2024-2025学年上学期高二期中联考数学

2024年秋季高二期中联考 数学 (考试范围：必修1，必修2，选择性必修1) 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是符合题目要求的 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,4},集合B={0,3, 5,6},则(CuA)∩B等于 A.{4) B.{7,8} C.{3,5,6} D.{3,5,6,0} 如 2.直线2zx-y=0是双曲线号-￥-1(a>0)的一条渐近线，则a= 蚁 A.1 B.2 C.4 D.16 製 3.直线x十√3y一1=0的倾斜角是 A.30° B.60° 郑 C.120° D.150° 端 4.已知x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-2,2),且a⊥c, 岗 的 b∥c,则x十y的值为 A.-1 B.1 C.2 D.3 5.已知函数f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=3x十1， 则f1og )的值为 A.3 B.-3 C.-2 D.2 6.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A(2,4),点P满足 P可·PA=3.过点P总可以向以点C(5,6)为圆心r为半径的圆作两条 切线，则半径r的取值范围为 A.(0,√2) B.(0,2√2) C.(0,32) D.(0,4√2) 高二数学试题第1页（共8页） 7.如图所示，在三棱锥P-ABC中，∠APB=,PA=4,PB=3,AC √35，BC=√I0,且平面PAB⊥平面ABC,则该三棱锥的外接球的表面 积为 A.24π B.28π C.32π D.35π 8.已知△ABC的顶点均在抛物线x2=4y上，且S△ABc=2√2，过A、B、C 分别作抛物线x2=4y的切线11、l2、l3,则三条切线11、l2、l3围成的三角 形的面积为 A.2 B多2 c D.2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.已知曲线C的方程为cos0·x2+sin0·y2=sin0·cos0,0∈(0，π)，则 下列说法正确的是 A当=时，曲线C为直线 B.当E(0,)时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆 C.当e(受，x)时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线 D.曲线C不可能是圆 10.下列说法正确的是 A.在长方体ABCD-A1B1CD1中，(AB,AC,A1C}可以构成空间的 一个基底 B.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足 OM=号(OA+Oi+OO,则M在平面ABC内 高二数学试题第2页（共8页） C.若向量p=mx十y十，则称(m,n,k)为p在基底{x,y,z}下的坐 标，已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基 底a-b,a+b,c下的坐标为(-2，是，3) D.已知PA、PB、PC是从点P出发的三条线段，每两条线段夹角均为 60°，PA=PB=PC=1,若M满足PM=PA+2PB+3PC,则 cos(AM,AB》=19 19 1.已知椭圆C后十荒-1a,>6>0)和双曲线C:看-盖-1a,>0,6 >0)有公共焦点，左，右焦点分别为F1,F2,设两曲线在第一象限的交 点为M,MP为∠FMF2的角平分线，MQ⊥MP,点P,Q均在x轴上， 设椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,则下列说法正确的 是 A.MF·MF2=b%-b B.以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为2αb C若rF=6MF,则e的取值范围为（年，》 D若∠FM:=60,则票)+（ 的最小值为1十3 选择题答题卡 题号 2 3 4 5 6 7 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(1,)为抛物线上一点，若 |MF=2,则= 13.已知直线l的一个方向向量为(b,a),直线L2的一个方向向量为(1一 a,2),其中a,b为正数，若l1⊥l2,则3a十2b的最小值为 14.