第4章 第4节 第二课时 三角函数的奇偶性、周期性及对称性（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第四章 三角函数与解三角型 第4节　三角函数的图象与性质 第二课时　三角函数的奇偶性、周期性及对称性 B 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 ABC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 AD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（29） 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　三角函数的奇偶性 [例1] (1)已知函数f(x)＝cos x－2cos2(－)＋1，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x－)为奇函数 B.y＝f(x－)为偶函数 C.y＝f(x＋)－1为奇函数 D.y＝f(x＋)－1为偶函数 (2)函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　) A. B． C． D． 解析：(1)f(x)＝cos x－2cos2(－)＋1＝cosx－2×＋1＝cos x－sin x＝cos (x＋).f(x－)＝cos [(x－)＋]＝cos x，所以y＝f(x－)为偶函数，故A错误，B正确；y＝f(x＋)－1＝cos (x＋)－1＝－sin x －1，所以函数y＝f(x＋)－1为非奇非偶函数，故CD错误． (2)因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin (2x－＋φ)是偶函数．所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.因为φ∈(0，π)，所以φ＝. 判断三角函数奇偶性的方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 训练1 (2024·沧州模拟)若函数f(x)＝cos (2x＋＋φ)(φ>0)为奇函数，则φ的最小值为________. 答案：　 解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋＋φ)(φ>0)为R上的奇函数，所以f(0)＝cos (＋φ)＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为. 考点二　三角函数的周期性 [例2] (1)(2025·八省高考综合改革适应性演练)函数f(x)＝cos (x＋)的最小正周期是(　　) A. B． C.π D．2π (2)(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 解析：(1)依题意，f(x)的最小正周期T＝＝2π. (2)由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，且ω>0，所以ω＝＝2. 1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(y＝A cos (ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论 (1)函数y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|，y＝|A tan (ωx＋φ)|的最小正周期均为T＝. (2)函数y＝|A sin (ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|A cos (ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝. 训练2 (1)(多选)下列函数最小正周期为π的是(　　) A.y＝cos |2x| B.y＝|cos x| C.y＝cos (2x＋) D.y＝tan (2x－) 解析：对于A，y＝cos |2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；对于B，结合图象，知y＝|cos x|的最小正周期为π； 对于C，y＝cos (2x＋)的最小正周期T＝＝π；对于D，y＝tan (2x－)的最小正周期T＝. (2)(2025·滨州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 答案：3　 解析：因为f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以最小正周期T＝，因为f(T)＝cos (ω·＋φ)＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝，0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝cos (ωx＋).又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω>0，所以ωmin＝3. 考点三　三角函数的对称性 [例3] (2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f()＝(　　) A.1 B． C. D．3 解析：因为<T<π，即<<π，又ω>0，所以2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，且ω×＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝(k－)，k∈Z.又2<ω<3，所以k＝4，ω＝，所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ＋2＝1. 三角函数对称性问题的2种求解方法 公式法 函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝－＋，对称中心为(－，0)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝－，对称中心为(－＋，0)；函数y＝A tan (ωx＋φ)的对称中心为(－，0)，上述k∈Z 训练3 (1)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<4π，且点(，0)和直线x＝分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，则T＝(　　) A. B． C. D． 解析：∵点(，0)和直线x＝分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，∴＋k·＝－＝π(k∈N*)，得T＝(k∈N*)，∵π<T<4π，∴k＝1，T＝. (2)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，当f(x)的最小正周期取得最大值时，f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(　　) A.(，0) B．(，0) C.(－，0) D．(－，0) 解析：由已知得ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k－(k∈Z)，当k＝1时，ω最小，且为，则T最大，此时f(x)＝cos (x＋)，其对称中心的横坐标为x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，当k＝1时，x＝，函数f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(－，0). (3)(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.点(－，0)是y＝f(x)图象的对称中心 C.点(，)是y＝f(x)图象的对称中心 D.直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 解析：f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sinx cos x＝－sin 2x＝－sin (2x＋)＋，T＝＝π，故A正确；当x＝－时，2x＋＝0，此时sin (2x＋)＝0，则函数关于点(－，)对称，故B错误；当x＝时，2x＋＝，此时sin (2x＋)＝1，则函数关于直线x＝对称，故C错误；当x＝时，2x＋＝， 此时sin (2x＋)＝－1，则函数关于直线x＝对称，故D正确． 