19 第二章 高考研究在线2 高考试题中的抽象函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 　　抽象函数的考查注重基础概念的深入理解，同时强调多知识板块的综合运用以及对考生多种数学能力的考查，是高中数学知识考查中的重点和难点内容之一． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 √ 命题点一　与奇偶性、对称性相关的求值问题 [典例1]　(1)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0　　　　 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 (1)ABC　(2)BC　[(1)取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．故选ABC． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)， 所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)， g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC．] 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 　本例(2)改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，主要考查原函数与导函数之间的性质关联问题． 设函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，则f(x)与f′(x)有如下关系： (1)f(x)的图象关于直线x＝a对称⇒f′(x)的图象关于点A(a，0)中心对称； (2)f′(x)的图象关于直线x＝b对称⇒f(x)的图象关于点B(b，f(b))中心对称； (3)f(x)是周期为T的周期函数⇒f′(x)是周期为T的周期函数． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 所以g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)， 所以g(5)＝－g(8)，D正确；因为f(3＋x)＝－f(3－x)， 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 命题点二　与周期性相关的求值问题 A．－3 B．－2 C．0 D．1 √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 A　[法一(赋值法)：令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)， 消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期为6； 令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒f(0)＝2， 所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1， f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2， 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 f(3)＝f(2)－f(1)＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝1， f(6)＝f(5)－f(4)＝2， 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 　常见的抽象函数7大模型： (1)一次函数：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－b. (2)二次函数：f(a－x)＝f(a＋x)． (3)幂函数：f(xy)＝f(x)f(y)． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 √ A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期 D．f(2 025)＝1 √ √ 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确； 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 点拨：(1)挖掘背景函数；(2)抽象恒等式．如f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．①恰当赋值；②正逆应用． 高考研究在线2　高考试题中的抽象函数 (2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) (2)因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以f＝f， 即f＝f，g(2＋x)＝g(2－x)， 所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确； 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称， 又g(x)＝f′(x) ，且函数f(x)可导， 所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)， 所以g＝g＝0， [跟进训练] 1．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f(3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f(3)＝0 B．g(3)＝0 C．f＝f D．g(5)＝－g(8) AD　[因为f(3－x)，g均为奇函数， 所以f(3＋x)＝－f(3－x)，g＝－g，所以f(x)的图象关于点(3,0)对称，g(x)的图象关于点对称， 所以A正确；因为g(x)＝f′(x)， 所以g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；因为g(x)的图象关于点对称，且关于直线x＝3对称，所以g(x)的周期为2， 所以f＝－f，C错误．故选AD.] [典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) 故(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3， 即(k)＝－3.故选A． 法二(特殊函数法)：取f(x)＝2cosx符合条件，则T＝6，计算可得f(2)＝f(1)－f(0)＝－1， 所以(k)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 故选A．] (4)指数函数：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x－y)＝. (5)对数函数：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝f(x)－f(y)． (6)正切函数：f(x±y)＝. (7)余弦函数：f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，f(x)＋f(y)＝2ff. [跟进训练] 2．(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f(x＋y)＝，f(1)＝1，则(　　) 对于B，令y＝－x，则f(0)＝＝0，因此f(－x)＝－f(x)， 又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f(x)为奇函数，故B错误； 对于C，令y＝1，则f(x＋1)＝＝＝－1＋，所以f(x＋2)＝－1＋＝－，因此f(x＋4)＝－＝f(x)， 所以f(x)为周期函数，且周期为4，故C正确； 对于D，f(2 025)＝f(1)＝1，故D正确．故选ACD.] $$