1. 3 第一课时 并集与交集课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1. 3　第一课时　并集与交集 明确目标 发展素养 1.理解两个集合的并集与交集的含义 2.会求两个简单集合的并集和交集 3.能使用Venn图表达集合的并集与交集，体会图示对理解抽象概念的作用 1.通过集合的交、并集运算，提高数学运算素养 2.借助集合交、并集运算的符号语言及图形语言，培养数学抽象和直观想象素养 3.通过运算结果逆向求参数，培养逻辑推理素养 知识点一　并集 (一)教材梳理填空 或 A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B} 2．填表： 知识点二　交集 (一)教材梳理填空 且 A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B} 2．填表： 2．某班学生参加数学课外小组的人数是参加物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外小组的有5人，至少参加一个课外小组的有25人．参加数学课外小组、物理课外小组的人数各是多少？ 文字语言 一般地，由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_____(读作“________”) 符号语言 A∪B＝__________________ 图形语言 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素． (　　) (2)若A∪B＝A，B≠∅，则B中的每个元素都属于集合A .(　　) (3)并集定义中的“或”能改为“和”． (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× ∪ ∅ A B ∅ ∅ A B B∪A 答案：∅　A　B　A　A　A∪B　B　B 3．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于 (　　) A．{－1,0,1}　　　　 B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2} D．{0,1} 答案：B 文字语言 一般地，由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作______(读作“______”) 符号语言 A∩B＝__________________ 图形语言 [微思考]　如何区别交集与并集？ 提示：A与B的交集是由A与B两个集合中的所有公共元素组成的，即集合A∩B中的所有元素在A中与B中都必须同时拥有．而A与B的并集是由A与B两个集合中的所有元素(重复元素只出现一次)组成的，即集合A∪B中的元素可能A与B两个集合都有，也可能A有B没有，或者A没有B有． 一般地，集合A∩B比A与B两个集合的范围都小或元素都少；集合A∪B比A与B两个集合的范围都大或元素都多．当且仅当A＝B时，A∩B＝A∪B＝A＝B. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)若A∩B＝C∩B，则A＝C. (　　) (2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合． (　　) (3)集合A∩B中的元素个数一定比任何一个集合的元素个数都少．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× ∩ ∅ A B ∅ A A∩B B 答案：∅　∅　∅　∅　A　∅　B∩A　B 3．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B等于 (　　) A．{1,3}　 B．{3,5}　　 C．{5,7}　　 D．{1,7} 答案：B 题型一　并集的运算　 【学透用活】 并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用下图形象表示． [典例1]　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于 (　　) A．{1,3}　　　　　　 B．{2,4} C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7} (2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q等于(　　) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|－1＜x＜0} D．{x|1＜x＜2} [解析]　(1)依题意，得B＝{1,3,5,7}， 因此A∪B＝{1,2,3,4,5,7}． (2)因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，画出数轴如图， 所以P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A. [答案]　(1)D　(2)A [方法技巧] 求两个集合的并集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．　　 【对点练清】 1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝ (　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} 解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∪B＝{x|1≤x<4}． 答案：C　 2．(多选)满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是 (　　) A．{5} B．{1,5} C．{3} D．{1,3} 解析：由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A⊆{1,3,5}，且A中至少有1个元素5.故选A、B. 答案：AB　 3．(多选)集合A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A∪B＝{(x，y)|x＜0或y＜0}，表示的区域是平面直角坐标系中的第二、三、四象限和x轴、y轴的负半轴，故选B、C、D. 答案：BCD　 题型二　交集的运算　 【学透用活】 (1)交集概念中的“所有”两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝{2,3,4}，而不是{2,3}，{2,4}或{3,4}． (2)当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与集合B的交集为空集．如A＝{0,1,2,3}，B＝{4,5,6}，则A∩B＝∅. [典例2]　(1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝ (　　) A．∅ B．{－3，－2,2,3} C．{－2,0,2} D．{－2,2} (2)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N等于(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－2＜x＜3} [解析]　(1)因为A＝{x||x|＜3， x∈Z}＝{x|－3＜x＜3， x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|＞1， x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}， 所以A∩B＝{－2,2}，故选D. (2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示， 由图知M∩N＝{x|－1＜x＜1}． [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　 【对点练清】 1 已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0，1,2}，则A∩B＝(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2} 解析：∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}， B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A. 答案：A　 2．设S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则S∩T等于 (　　) A．∅ B. C. D. 解析：∵S＝{x|2x＋1＞0}＝，T＝{x|3x－5＜0}＝，在数轴上表示出集合S，T，如图所示， ∴S∩T＝.故选D. 答案：D　 题型三　利用并(交)集的性质求参数的值或范围　 [探究发现] 设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？ 提示：A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A⊆B三者为等价关系． 【学透用活】 [典例3]　已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求实数k的取值范围． [解]　由A∪B＝A，得B⊆A. 当B＝∅时，k＋1＞2k－1，∴k＜2； 当B≠∅时， 解得2≤k≤. 综上可知，实数k的取值范围为. 求解含有参数的集合运算的方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，要做到不漏解． (2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效方法是合理运用数形结合思想帮助分析与求解．另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．　　 【对点练清】 1．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3＜x≤5}”，则实数k的值为________． 解析：由题意可知解得k＝3，所以实数k的值为3. 答案：3 2．[变条件]把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，则实数k的取值范围为________． 解析：由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即无解，所以k∈∅. 所以实数k的取值范围为∅. 答案：∅ 3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________. 解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，解得a＝－1或a＝4.当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．∴a＝4. 答案：4 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．以下是甲、乙两位同学分别解“已知集合A＝，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B”的过程． 甲同学：解方程组 得或 所以A∩B＝. 乙同学：解方程组 得或所以A∩B＝{5}． 分析以上解题过程，请判断甲、乙两位同学解答是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 提示：甲、乙两位同学都求解错误．甲同学的错误在于把集合A与集合B当成了两个点集，从而求出了两条曲线的交点，没有正确理解集合的含义．乙同学的错误在于没有正确理解A∩B的含义，A∩B是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，因此，求解时，应分别求A和B两个集合的元素． 正解如下： A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}， B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}， 因此，A∩B＝{y|－4≤y≤14}． 二、应用性——强调学以致用 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3. 结论：一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．如图1. 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式： card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)．如图2. 解：设参加物理课外小组的人数为x，则参加数学课外小组的人数为2x.如图． 由card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)及题意，得25＝2x＋x－5，解得x＝10.所以参加数学课外小组的有20人，参加物理课外小组的有10人． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．设集合M＝，N＝x≤x≤n，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集．如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 (　　) A.　　 　B.　　　 C.　　 　D. 解析：本题中定义的“长度”是关键词，根据这个定义，可知M的“长度”为，N的“长度”为，集合“{x|0≤x≤1}”的“长度”为1，求M∩N的“长度”的最小值，相当于求两线段公共部分最短时的长度值． 如图，设AB是一长度为1的线段，a是长度为的线段，b是长度为的线段，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N的“长度”，显然，当a，b各自靠近线段AB两端时，重叠部分最短，其值为＋－1＝.故选C. 答案：C　 $$