13 第二章 第7课时 指数与指数函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第7课时　指数与指数函数 [考试要求]　1.掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 第7课时　指数与指数函数 链接教材·夯基固本 1．根式 (1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. x 根式 a a 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝_______；(ar)s＝____； (ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈Q)． 0 ar＋s ars arbr 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_______是自变量，定义域是R，___是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 指数x a 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ____________ (0，＋∞) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 项目 a>1 0<a<1 性质 过定点_________，即x＝0时，y＝___ 当x>0时，_______； 当x<0时，___________ 当x<0时，_______； 当x>0时，____________ 在(－∞，＋∞)上是___函数 在(－∞，＋∞)上是___函数 (0,1) 1 y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (2)函数y＝a－x是R上的增函数．(　 　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　 　) × × × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是(　　) √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 典例精研·核心考点 　考点一　指数幂的运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7　　　 B．a3＋a－3＝18 √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 　指数幂运算的一般原则 (1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 　考点二　指数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，则下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a<b<0 C．0<a<b D．0<b<a √ √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (1)ABD　(2)C　[(1)如图，观察易知， a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故选ABD. 得a＋b＝0.又该函数图象无限接近于直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4.故选C．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 [跟进训练] 2．(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　) √ (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (1)A　(2) [－1,1]　[(1)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 √ 　考点三　指数函数的性质及应用 　比较指数式的大小 [典例3]　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (1)D　(2)B　[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c. 故选D. (2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数． 又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 　解简单的指数方程或不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 (3)若不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________. √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (1)D　(2)D　(3)(1，＋∞) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (3)原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，所以y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，所以a>1.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 √ A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 所以0＜a＜b＜1. 当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，所以ab＜aa. 当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增， 所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.故选C． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第7课时　指数与指数函数 (2)式子叫做______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝___. 当n为奇数时，＝___； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)． (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a.(　 　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为(　　) A．5　　 B．　　 C．－　　 D．－5 B　[原式＝] 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 C　[依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] A．1.72.5＞1.73 B．＞2－ C．1.70.3＞0.93.1 D．＜ BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为2－＝，y＝x为减函数，所以＞＝2－，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0,1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝x为减函数，所以＜，又y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜，故D正确．] 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)＝＋b的图象过原点，且无限接近于直线y＝1，但又不与该直线相交，则f(－2)＝________. 　[因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝a0＋b＝0，即a＋b＝0.又因为f(x)的图象无限接近于直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－＋1， 所以f(－2)＝－2＋1＝.] C．a＋a－＝± D．a＋＝2 (2)计算：·＝________(a>0，b>0)． (1)ABD　(2)　[(1)因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故选项C错误；因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故选项D正确． (2)原式＝ [跟进训练] 1．(1)已知x<0，y>0，化简得(　　) A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y (2)计算：－＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________. (1)B　(2)－　[(1)由题意得 ＝9(x8)(y4)＝x2|y|＝x2y. (2)原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] (2)(2025·日照模拟)已知函数y＝＋b的图象经过原点，且无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 (2)因为函数y＝＋b的图象过原点，所以a0＋b＝0， A． B． C． D． 二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－， 因为0＜a＜1，所以＞， －＜－， 即横坐标的取值范围是.故选A． [典例4]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________. (2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________. (1)　(2)(－3,1)　[(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝； 当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1无解，故a的值为. (2)当a<0时，原不等式化为a－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0. 当a≥0时，则<1,0≤a<1. 综上，实数a的取值范围是(－3,1)．] (2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) [(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D. 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝2－在(0,1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0,1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D. (2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D. 法二：f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D. [跟进训练] 3．(1)设＜b＜a＜1，那么(　　) (2)(多选)(2025·临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) (1)C　(2)ACD　[(1)因为＜b＜a＜1且y＝x在R上是减函数， (2)对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确； 因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a， 当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a， 综上，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误； 当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确； 当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确．故选ACD.] $$