1. 2集合间的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1. 2 集合间的基本关系 明确目标 发展素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 2.在具体情境中，了解空集的含义 3.对相似概念及符号的理解 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养 3.借助集合间关系的判断，培养逻辑推理素养 知识点一　子集、集合相等、真子集 (一)教材梳理填空 1．子集： 任意一个 A⊆B B⊇A 包含于 包含 A⊆A A⊆C 2．集合相等： 概念 一般地，如果集合A的任何一个元素______集合B的元素，同时集合B的任何一个元素______集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作________.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则_______ 图示 结论 若A＝B且B＝C，则________ 都是 都是 A＝B A＝B A＝C 3.真子集： x∈B x∉A 知识点二　空集 (一)教材梳理填空 不含任何元素 子集 [方法技巧] 求一个集合的子集、真子集个数的三个步骤 [方法技巧] 判断集合间关系的常用方法 列举 观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 数形 结合法 利用数轴或Venn图等直观地判断集合间的关系．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__________元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“A______B”(或“B______A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么______ 概念 如果集合A⊆B，但存在元素______，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (2)若A⊆B且A≠B，则A⫋B [微思考]　(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)实数中“≤”类似于集合中“⊆”． (　　) (2)若a∈A，集合A⊆B，则必有a∈B. (　　) (3)若AB，则集合A中必定存在元素不在集合B中． (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 答案：－1 2．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　) A．M＜N　　　　　 B．M∈N C．N⊆M D．MN 解析：∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N，∴MN.故选D. 答案：D　 3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________. 定义 一般地，我们把________________的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的_____，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)若A≠∅，则∅A [微思考]　{0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？ 提示：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合．因此，∅作为一个元素时，有∅∈{∅}；∅作为一个集合时，有∅⊆{∅}． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)任何集合都有子集和真子集． (　　) (2)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅. (　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．下列四个集合中，是空集的是 (　　) A．{x|x＋3＝3}　　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 解析：∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D. 答案：D　 题型一　确定集合的子集、真子集　 [探究发现] 填写下表，回答后面的问题. 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 {a，b} 2 {a，b，c} 3 {a，b，c，d} 4 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ (2)如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集和真子集个数的公式吗(用n表达)? 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1 ∅，{a} 2 {a，b} 2 ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 {a，b，c，d} 4 ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，c，d}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 (1)“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合的元素有n个，则该集合的子集个数为2n. (2)子集个数为2n，真子集个数为2n－1.　　　 【学透用活】 [典例1]　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3，4,5}，则所有满足条件的集合M的个数是 (　　) A．6　　　　　　　　 B．7 C．8 D．9 [解析]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下． 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}． 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}． 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． [答案]　B 【对点练清】 1．[变条件]将本例中集合{1,2}变为集合A＝{x|x2＋3x＋3＝0}，集合{1,2,3,4,5}变为集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则所有满足条件的集合M的个数为 (　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：对于方程x2＋3x＋3＝0， ∵Δ＝9－12＝－3＜0， ∴该方程无实根，即A＝∅. 由方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3. ∴B＝{2,3}．由题意，得∅M⊆{2,3}． ∴满足条件的集合M为{2}，{3}，{2,3}，共3个，故选C. 答案：C　 2．集合{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}的真子集的个数是 (　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5； 当x＝2时，y＝2；当x＝3时，y＝－3. 所以{y|y＝－x2＋6，x，y∈N}＝{2,5,6}， 共3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7. 答案：C　 题型二　集合间关系的判断　 【学透用活】 (1)在子集的定义中，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，不能理解为集合A是集合B的部分元素所组成的集合．因为集合A中也可以不含任何元素；若A＝B，则集合A中含有集合B中的所有元素，但此时也可以说集合A是集合B的子集． (2)理解真子集概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，其次要满足至少有一个元素x∈B且x∉A. (3)注意符号“⊆”与“”的区别：A⊆B⇒A＝B或AB；若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [典例2]　指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以NM. 【对点练清】 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合，即A＝{1,2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C. 答案：(1)＝　(2)　(3)　(4)∈ 2．判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}． 解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC. (3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB. 题型三　由集合间的关系求参数　 【学透用活】 [典例3]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． [解]　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． [方法技巧] 已知集合间的关系求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程． (2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示． (3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．　　 【对点练清】 1．[变条件]若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示， ∴解得 即2≤m<3. 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 2．[变条件]若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. ∴即 ∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．以下是“已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0，a∈R}，判断E，F的关系”的解题过程． 解：由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 方程x2－(a－1)x＝0(a∈R)的解为x1＝0，x2＝a－1， 所以F＝{0，a－1}，所以EF. 分析以上解题过程，判断其是否正确．若不正确，请给出正确的解题过程． 提示：不正确．误认为E＝{x|＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x＝0的根与参数的有关，得到EF. 正解如下： 由＝0，得x＝0，所以E＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论． ①若a＝1，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，所以E＝F； ②若a≠1，Δ>0，方程有两个不相等的实根x1＝0，x2＝a－1，且a－1≠0，此时F＝{0，a－1}，则EF. 综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. 二、应用性——强调学以致用 2.右图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容： A为__________，B为__________， C为__________，D为__________． 解析：由Venn图可知AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为{小说}，B为{文学作品}，C为{叙事散文}，D为{散文}． 答案：{小说}　{文学作品}　{叙事散文}　{散文} 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＋1＝0，a≤0}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为____________． 解析：①B＝∅，则a＝0，A与B构成“全食”满足题意； ②B≠∅，则a≠0，B＝， 此时应构成“全食”，∴ ＝1或 ＝， ∴a＝－1或a＝－4. 综上，a的取值集合为{0，－1，－4}． 答案：{0，－1，－4} $$