已知长方体ABCD-A,BC1D1中，AB=AD=2AA=4,点P为平面 A1ADD内任一点，且点P到点A1的距离与到面ABCD的距离相等， 点E,F分别为BC,CD的中点，则三棱锥P-EFC的体积的最小值为 高二数学试题第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.(本小题满分13分) 已知双曲线C:x2一y2=m(m>0)的左右焦点与点(0，W6)构成等边三 角形 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l过定点(0,1)且与双曲线C交于P,Q两点，当|PQ=2√2 时，求直线l的方程. 高二数学试题第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 一个小岛（点O)的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为 1km的圆形区域内，轮船在小岛正东方2km的B点处.以小岛中心为 原点O,正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面 直角坐标系，取1km为单位长度， (1)若轮船沿北偏西45°的航向直线航行，轮船是 否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线L过点B,且其倾斜角为直线)y2x的 B 0 轮船主 倾斜角的2倍，求1的一般式方程，并求暗礁边 界上动点P到直线1的距离的最小值， 高二数学试题第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(c一b)sinC= (a+b)(sin A-sin B). (1)求A; (2)若a=2,求三角形内切圆半径的取值范围. 高二数学试题第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，PD⊥面ABCD,PD=AB=4,E为棱PA上的动 点 (1)若E为棱PA中点，证明：PC∥面EBD; (2)在棱PA上是否存在点E,使得二面角B-DE-A的余弦值为？ 2 若存在，求出票的值；若不存在，请说明理由； (3)E,F,Q分别在棱PA,PC,PD上，EQ=FQ=1,求三棱锥F-EDP 的体积的最大值. 高二数学试题第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 已知精圆C+芳-1a>b>0)的离心率为号且过点1，写》，过点 P(4,2)作椭圆C两条切线，切点分别为A、B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求直线AB的方程； (3)过点P(4,2)作直线1交椭圆C于D,E两点，其中点D在x轴上 方，直线l交直线AB于点F.试证明：PD·FE+FD·PE=0恒 成立 高二数学试题第8页（共8页）2024年秋季高二期中联考 数学答题卡 名 贴条形码区 号 考生转新暖考老生有面老域局多和民清传出想笔维修有的触天每足 1青世编，香生然g诗是量韩已纳时名，准军证可销同在能消营，传准方 注 西格鞋在线的位道 等 事 选择题《请用2扫如笔演涂) 1[A】.LsJG1L0] 5[AJt】IG][O 4[A】N】LG,LD1 2[A1s1《a101 nIAI [B][CI [D) 10A][B1 [C][D] 3[A)[e](cl [D] 7[A1[a1G1p iI【A1tn]【e)[D 4rA7【8]IG1ID 8a」[B时ICID 非道保题（清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 25分1 民(3分) 45分) 离在香国的溶面夏碱内作香，指正规制也想带定区城的所南无数 15(本小题分1违分 高二数学第1面（共2面1 速在有程目香国调内清活，用国辆达座■夏域的答南克烟 6本小避清分5分1 17.(本小题确分15分1 店车森得销满越国健内作青，燃出银料的口能面据速的满室光站 1风.（本园满分7分 结存务箱目的等粗道道内作高，植出量制味想健定道域的需率光置 二数单第2面（共2面1 收（木小题清分7分） 地存务端目的常组组域内作活，维出架触山健量市或国的苦率光量2024年秋季高二期中联考 数学参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 D A D A B B D A ABC BCD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个远项是符合题目要求的. 1.D【解析】全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},而A={1,2,4},则CA={0,3,5,6,7,8},又B={0,3,5,6,所以 (CuA)∩B={3,5,6,0}.