精品解析：浙江省 金华市第四中学2024-2025学年下学期九年级开学数学试卷

2024-2025学年浙江省金华四中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段长度能构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 4. 若代数式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c，d是实数，若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（　　） A. B. C. D. 9. 若关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 一个不透明的箱子中装有个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是，则箱子中红球有_____个． 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________． 14. 如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为________． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 16. 如图1所示，某型号纸杯的侧面展开图为扇环，其两条弧所在圆的圆心重合，测得A，B间的距离为，C，D间的距离为，如图2所示，若在矩形纸板中剪下如图1的扇环，扇环的各个顶点均在矩形的边上，且较长弧与矩形一边相切，则的长是______；如图3所示，若在等腰纸板中剪下如图1的扇环，扇环的较短弧的两个顶点落在斜边上，较长弧分别与直角边切于点P，Q，则的长是______ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画一个整点四边形． （1）在图1中画一个四边形，使得M的横、纵坐标相等，且被所分的两个三角形中，有一个三角形是等腰三角形； （2）在图2中画一个四边形，使得N的横、纵坐标之和大于4，且被所分的两个三角形中，至少有一个三角形是等腰三角形． 19. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 20. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 21. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC＝16cm，支撑板长BD＝16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，电子器材AC可绕点B转动，支撑板BD可绕点D转动． （1）如图2，求摄像头（点A）离地面的高度H（精确到0.1cm）． （2）如图3，为方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平托板DE上，求∠α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5；≈1.41；≈1.73） 22. 已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省金华四中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：B. 2. 年春运嘉兴南站旅客发送量约万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的、值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．科学记数法的形式是，其中，为整数，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：A． 3. 下列线段长度能构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选： 4. 若代数式有意义，则x的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：若代数式有意义， 则且， 所以且， 所以的值可以是2， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型． 5. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 6. 已知a，b，c，d是实数，若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式性质1：不等式两边同加上或减去一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号的方向改变；由此判断即可． 【详解】解：A、，，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，，故此选项不符合题意； 故选：A. 7. 如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 8. 如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵P（，1）， ∴tanβ＝， 故选C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 9. 若关于、的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，x+1=2，y-2=-1． ∴x=1，y=1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义解决此题． 10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由为等腰三角形，可得，进而得到，再根据可得，即得，据此得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 一个不透明的箱子中装有个球，它们除颜色外其余都相同，从箱子中随机摸出一个球，记下颜色并放回．若摸到红球的概率是，则箱子中红球有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设有红球个， 根据题意，得摸出红球的概率， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等可能事件概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13. 若反比例函数的图象经过，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 14. 如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．过点作轴于点，由，，可得，，根据位似图形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ，， ，， 以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， 即且 ， ∴且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 16. 如图1所示，某型号纸杯的侧面展开图为扇环，其两条弧所在圆的圆心重合，测得A，B间的距离为，C，D间的距离为，如图2所示，若在矩形纸板中剪下如图1的扇环，扇环的各个顶点均在矩形的边上，且较长弧与矩形一边相切，则的长是______；如图3所示，若在等腰纸板中剪下如图1的扇环，扇环的较短弧的两个顶点落在斜边上，较长弧分别与直角边切于点P，Q，则的长是______ 【答案】 ①. 14 ②. 【解析】 【分析】先找出扇形的圆心O，然后求出圆心到的距离，再由求出的长度；证明四边形为正方形，由求出的长度，进而根据等腰直角三角形的性质求出的长度． 本题考查了几何体的展开图，涉及到扇形、矩形、正方形和等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，求出的长度是解答本题的关键． 【详解】解：如图a所示，延长交于点O，过点O作于N，交于M， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴； 由题意得，，， ，； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 由勾股定理，， ； 如图b所示，延长和交于点O，连接交于点M，连接， 根据切线的性质，， 又∵， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形． 根据等腰直角三角形的性质，， 故答案为：14；． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画一个整点四边形． （1）在图1中画一个四边形，使得M的横、纵坐标相等，且被所分的两个三角形中，有一个三角形是等腰三角形； （2）在图2中画一个四边形，使得N的横、纵坐标之和大于4，且被所分的两个三角形中，至少有一个三角形是等腰三角形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、坐标与图形性质、等腰三角形的判定与性质、多边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）结合等腰三角形的判定按要求画图即可． 【小问1详解】 解：如图1，四边形即为所求． 【小问2详解】 如图2，四边形即为所求答案不唯一   19. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 【答案】（1） （2）70 （3）由（1）（2）可知，两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，成绩较为稳定，故（1）班的复赛成绩较好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效的获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解： ， 九（2）班的五位成绩排序后，； 九（1）班成绩中出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 20. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，求弧长，求扇形面积； （1）连接，根据等边三角形的性质可得，，证明是等边三角形，进而得出，然后根据弧长公式进行计算即可求解； （2）连接，过点作于点，由（1）得是等边三角形，由等边三角形的性质求得的长，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵以等边三角形的边为直径作半圆，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 21. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长AC＝16cm，支撑板长BD＝16cm，水平托板DE离地面的高度为120cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，已知摄像头在点A处，支撑点B是AC的中点，电子器材AC可绕点B转动，支撑板BD可绕点D转动． （1）如图2，求摄像头（点A）离地面的高度H（精确到0.1cm）． （2）如图3，为方便使用，把AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平托板DE上，求∠α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5；≈1.41；≈1.73） 【答案】（1）139.5cm （2）33.4° 【解析】 【分析】(1) 作于点F，，于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，又水平托板DE离地面的高度为120cm，可得答案． （2）由题意可得，在Rt△DBC中，已知两直角边，可求得∠BDC的正切值，进而可求得α的度数． 【小问1详解】 解：如图2，作于点F，，于点G， ∵，∴， 又∵cm，∴cm， ∵，∴，∴， ∵cm，B是AC的中点， ∴， ∴cm 【小问2详解】 解：由条件，得：， 又∵cm，cm， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键． 22. 已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把，代入函数解析式，进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 把代入，得：， ∴， ∴， ∴或； 【小问3详解】 ∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵对于，，总有， ∴， ∴． 23. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，弦 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即是等腰三角形 【小问3详解】 解：连接， 由（2）可得，又 ∴垂直平分， ∴， 又∵是的直径，弦，则垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $