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．15 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为 ． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 12．（21-22八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是 ． ①    ②BG垂直平分DE    ③    ④        ⑤ 三、解答题 13．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ 利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； 14．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 15．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．    6．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 三、解答题 7．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 8．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 15.2 线段的垂直平分线 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识引入： 1 知识点（一）线段垂直平分线的性质 2 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 2 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 4 【题型3】利用线段垂直平分线的性质与作图题 8 知识点（二）线段垂直平分线的判定 12 【题型4】利用线段垂直平分线的判定定理求值 13 【题型5】利用线段垂直平分线的判定定理证明 15 【题型6】利用线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 17 【题型7】线段垂直平分线的性质定理与判定定理——尺规定作图 20 知识点（三）互逆命题 23 【题型8】互逆命题 23 知识点（四）互逆定理 25 【题型9】互逆定理 25 二. 同步练习 26 【基础巩固（16题）】 26 【能力提升（16题）】 37 【中考真题8题】 53 一.知识梳理与题型分类精析 知识引入： 【例题1】 我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线所在直线是线段的对称轴，如图1直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、，将线段与直线对称，我们发现与完全重合，由此得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等. 已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点. 求证：.         图1              证明：， 又   ． 由【例1】我们可以得出： 知识点（一）线段垂直平分线的性质 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 【例题 2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若，，求的长； （3）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 解：（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据角平分线的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长是，的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由垂直平分线的性质可得，又由的周长和的周长即可求得答案． 解：∵在中，的垂直平分线交于E，交于D， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 【例题3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； （2）补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】（1）在中，；（2）见分析． 【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 解：（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点（与共线），下列结论中错误的是（  ） A． B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．据对称轴的定义，与关于直线对称，P为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线、关于直线对称，因此交点一定在上，D错误； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，点在上，垂直平分，垂足为点，分别交，，于点N，G，F，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，可对②进行判断；进而可知，根据垂直平分线的性质得到，，即可证明，可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 解：，， ，， ， ，所以①正确； 垂直平分， ， ， ∵是的平分线， ∴， ， ，所以②正确； ， ∵垂直平分， ∴， ∴，所以③正确； ， ，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【题型3】利用线段垂直平分线的性质与作图题 【例题4】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，点、分别是的边、上的一点． （1）用尺规作图法作出过点且和平行的直线，该直线交于点（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数； （3）在边上找一点，使得的值最小，画出图形，并说明道理． 【答案】（1）作图见分析；（2）；（3）作图见分析，理由见分析 【分析】（1）结合平行线的判定与性质，在的右侧作，交于点，作直线即可； （2）由平行线的性质可得，可得； （3）先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，则点即为所求． 解：（1）解：在的右侧作，交于点，作直线，如图所示： 直线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：先过点作的垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示： 此时垂直平分， ∴， ∴，即为最小值， 则点即为所求． 【点拨】本题考查基本尺规作图-作两个角相等、作线段垂直平分线，涉及平行线的判定与性质、垂直平分线性质、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学几何知识解决问题． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【例题5】（24-25八年级上·河南周口·期末）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明：    【分析】（1）连接点与的中点，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线； 解：（1）证明：如下图所示，连接点与的中点，    在和中， ， ， ， 是的垂直平分线； 知识点（二）线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. 图3 【题型4】利用线段垂直平分线的判定定理求值 【例题6】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 【题型5】利用线段垂直平分线的判定定理证明 【例题7】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 解：（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型6】利用线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合求值证明 【例题8】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，与相交于点E． （1）请你添加一个条件使，并加以证明， （2）在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）添加条件为：，证明见分析；（2）是，证明见分析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 解：（1）添加条件为： ∵，， ∴； （2）是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 【变式1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 解：（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【题型7】线段垂直平分线的性质定理与判定定理——尺规定作图 【例题9】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的判定应用，作线段的垂直平分线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作线段的垂直平分线与角平分线即可． 解：如图：点P即为所求． 【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，已知线段及线段外一点C，要求过点C作直线，使直线⊥直线． 小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧； ②以点A为圆心，长为半径作弧，与①中的弧交于另一点D； ③作直线，则直线即为所求．小明对小欣的作法进行了证明． 证明：连接，．    ∵☆________，∴点△________在线段的垂直平分线上（◎________）（填推理的依据）． ∵，∴点□________在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线，∴．下列表示正确的是（    ） A．☆表示 B．△表示D C．◎表示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．□表示A 【答案】D 【分析】利用垂直平分线的判定定理进行证明，然后作答即可． 解：由题意知，证明过程如下： 证明：连接，．    ∵， ∴点在线段的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上）（填推理的依据）． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴☆表示，△表示，◎表示到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，□表示， 故选：D． 【点拨】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 小结：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，（2）线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 由小结可知：命题（1）与命题（2）题设和结论正好相反，而且都是真命题 知识点（三）互逆命题 互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立. 【题型8】互逆命题 【例题10】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” （1）写出命题的题设和结论，及逆命题． （2）判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）是题设，是结论；逆命题是：如果，那么；（2）假命题，见分析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 解：（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 【变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据真命题和假命题的定义，分析出各题设是否能推出结论，根据绝对值的意义，不等式的性质，有理数的定义，全等三角形的性质与判定，利用排除法得出答案． 解：①若，则，是真命题， 逆命题是若则，是真命题， ②若，则，是真命题， 逆命题是若，则，是假命题， ③如果是有理数，那么是整数，是假命题， 逆命题是如果是整数，那么是有理数，是真命题， ④对应角相等的两个三角形全等，是假命题， 逆命题是两个全等三角形的对应角相等，是真命题， 原命题与逆命题均为真命题的个数是1个； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么， 假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 知识点（四）互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 【题型9】互逆定理 【例题11】（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】（1）①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么；（2）不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 解：（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【变式1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列几何图形中有且仅有一条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．