故选D. 2.A【解析】直线2江-y=0是双曲线号-￥=1(>0)的一条渐近线，由直线2x-y=0的针率为2，得忌=2， 所以a=1.故选A. 3D【解析]由直线方程可得钟率长=气，设直线的领针角为®， 则tana= 写，"0≤a<180°，a=150°故选D 4.A【解析】因为向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,一2,2)， 由a⊥c,则2x-2+2=0,解得x=0, 1=y。=1 由b/c,则2=2，解得)y=一1， 则x十y=一1.故选A. 5.B【解析】周期为2.f(log)=fog81-1og2)=f4-1og2)=f(-1log2) =-f(1og2)=-(32十1)=-(2+1)=-3，选B. 6.B【解析】设P(xy),由P0·PA-3,得圆(x-1)2+(y-2)=8.点(5,6)与点(1,2)的距离为4V2,由于过，点 P总可以向以点C(5,6)为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以0<r<42一2√2，故r的取值范围为 (0,2√2). 7.D【解析】在△PAB中，∠APB=,PA=4,PB=3,AB=5, :AC=V√3，BC=O,AB+BC=AC,则∠ABC=受， T 取AB,AC的中点分别为D,O,则D,O分别为△PAB,△ABC的外心，且DOAB, ,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,DOC平面ABC, DOL平面PAB,则O为三棱维P-ABC外接球的球心，外接球的半径R=AS= 2 2 :“外接球的表面积S=4xR=4x×35=35。 故选D. &A【解析】设A(e)Bb,),C(e)过点A的切线1y一受=x-a 联立 y号=r一a:得F-hr十4ha-G=0,令4=16N-4(4a-a)=0.解得k=号， x2=4y, 所以4：=号一气同理可得y=一，4：=x一， 记44交于点D,山交于点E,4交于点F,联立的方程解得D(生，空)， 同理可得（告，），F告)则w一=“号=-， 2 高二数学参考答案一1 另外直线ACy-a+e)r-华，直线DFy-br-华 过点B垂直于x轴的直线交直线AC于点G,解得|BG=ab+bc一ac-L 4 过点E垂直于x轴的直线交直线DF于，点H,解得|EH=ab+bc一aC一I 4 因为S6e=2BGl·lxe-,Sam=号|EH·lxr-xn, 所以S△c=2Sr=2√2，即切线l1、l2、13围成的三角形的面积为v2. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ABC【解析】A选项：当0-受时，曲线C的方程为)y=0,即y=0,故曲线C为直线，正确B选项：当0E(0,于)时， 方程可化为品。十。=1，由ms>血0>0可知曲线为焦点在y轴上的箱国，正角，C选项：当9C (停]时，方程可化为品)十点。1，由血>0,0s0<0,可知南线为焦点在x轴上的双向线，正瑰D选 项：当=景时：方程可化为品6十益。1由血0s0-号 ，可知曲线为以原点为圆心，以√气为半径的 圆，D错误.故选ABC. 10.BCD【解析】对于A,因为AB,AC,A,C共面，所以{A店，AC,AC)不能构成空间的一个基底，所以A错误； 对于B,因为0Mi=}Oi+0丽+0心)=Oi+O丽+0心， 又因为号十号+号=1，所以M.A,B.C四点共而，从而M在平面ABC内，所以B对： 对于C,由题意知：p=a十2b+3c, 设p=x(a-b)+y(a十b)+c(x,y,x∈R), (x十y=1, 2, 则p=(x十y)a十(y-x)b十c=a十2b十3c,所以y-x=2,解得： x=3, 2=3, 所以向量p在基底a-ba十b.c下的坐标为一日，号3，C正确 对于D,因为AM=PM-PA=2PB+3P心， 则1AM=√(2P币+3PC=√4P序+12Pi.P心+9P元=√4+12×1X1×号+9=√， AM.A店=(2PB+3PC)·(Pi-PA)=2P店-2Pi.PA+3P元.Pi-3P心.Pi =2-2×1X1×2+3×1X1×号-3×1X1×号=1， 所以cos(Ai,Ai》=,Ai.A店 1= A·A1丽.7=g.D正确. 11.BCD【解析】设|F1F2|=2c,|MF=m,|MF2|=n,∠F,MF2=0,由椭圆和双曲线定义有m十n=2a1,m一n =2a2,将两式平方得m2+m2+2mm=(2a1)2,m2十n2-2mn=(2a2)2,相加整理得m2十n2=2a十2a号，又在 △F1MF2中，由余弦定理有m2十n2-2ncos0=(2c)2,则mncos0=a十a2-2c2,即mncos0=-b%,则 MF.MF。