专题 2.8 直角三角形全等的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.8 直角三角形全等的判定 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）直角三角形全等的判定定理——“斜边、直角边” 1 【题型1】用“HL”证明三角形全等 2 【题型2】全等性质和“HL”综合 3 【题型3】用“HL”证明三角形全等与其他几何知识综合 3 知识点引入2： 4 知识点（二）角平分线性质定理的逆定理 5 【题型4】用角平分线性质定理的逆定理求值 5 【题型5】用角平分线性质定理的逆定理求值证明 6 二．同步练习 7 【基础巩固（16题）】 7 【能力提升（20题）】 11 【中考真题6题】 16 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 知识回顾：（1）要判定两个三角形全等，我们已经学习了哪些方法？ 解答：判定两个三角形全等，我们已经学习了①“边边边”简写“SSS”②“边角边”简写“SAS”③“角边角”简写“ASA”④“角角边”简写“AAS”。 【例题1】（23-24八年级下·福建福州·期中）在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论． 求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 由【例题1】可得： 知识点（一）直角三角形全等的判定定理——“斜边、直角边” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） （2）书写格式：如图1，在Rt△ABC和△Rt中， 图1 【题型1】用“HL”证明三角形全等 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【题型2】全等性质和“HL”综合 【例题3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，是上的一点，，连接、，且．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【题型3】用“HL”证明三角形全等与其他几何知识综合 【例题4】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在上取一点M，使，连接，交于点N，连接． 求证：（1）；（2）． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【变式2】（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 知识点引入2： 【例题5】（24-25八年级上·江苏南京·期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 由【例题4】可得： 知识点（二）角平分线性质定理的逆定理 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 图2 数学语言：（如图2），点在内部，，， ， 为的角平分线（角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 【题型4】用角平分线性质定理的逆定理求值 【例题6】（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【题型5】用角平分线性质定理的逆定理求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接．  （1）求证：平分； （2）点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，，，据此可以证明，依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 8．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，，，若，则 ． 9．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 11．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 12．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．    三、解答题 13．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 14． （24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分． 求证：平分． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． （1）求证：； （2）试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 16．（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，，平分，平分，若，则 ． 11．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，且，点E在线段上，点D到的距离相等（重合除外），则 ． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分，垂足为，则的长为 ． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ．   16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． （1）当平分的面积，求满足条件的t的值． （2）当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． （3）过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 19．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 20．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______ ， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【中考真题6题】 一、填空题 1．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    2．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    二、解答题 4．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 5．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 6．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.8 直角三角形全等的判定 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）直角三角形全等的判定定理——“斜边、直角边” 2 【题型1】用“HL”证明三角形全等 2 【题型2】全等性质和“HL”综合 4 【题型3】用“HL”证明三角形全等与其他几何知识综合 7 知识点引入2： 10 知识点（二）角平分线性质定理的逆定理 11 【题型4】用角平分线性质定理的逆定理求值 12 【题型5】用角平分线性质定理的逆定理求值证明 14 二．同步练习 19 【基础巩固（16题）】 19 【能力提升（20题）】 30 【中考真题6题】 54 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 知识回顾：（1）要判定两个三角形全等，我们已经学习了哪些方法？ 解答：判定两个三角形全等，我们已经学习了①“边边边”简写“SSS”②“边角边”简写“SAS”③“角边角”简写“ASA”④“角角边”简写“AAS”。 【例题1】（23-24八年级下·福建福州·期中）在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论． 求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定方法解答． 根据全等三角形的判定方法解答即可； 解：已知：如图，在和中，，，． 求证：． 证明：在和中，， 根据勾股定理，得，， ，， ， ． 由【例题1】可得： 知识点（一）直角三角形全等的判定定理——“斜边、直角边” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） （2）书写格式：如图1，在Rt△ABC和△Rt中， 图1 【题型1】用“HL”证明三角形全等 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F在线段上，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，由即可证明问题． 解：证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟知定理满足的条件是解答的关键．根据“”定理证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论，进而可得答案． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则射线为的角平分线， 故这么做的原理是定理， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 解：∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 【题型2】全等性质和“HL”综合 【例题3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，是上的一点，，连接、，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求证． 解：∵， ∴为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 【题型3】用“HL”证明三角形全等与其他几何知识综合 【例题4】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过E作于点G．推出是等腰直角三角形，再求得G是的中点，推出是的垂直平分线，据此即可证明即； （2）推出，再利用证明即可得到． 解：（1）证明：过E作于点G． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即G是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 知识点引入2： 【例题4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P在内， ． 求证： ． 证明： 【答案】，垂足分别为C，D，；平分；证明见分析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的逆定理的证明，根据文字命题写出已知、求证，连接，根据证明，即可得证． 解：已知：如图，点P在内，于点C，于点D，． 求证：平分． 证明：连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 即 平分． 由【例题4】可得： 知识点（二）角平分线性质定理的逆定理 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 图2 数学语言：（如图2），点在内部，，， ， 为的角平分线（角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 【题型4】用角平分线性质定理的逆定理求值 【例题6】（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 【变式1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，再证明是的平分线，再进一步求解即可． 解：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【题型5】用角平分线性质定理的逆定理求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 解：（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∴， ∴， ∵ ∴， 故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误， 即正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接．  （1）求证：平分； （2）点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】（1）见详解；（2）①②，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的判定定理，即可得证； （2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解； ②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解． 解：（1）证明：， ， 是的平分线， 平分； （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，，，据此可以证明，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判断是解题的关键． 