11 第二章 第5课时 函数性质的综合应用-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第5课时　函数性质的综合应用 典例精研·核心考点 　考点一　函数的奇偶性与单调性 [典例1]　(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第5课时　函数性质的综合应用 (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　) A．f(f(1))＜f(f(2)) B．f(g(1))＜f(g(2)) C．g(f(1))＜g(f(2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)B　(2)BD　[(1)因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2， 令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－2x－2)＝－f(2x＋2)， 由f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3，得f(x2－1)－(x2－1)＜－f(－2x－2)－(2x＋2)＝f(2x＋2)－(2x＋2)， 即g(x2－1)＜g(2x＋2)， 所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2， 即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0， 所以－1＜x＜3，即f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1,3)． 故选B. 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))， g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正确，C错误； 若|f(1)|＞|f(2)|，则f(f(1))＞f(f(2))，A错误．故选BD.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 1．(1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] (2)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　　) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)D　(2)A　[(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图1所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图2所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D. 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (2)f(x)＝|3x－3－x|，定义域为R，又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数． 又当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数，故g(x)＝3x－3－x在(0，＋∞)上单调递增． 又g(0)＝0，则当x>0时，g(x)>0，所以此时y＝f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．故当x<0时，y＝f(x)为减函数． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　考点二　函数的奇偶性与周期性 [典例2]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则(　　) √ C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 (2)(2025·日照模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则f(20)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)B　(2)B　[(1)因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)， 因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0， 所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不一定为0.故选B. (2)由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0. 又由f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即f(2－x)＝－f(x)， 则有f(2－x)＝f(－x)，可得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，故f(20)＝f(0)＝0.故选B.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 C　[由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)， 可得f(x＋1)＝－f(x－1)， 所以f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)是周期为4的周期函数． 又由当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3， 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　考点三　函数的奇偶性与对称性 √ A．5　　 B．1　　 C．－1　　 D．－5 (2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)B　(2)A　[(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x＋2)＝g(2－x)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (2)因为函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称，所以f(x－4)＝－f(－x)．又f(x)为定义在R上的奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)是周期函数且周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0), f(21)＝f(1)． 因为f(x)为奇函数，且在[0,2)上单调递增， 所以f(x)在(－2,2)上单调递增， 所以f(－1)<f(0)<f(1)， 即f(11)<f(12)<f(21)．故选A．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．0　　 D．1 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 D　[因为f(x)的图象关于点(1,0)对称， 所以f(－x)＝－f(2＋x)． 又f(x)为R上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0. 又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　考点四　函数的对称性与周期性 [典例4]　(1)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则函数f(x)的周期是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ A．116 B．115 C．114 D．113 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)C　(2)C　[(1)因为f(x＋2)为奇函数， 所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)． 因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝f(x＋1)， 则f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋2)， 所以f(－x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4. 故选C． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (2)由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4. 又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1. 又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0， 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 　函数的周期性与对称性的关系 (1)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，那么函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (2)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)(a≠b)对称，那么函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (3)如果函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 [跟进训练] 4．(1)已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，则f(2 024)＝(　　) A．6 B．3 C．0 D．－3 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (1)C　(2)D　[(1)令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)． 因为函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称， 所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝－f(x－2)， 即f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)， 故f(x)是周期为8的周期函数， 所以f(2 024)＝f(253×8＋0)＝f(0)＝0.故选C． 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 (2)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②. 根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2. 课时分层作业 典例精研·核心考点 第5课时　函数性质的综合应用 A．∪(1，＋∞)　　 　 B．　　 C． 　 D．(1，＋∞) 由f(2x－1)－f(x)>0，得f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，也即(3x－1)(x－1)>0，解得x<或x>1，所以原不等式的解集为∪(1，＋∞)． 故选A．] A．f＝0　　　 B．f(－1)＝0 [跟进训练] 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f等于(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 得f＝f＝－f＝－f＝－＝－.] [典例3]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　　) 又g(2－x)＝f(2－x)＝f(2－x)，且g(x＋2)＝f(x＋2)， 所以f(2－x)＝f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)．因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)＝－f(－1)＝1， 因此，g(3)＝f(3)＝f(1)＝1.故选B. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) 所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.故选C．] (2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×2－2＝.] $$