=mncos0=份-候，故A选项错误； 椭圆和双曲线一个交点M(xo),由椭圆和双曲线的对称性知另外三个点的坐标为（一0，%），(0，一%)， (一，一)，以它们为项点的四边形为矩形，面积S=40,又点M)在精国上，所以满足爱十爱-1， 则有S=4红=2a6X2(侣·治)）长2a,6×(原+普)=2a,,当且仅当合=光时等式成立，敢B选项 a b 正确： 高二数学参考答案一2 1EE=6ME:即2c=6m,所以n=专，则m=2a1-n=2a,-专，又2，=m-n=2a-号<2c,所以a< 。=4 36,则e1e=3- 3-6 .令1=3-e1 ∈（么，号）%=3-1则6=3③，少-3×±98=3×(+号-6小画教y=4+号在(2是）上单调递 减，所以∈（骨，），故C选项正确， 由MP为∠FMF2的角平分线，MQ⊥MP,易知MQ为△FMF2的外角平分线，则由角平分线性质定理有 MFPF go PFPF2_PF+PF:2c MF2PF。MF,MF2MF,十MF,2a1 -,由外商手分线性质定理有识-8器，器一器- 器器-会-*（票+（膘） MF-MF2 2a2 的最小值即求e十e吃的最小值：由m十n=2a1,m一n=2a2可得 m=a1十a2,n=a1-a2,代入m2十2-2 mncos0=(2c)2即m2+n2-mn=(2c)2,整理可得4c2=a+3a,所以 +是=4 则+-}+（侵+）=(+等+4）≥(2,5+0=1+受，当且仅当-5i时取等号，所 以（票）厂+（器）的最小值为1+受，故D选项正痛 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2【解析】由已知可得抛物线的准线方程为x=一专，国为MF=2,所以1+号=2，解得p=2。 1以7+4厅【解折]限题意，可得61-0+2a=0,即2+6=a6,所以号+日1，由o>0,b>0可得3a+2为 (日+号)3a+2)=7+2+g>≥1+45. 14.4【解析】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设P0y,则有：=+1， 易知E(4,2,0),F(2,4,0),C(4,4,2) 易知平面EFC1的法向量为n=(一1，一1,1)， F户=（一2，y一4，），则P到平面EFC,的距离d= FP·n n -y十4十2+x -y+7 (-1)+6 23，所以d的最小值为2√3，由图易知△EFC为等边三角 √3 3 √3 形，所以三棱维P-EC的体积的最小值V-×dXS-号×2,3X(号×222,2×号）=4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)由题意可知双曲线焦距为2√2，所以有2m=(W2),所以m=1, (2分) 双曲线C的标准方程为：x2一y=1. (5分) (2)设直线l的方程为y=kx十1， 联立方程组 里22，得0-)-2hx一2=0，…(7分 △=(-2k)2-4(1-k2)(-2)=一4k2+8>0,解得k∈(-√2，W2), 由韦达定理可知， 1PQ=件V+a-=1+√+=2E. 4k2 …(9分) 即k2(3k2-5)=0,…(10分） 高二数学参考答策一3 解得k=0或士正 3 …(们2分) 所以直线1的方程为y=1y雪+1或)=-。 3x+1. **** (13分) 16.【解析】(1)由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆O的方程为：x2十y=1.轮船航线所在直线 过点(2,0)，所在直线的倾斜角为135°，斜率为一1，直线方程为y=一(x一2)，即x十y一2=0.…(3分) 2 原点到轮船航线所在直线的距离为d =√2>1，所以，轮船没有触礁风险.…(6分) √1+1 (2)记直钱1的领针角为a,直线y=之的领针角为R则1an月=合k=1ana=1am29-亭….(8分 直线1的方程为：y=考红一2)，其一段式方程为：4一3y-8=0.…（0分) 易知原点到直线l的距离为d= y6pg>12y 直线1与圆O相离， 到直线1的距离的最小值为：-=兰（km.… (15分) 5 17.【解析】(1)因为(c-b)sinC=(a十b)(sinA一sinB),由正孩定理得： (C-b)0=(a十b)(Q-b),…(2分) 即2-b=a2-},亦即C2十-a2=b0,… (4分) 所以cosA=+-a=c=1 2%0产2h2，“ …(6分） 又0<A<T,故A=晋 31 (7分) (2)由余弦定理a2=b十2-2 bccos A,可知4=2十2-bc, 即4十3b沁=(b十C)2.… (9分) 设三角形内切圆半径为n则S=(a+b叶e)r=lesin A, besin A=5.h+24=5.