10 第二章 第4课时 函数的对称性-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第4课时　函数的对称性 [考试要求]　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 第4课时　函数的对称性 链接教材·夯基固本 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于______对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点_______. 原点 y轴 x＝a (a,0) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点______对称． (a,0) 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于______对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于______对称． y轴 x轴 原点 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) × √ × × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于(　　) A．x轴对称　　　 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 C　[因为f(x)＝x3＋x为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称．故选C．] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1. (1)若f(x)在[－6,6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________； (2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点_______. (1)2　(2)(0,1)　[(1)因为y＝mx3＋nx在R上为奇函数，所以在[－6,6]上，ymax＝－ymin，所以M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0,0)，所以函数f(x)的对称中心为点(0,1)． 法二：因为g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上为奇函数， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 典例精研·核心考点 考点一　轴对称问题 [典例1]　(1)(2025·泰安模拟)已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范围为(　　) A．(2，＋∞)　　 B．(－∞，0)∪(2，＋∞) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2,0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (1)B　(2)ACD　[(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)的对称轴为y轴， 又函数y＝f(x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f(x)， 所以函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，所以由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|， 解得x＜0或x＞2.故选B. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故C正确； 因为f(x)的周期为4且为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 　轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(　　) A．29　 B．11　 C．3　 D．5 (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝________. (1)B　(2)1　[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称， 所以a＝4，f(6)＝3|6－4|＋2＝11.故选B. √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)， 因为g(1＋x)－g(1－x) ＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1＋x－1＋e－1－x＋1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1－x－1＋e－1＋x＋1) ＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0， 所以y＝g(x＋1)是一个偶函数． 所以g(x)的图象关于直线x＝1轴对称. ] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 　考点二　中心对称问题 [典例2]　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(1)＝0 C．f(0)＝0 D．f(－1)＝0 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 A．0 B．n C．2n D．3n √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (1)BD　(2)C　[(1)因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)关于直线x＝2对称， 因为f(－3x＋1)为奇函数，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函数f(x)关于点(1,0)对称， 因为函数f(x)的定义域为R，所以f(1)＝0，B正确； 又因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)由对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 　中心对称的几种表述形式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 2．(1)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 (2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是(　　) A．f(x)＝2x2＋1 B．f(x)＝x3 √ √ √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (1)D　(2)BCD　[(1)因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)对于A，由二次函数的性质可知， 函数f(x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误； 对于B，函数f(x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 对于D，函数的定义域为R，且f(0)＝0， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)， 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确． 故选BCD.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 考点三　两函数图象间的对称问题 [典例3]　(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)(多选)函数f(x)＝sin x与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线的方程可以是(　　) √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (1)A　(2)AD　[(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (2)设这条直线的方程是x＝a， 因为函数f(x)＝sin x与g(x)＝cos x的图象关于直线x＝a对称， 所以sin(2a－x)＝cos x， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 [跟进训练] 3．设函数y＝f(x)与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f(3)＋f(9)＝1，则实数m的值为______. 1　[因为函数y＝f(x)与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，所以x＝log3y－m， 所以f(x)＝log3x－m， 所以f(3)＋f(9)＝1－m＋2－m＝1， 所以m＝1.] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第4课时　函数的对称性 (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝x的图象之间的关系是(　　) B　[因为y＝x＝3－x，所以函数y＝3x与y＝x的图象关于y轴对称．故选B.] A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝ D．y＝x－ AC　[由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以A正确； 由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以B错误； 由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以C正确； 由y＝x－知定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝(－x)－＝－＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以D错误．故选AC．] 所以⇒ 所以函数f(x)的对称中心为点(0,1)．] C． D．∪(2，＋∞) (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． (2)(2025·济南模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1.若函数y＝f(x)与y＝图象的交点为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则(xi＋yi)的值为(　　) 由f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，令x＝，可得f(－1)＝－f(3)＝0，D正确； 可构造函数f(x)＝cos满足题意，此时f(2)＝cos 0＝1，f(0)＝cos(－π)＝－1，AC错误．故选BD. 可知函数的图象关于点对称． 又y＝＝＝－－， 所以函数y＝图象的中心对称点为， 所以两个函数图象的交点成对出现， 且每对交点都关于点对称， 则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－×2＝－1， 所以(xi＋yi)＝5×＋(－1)×＝2n.故选C．] (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． (2)双曲线型函数f(x)＝的图象的对称中心为. C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对于C，f(x)＝＝＝2＋， 所以f(x)＝的图象可以由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，且反比例函数y＝的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝的图象关于点(1,2)对称，故C正确； A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 即cos＝cos x， 所以－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，解得a＝－kπ，k∈Z.当k＝0时，a＝； 当k＝2时，a＝－.故选AD.] 　　　　　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． $$