依据图形可得到是公共边，结合，进行判断即可． 解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵， ∴． 故选：． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可． 解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合， 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答． 解：如图：过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴的度数为 故选：C． 6．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，是上一点，连接，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． 先利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得平分，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． 解：，， ． ，，， 平分． ． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在和中，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案． 解：由题意得：，，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形内角和定理，熟记角平分线的判定定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的判定得到平分，平分，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 解：， ， 点在△内，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质，如图所示，过点D作分别交延长线于E、F，过点D作于H，先求出，，进而证明平分，得到，同理得到，则，由此可得平分，可利用三角形外角的性质可证明． 解：如图所示，过点D作分别交延长线于E、F，过点D作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴平分， ∴， ∴ ， 故答案为：．    三、解答题 13．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，，若，求证：是中点． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．连接，先根据角平分线的判定定理可得平分，再根据等腰三角形的三线合一即可得证． 解：证明：如图，连接， ∵，，， ∴平分， ∵在等腰三角形中，， ∴是中点（等腰三角形的三线合一）． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 解：证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． （1）求证：； （2）试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）点是否在的平分线上，理由见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定定理解答即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵、是的两条高线， ∴， 在和中，     ∵，，， ∴； （2）解：点是否在的平分线上，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在的平分线上． 16．（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 解：（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，即得是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，平分，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出A正确，再证，进而得到C、D正确，没有条件能证明B，进而即可解决问题． 解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，故B错误，符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理以及勾股定理的应用．解题关键是熟练掌握角平分线的性质定理； 由作图知平分，结合（即）和，根据角平分线性质得．利用“”可证，从而得出．由，，算出；根据勾股定理，求得．将周长转化为，利用，进一步转化为，代入，，算出周长． 解：由作图知：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 的周长． 故选：C． 5．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 解：，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，的角平分线与边的垂直平分线交于的外部点处，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．证明．．再证明．得出．则可求出答案． 解：平分，，， ． 在的垂直平分线上， ． 在与中， ， ． ． ． 故选：B． 8．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】过点G作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，根据垂线段最短可知，的最小值为， 解：如图，过点G作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：C． 【点拨】本题考查作图-基本作图，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，是解题的关键． 过点A作于点D，证明，得，即得． 解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 解：如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∵ 设，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 11．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作交于，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质及勾股定理得，，，即可求解；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 解：过作交于， 平分，， ， ，， （）， ， ， 设， 在中，， 在中，， 在中， ， 解得：（负值已舍）， ； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D在上，且，点E在线段上，点D到的距离相等（重合除外），则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质与判定、勾股定理、等腰三角形性质及三角形外角性质，先证明，得出，进而证明，再利用勾股定理及借助三角形面积求出结论． 解：点D到的距离相等， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分，垂足为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等内容，解题关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交于点，根据角平分线的性质证出，求出的长度，然后证出为等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 解：如图，过点作，交于点， 又∵平分， ， ∵ ∴， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ， ∴为等腰三角形， 由三线合一得，点为线段的中点， ， 故答案为：6． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ．   【答案】 【分析】连接，过点作于，交于，交于，根据角平分线的性质定理和线段垂直平分线的定理可得，，证明三角形全等得出，最后再由角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，连接，过点作于，交于，交于， ， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点拨】本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线． 三、解答题 17．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图，过点分别作于，于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答； 解：（1）证明：如图，过点分别作于，于， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 又，， ∴点在的角平分线上， ∴平分；    （2）解：∵，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，，点D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为连接． （1）当平分的面积，求满足条件的t的值． （2）当是以为底的等腰三角形，求满足条件的t的值． （3）过点D作于点在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为5或11时，能使 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的定义，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． （1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）当是以为底的等腰三角形，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 解：（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：当是以为底的等腰三角形，， 根据题意得， ， ， ∵， ∴， ， 解得； （3）解：连接， ∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 19．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见分析；②，理由见分析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可； （2）①过点A分别作于点P，于点Q，证明，利用角的平分线的判定定理解答即可． ②在延长线上取点T，使得，连接，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 解：（1）解：和都是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为． （2）①证明：如图，过点A分别作于点P，于点Q， ， ∴， ∴，，即， 解得， ∵，， ∴平分． ②解：． 理由如下：在延长线上取点T，使得，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由， ∴是等边三角形 ∴， 由， 故． 20．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【答案】（1）；；；（2）①见分析；②见分析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为：． 【中考真题6题】 一、填空题 1．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    2．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、解答题 4．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）二；（2）见分析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 解：（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 5．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见分析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 6．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】（1）；全等三角形的对应角相等；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 解：（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$