07 第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习课件（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 第1课时　函数的概念及其表示 链接教材·夯基固本 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的_________，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______确定的数y和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 ___的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合____________ 实数集 任意一个数x 唯一 x {f(x)|x∈A} 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 2．同一个函数 如果两个函数的_________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：_________、_________、_________. 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 定义域 对应关系 解析法 图象法 列表法 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______. 并集 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　 　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　 　) (3)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　 　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　 　) × × × × 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 A．16　 　 B．4　　 C．5　　 D．－4 A　[f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A．] √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 3．(多选)(人教A版必修第一册P72习题3.1 T2改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 √ √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (－∞，0)∪(0，＋∞)　1　[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， 故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 典例精研·核心考点 考点一　求函数的定义域 √ A．(1,5]　　　　　　 B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3] 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出使解析式有意义的不等式(组)，求解． (2)求抽象函数的定义域： ①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域． ②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 [跟进训练] 1．(1)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　) √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (1)A　(2)D　[(1)因为函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]， 所以x∈[－2,3]，则x＋1∈[－1,4]， 即函数f(x)的定义域为[－1,4]， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (2)由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R. 当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意； 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t. 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 当且仅当x＝－1时取等号， 所以f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 所以f(x)＝x2－2, x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范围． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 √ 考点三　分段函数 　求值问题 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (1)A　(2)2　[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6， 所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故选A． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 √ 　解方程或不等式 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 √ 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (1)D　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) [(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0，即f(a)＝0时，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2； 当t＝1，即f(a)＝1时，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1. 综上所述，a＝－2或－1. 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 课时分层作业 典例精研·核心考点 链接教材·夯基固本 第1课时　函数的概念及其表示 (5)正切函数y＝tan x的定义域为. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为； 当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) B　[函数f(x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B.] B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ AC　[f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．] 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为___________________；若f(a)＝2，则a的值为________. 由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1.] [典例1]　(1)(2025·日照模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) (2)函数y＝lg(1＋tan πx)＋的定义域为________. (1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，函数y＝＋(x－2)0有意义， 所以解得1<x<2或2<x≤3， 所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1,2)∪(2,3]．故选C． (2)由题意得解得－<x<.] A． B．[－1,4] C．[－5,5] D．[－3,7] (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 所以－1≤2x－1≤4，得0≤x≤， 所以函数y＝f(2x－1)的定义域为.故选A． 当a≠0时，解得0<a<. 综上，实数a的取值范围是.] (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)(配凑法)因为f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，当x＞0时， t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号， 当x＜0时，t＝－≤－2， 所以 即 所以f(x)＝x2－x＋2. (4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)． [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________. (2)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________. (1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－　(3)4x＋1　 [(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)因为f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， 所以f(x)＝－x－. (3)因为f(x)为单调递增的一次函数，所以设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1.] [典例3]　(1)已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝(　　) A．－6　 　 B．0 C．4　　 D．6 (2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝_________. (2)因为>2，所以f()＝6－4＝2， 所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.] [典例4]　(1)(2025·烟台模拟)函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 (2)已知函数f(x)＝则f(x)＜f(x＋1)的解集为_______. (1)D　(2)　[(1)由分段函数的定义知，f(x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0. ①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝，解得a＝， 所以f＝f(4)＝8. ②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D. (2)由题意知，当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0. 当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0. 所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)． 当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)⇔log2x＜log2(x＋1)恒成立． 综上可知，f(x)＜f(x＋1)的解集为.] [跟进训练] 3．(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 (2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________. (2)若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4， 所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] $$