(6叶c-2),… 即r=2+b十c6 2+b+c6 (11分) 由正孩定理可知2R-入 2-43 3 2 e-2Rsin B+2Rsin C sin B+-sin sin Bos B) sin B+cos B)-4sin (B). (14分) 又B∈(0，），所以B+吾∈（倍，），所以6叶c=4sin(B+吾）∈(2,4。 -9.6+-2e(,1 6 …(15分） 18.【解析】(1)连接AC交BD于0，…(1分) 易知EO∥PC,… (2分) 又因为EO在面EDB上，所以PC∥面EBD:…(3分) (2)以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为之轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，可得D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,0,4),PA=(4,0,一4)， 由E为棱PA上一点，设PE=P=(4以，0，-4纵)，0≤≤1，… …(5分) DE-Dp+PE=(4以，0,4-4以)，DB=(4,4,0).…(6分) 设平面EBD的法向量为n=(a,b,c), n·DE=0, 。14λa+(4-41)c=0, m.Di=0可得4如十6=0. 由 高二数学参考答案一4 令c=入，则a=入-1，则n=(入一1,1一入，入).…(8分) 取平面ADE的法向量为m=(0,1,0), 则二面角B-DE-A的平面角&满足：cosa=Tm· m·n 11-a 2 /(1-1)2+(1-A)+ 3 化简得：3以+2以-1=0，解得：以=了或A=-1(舍去 故存在满足条件的点上北时职=子 (10分) (3)因为VFPED=VoPEF, 可知三棱锥D-PEF体积最大时，即SAr最大，在△PEQ中，由余孩定理有： EQ=PE+PQ-2PE·PQcos,∠EPQ, 可得PQ-√2PE·PQ+PE-1=0, 设PQ=x,则x2一√2PE·x+PE-1=0, 由题可知：该方程有实根，则△=2PE一4(PE一1)≥0，解得PE≤2， 同理可得PF≤√2.…。 (14分) 设，点D到平面PEF的距离为d,则由等体积法得到： VD-PAC =VP-ACD, 号×3×42x4恒x号xd号×号×4X4X4 解得：d=43 3· …(16分） 当S△最大时三棱锥D-PEF体积最大，即三棱锥F-PED体积最大， 最大体积为：=号·宣22，号，4=号 2 + 23 31 (17分) c=② a2 a2=4, 19.【解析】(1)由题意可得a2=+c2,解得=2， c2=2, 所以：精圆C的方程为+号 =1. (3分) (2)设A(1,y),B(22), 下证：切线PA的方程为+学=1， 2 (4分) 直线PA的斜率存在，y≠0，设直线PA的方程为：y一y=k(x一t) 与C置+苦=1联立整理得：1+2)r+一)+2n-如-4=0. 由已知得：△=16k(y1-kx1)2一4(1十2k2)[2(y-k.1)2-4]=0, 化简得：(4-x)k2十2x1yk十2-y听=0.…(5分) 因为+2y=4,则4k+4知yk+=0,即(2yk+x)2=0,所以k=- 2y …(6分) 所以直线PA的方程为：y-y=一(x-1),即x十2y=x十2，则.x十2yy=4, 2y1 故直线PA的方程为+必=1. 4 …(7分) 2 同理可得直线PB的方程为+学=1， 2 由点P的坐标为4,2)，则安+号=1，号+2艺=1， 2 …(8分) 高二数学参考答案一5 则A(国m),B()两点都在直线号+受=1上， 由于两，点确定一条直线，故直线AB的方程为x十y一1=0：…(9分) (3)设D(x3,y3),E(x4,y4）, 由题意易得直线l的斜率存在，故可设为y一2=k(x一4)， 得(2k2+1).x2-8k(2k-1)x+4(8k-8k+1)=0. y-2=k(x-4), 由韦达定理可得十x4一2欢2十，x·=8十1） 2k2+1 …(们1分) 联立/x+)y-1=0, (12分) y-2=k(x-4), （号》 要证PD.FE+FD.P元-0，即证PD·|F=|FD·|P, 等价子任明离一留两以只客经明受会受 PEFE 化简可得(4十xr)(T3十T1)一2cs一8xr=0,… …(14分） 将市越定理及F(货)代入可得： （+终）.02-2.4-8·号-0 2k2+1 …(15分) 化简得(8k十3)k(2k-1)-(8k2一8k十1)(k+1)一(4k-1)(2k2+1)=0, 即16k8-8k2+6k2-3k-(8k3+8k2-8k2-8k十k+1)-(8k3+4k-2k2-1)=0, 上式显然可以判断出是恒成立的. 故PD,FE十FD,PE=0恒成立，…(17分) 高二数学参考答案一6