第2章 第4节 函数图象的对称性及性质的综合（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第二章　函数 第4节　函数图象的对称性及性质的综合 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 √ √ 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ACD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ABD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（12） 温馨提示 谢谢观看！ 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论． 2．会利用对称公式解决问题． 3．初步掌握函数性质的综合． 一、奇函数、偶函数的对称性 1．奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． 2．若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0). 二、若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 三、两个函数图象的对称 1．函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； 2．函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； 3．函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 四、对称性的四个常用结论 1．y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2．y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 3．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 4．若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) 1．若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 2．若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(，0)对称．(　　) 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P87 T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________________. 答案：4 解析：方法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，则f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 方法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 2．(人教A版必修第一册P87 T13改编)若函数f(x)是R上的奇函数，则函数y＝f(x－1)＋1的图象必过定点________. 答案：(1，1) 解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x)的图象过定点(0，0)，因为f(x)的图象向右平移1个单位长度，又向上平移1个单位长度得到y＝f(x－1)＋1的图象，则函数y＝f(x－1)＋1的图象必过定点(1，1). 三、易误易混澄清 (对函数图象对称性的理解不透彻)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线________对称；若函数y＝g(x＋b)是奇函数，则函数y＝g(x)的图象关于点________对称. 答案：x＝a　(b，0) 解析：因为y＝f(x＋a)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，将y＝f(x＋a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x＋a)图象的对称轴平移至直线x＝a处，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．同理，函数y＝g(x)的图象关于点(b，0)对称． 考点一　函数图象的对称性 [例1] (2024·新课标 Ⅰ 卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x3)＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a，故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． 函数对称性的解题思路 求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 训练1 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． 考点二　函数性质的综合 考向1　单调性与奇偶性 [例2] 已知函数f(x)＝，则不等式f(2x－3)＜2的解集是(　　) A．(1，2) B．(，) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，)∪(，＋∞) 解析：显然f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝＝＝4－单调递增．又f(1)＝2，所以f(2x－3)＜2可化为f(2x－3)＜f(1)，可得|2x－3|＜1，解得1＜x＜2.故选A． 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2(或x1＞x2)求解． 训练2 设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1>0且x1＋x2<0，则(　　) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小关系不确定 解析：由x1>0，x1＋x2<0，得0<x1<－x2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x1)>f(－x2)，f(x)是偶函数，f(－x2)＝f(x2)，∴f(x1)>f(x2). 考向2　奇偶性与周期性 [例3] 已知函数f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)为奇函数，若f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝________. 答案：0 解析：f(x＋2)是奇函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)，且f(2)＝0，f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)，则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，函数周期为8，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(0)＝0，即f(4)＝－1，f(5)＝－f(1)，f(6)＝－f(2)＝0，f(7)＝－f(3)，f(8)＝f(0)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝0. 周期性与奇偶性综合常见问题与思路 函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解． 训练3 设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f(x)＝x，则x∈[－2，0]时，f(x)的解析式为f(x)＝(　　) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2－|x＋1| 解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f(x)＝x，∴x∈[－2，－1]时，2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]，此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x，x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x，综上可得，x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|. 考向3　函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合 [例4] 定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) 解析：∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21).故选A． 综合应用函数性质的解题技巧 (1)根据奇偶性、对称性推得周期性． (2)利用周期性转化自变量所在的区间． (3)利用单调性解决相关问题． 训练4 (1)已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x都有f(x＋4)＝－f(x)，若函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，可知函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，则f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2. (2)(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下列关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(0)是函数的最小值 B．f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．f(x)在[2，4]上单调递增 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：对于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴f(x)在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，A正确；对于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；对于C，∵f(x)在[－2，0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，C错误；对于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确．故选ABD． $$