据此逐项分析判断即可求解． 解：A．有无数条对称轴，不符合题意； B．有1条对称轴，符合题意； C．有2条对称轴，不符合题意； D．有3条对称轴，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，，，则的周长为（   ） A．5 B．11 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查尺规作垂线、线段垂直平分线的性质，根据作图痕迹可得垂直平分，进而求解三角形的周长即可． 解：由作图得垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，，则的周长是（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长是． 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．直接利用基本作图方法得出即可． 解：由基本作图方法可得：， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，点P是的角平分线上一点，于点C，于点D，连接交于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质定理可判断A，证明，可判断B，根据线段垂直平分线的判定定理，可判断C，根据直角三角形的性质，可判断D． 解：∵点P是的角平分线上一点，于点，于点， ∴，故选项A成立，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B成立，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分，故选项C成立，不符合题意； ∵，即， ∴，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题的逆命题、判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先写出命题的逆命题，再判定命题真假即可得出答案． 解：命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是“如果，那么互为相反数．”， 所以原命题的逆命题是真命题． 故答案为：真． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，根据作图可知垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，最后根据三角形周长公式计算即可． 解：根据作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为：， 故答案为：9． 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，根据的周长为18，推出，即可求出的周长． 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 的周长为18， ， 的周长为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 由，得到，点在的垂直平分线上，得到，即可得到结论． 解：，， ， 点在的垂直平分线上， ， ． 故答案为：8． 11．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④． 解：由题意得，， ∴直线垂直平分线段，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形是轴对称图形，，故①正确； ∴平分，故②正确； 根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接． （1）请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若交于点，连接，且，，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了画垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据作图可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式进行计算即可求解． 解：（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：因为以点为圆心，以为半径作弧，交于点，所以． 因为垂直平分，所以． 所以的周长为． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 解：（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 15．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． （1）请判定与是否相等？为什么？ （2）与互补吗？请说明理由． 【答案】（1），见分析；（2）与互补，见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。 （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补． 解：（1）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，即与互补． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，等腰三角形中，． （1）在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线、边交于点、．若．求证： ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查垂直平分线尺规作图，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线尺规作图，即可解答； （2）先证明，得到，继而推导出，则，即可解答． 解：（1）解：作图如图 （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的周长相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题及命题的真假，先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，该选项符合题意； 、全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、若，则 的逆命题是若，则，逆命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】D 【分析】由作图可知垂直平分线段，，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 解：由作图可知垂直平分线段，， ， 的周长. 故选：D . 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明．．再证明．得出．则可求出答案． 解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定；正确地识别图形是解题的关键．根据角平分线的定义即可得到结论． 解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， ， 同理可得，， ， 射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线， 也是的平分线． 故答案为：①②③④． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，中垂线的性质，三角形的外角和，根据作图得到是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角，求出，平行线的性质，结合角的和差关系求出的度数即可． 解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，则的度数为 度． 【答案】37 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确理解线段垂直平分线的性质并运用解题是关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理计算即可得到的度数． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， 所以． 故答案为：37． 11．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 12．（21-22八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是 ． ①    ②BG垂直平分DE    ③    ④        ⑤ 【答案】①②⑤ 【分析】先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③． 解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC， ∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°， ∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAC=22.5°， ∴∠BEA=∠ADC， 又∵∠ADC=∠BDE， ∴∠BDE=∠BED， ∴BD=ED， 又∵M是DE的中点， ∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG， ∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确， ∴∠MAG+∠MGA=90°， ∵∠CBG+∠CGB=90°， ∴∠DAC=∠GBC=22.5°， ∴∠GBE=22.5°， ∴2∠GBE=45°， 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确； ∴CD=CG， ∵AC=BC=BD+CD， ∴AC=BE+CG，故⑤正确； ∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°， ∴∠G≠2∠GBE，故④错误； 如图所示，延长BE交AC延长线于G， ∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∵BC⊥AH， ∴C为AH的中点， ∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线， ∴BE≠HE，即E不是BH的中点， ∴CE不是△ABH的中位线， ∴CE与AB不平行， ∴BE与CE不垂直，故③错误； 故答案为：①②⑤． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件． 三、解答题 13．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？ 利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质； 的平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求． 解：点P的位置如图所示： 14．（2025九年级下·新疆·专题练习）如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的垂直平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了解作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握基本作图； （1）作线段的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明． 解：（1）解：作图如下： （2）证明：如图， 的垂直平分线交于点， ，， ， ， ∴， ， ， ． 15．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）10；（2）45°；（3）点在边的垂直平分线上，见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 解：（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见分析；（2）相等，理由见分析；（3）对，理由见分析；（4），理由见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 二、填空题 5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．    【答案】6 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长． 解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D， ∴BD＝CD， ∵AB＝3.7，AC＝2.3， ∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6， 故答案为：6． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键． 6．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】23 【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 三、解答题 7．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见分析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 8．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见分析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$