三角函数图象与性质的开放性问题 [例] 写出一个同时具有下列性质①②③的函数________．已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数在(0，)上单调递减． 答案：f(x)＝2sin (x＋)(答案不唯一) 解析：对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于(，0)中心对称；对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于x＝对称，设f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)，则T＝4×(－)＝4，ω＝.又f(x)的图象关于x＝对称，且函数在(0，)上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z. 训练 关于函数y＝sin (x＋φ)有如下四个命题： ①该函数在[－，]上单调递增；②该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；③该函数图象的一条对称轴方程为x＝－；④该函数图象的一个对称中心为(，0). 如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A.① B．② C.③ D．④ A.① B．② C.③ D．④ 解析：①因为－≤x≤，所以φ－≤x＋φ≤＋φ，当函数单调递增时，2kπ－≤x＋φ≤2kπ＋，k∈Z，所以 则φ＝2kπ－，k∈Z； ②y＝f(x＋)＝sin (x＋＋φ)为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z； ③令φ－＝(k－2)π＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z； ④令φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z. 综上可知，①②③的取值可能相同，而④的取值与①②③取不到相同值，故如果只有一个假命题，即为④. 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 考向1　三角函数的单调性与ω的关系 [例1] 已知ω>0，函数f(x)＝cos ωx－sin (π－ωx)在(，)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.[2，6] B．(2，6) C.[2，] D．(2，) 解析：由已知得f(x)＝cos ωx－sin (π－ωx)＝cos ωx－sin ωx＝sin ωx cos ＋cos ωx sin ＝sin (ωx＋).又f(x)在(，)上单调递增，所以∈Z，解得6k－4≤ω≤4k－，k∈Z，由6k－4≤4k－，得k≤，k∈Z，又ω>0， k∈Z，因此k＝1，所以2≤ω≤. 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式(组)，即可求ω的取值范围． 训练1 (2025·山东名校联考)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)，－为f(x)的零点，直线x＝为f(x)图象的对称轴，且f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为(　　) A.3 B．4 C.5 D．6 解析：因为－是f(x)＝cos (ωx＋φ)的零点，所以－ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z.因为直线x＝是f(x)＝cos (ωx＋φ)图象的对称轴，所以ω＋φ＝k2π，k2∈Z，所以ω＝(k2－k1)π－，k1，k2∈Z，则ω＝2k－1，k∈Z，显然ω为奇数．结合选项可知，当ω＝5时，因为|φ|≤，所以φ＝－，所以f(x)＝cos (5x－)，当 x∈(，)时，5x－∈(，)，所以f(x)＝cos (5x－)在(，)上单调递减，所以ω＝5符合题意，所以ω的最大值为5. 考向2　三角函数的对称性与ω的关系 [例2] 已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________． 答案：(，]　 解析：函数f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2(cos ωx－sin ωx)＝2cos (ωx＋).因为x∈(0，2π)，ω>0，所以ωx＋∈(，2πω＋)，由于函数f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0，2π)上有且仅有2条对称轴，则2π<2πω＋≤3π，解得ω∈(，]. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． 训练2 (2024·大庆模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间(0，)上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A.(5，8) B．(5，8] C.(5，11] D．[5，11) 解析：由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin (ωx＋)，ω>0，因为x∈(0，)，所以<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间(0，)上仅有一条对称轴及一个对称中心，则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8]. 考向3　三角函数的最值与ω的关系 [例3] (2025·深圳模拟)若函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)在(0，)上有最小值，没有最大值，则ω的取值范围是(　　) A.(0，] B．(，] C.(，] D．(，] 解析：当x∈(0，)时，ωx＋∈(，＋)，由函数f(x)＝cos (ωx＋)在(0，)上有最小值，没有最大值，得π<＋≤2π，解得<ω≤，所以ω的取值范围是(，]. 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． 训练3 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A.98π B． C. D．100π 解析：由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值即在[0，1]上至少需要49个周期，即个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥，ω的最小值为. 考向4　三角函数的零点与ω的关系 [例4] (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A.[，) B．[，) C.(，] D．(，] 解析：依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈(，πω＋)，要使函数在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈(，3π)的图象如图所示： 则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，即ω∈(，]. 三角函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值． 训练4 (2025·株洲模拟)已知f(x)＝sin ωx(ω∈N*)，若在区间[0，]上存在两个不相等的实数a，b，满足f(a)＋f(b)＝2，则ω可以为________．(填一个值即可) 答案：5(答案不唯一)　 解析：f(x)＝sin ωx≤1，ω∈N*，若在区间[0，]上存在两个不相等的实数a，b，满足f(a)＋f(b)＝2，则在区间[0，]上f(x)至少存在两个最大值，∴≥，∴ω≥5，又ω∈N*，∴ω可以为5. $$