20 第三章 第1课时 导数的概念及运算-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 第1课时　导数的概念及运算 [考试要求]　1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 （1）直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(×) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后，他的重心相对于水面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，则在0.5 s 时他的瞬时速度为(　　) A．9.1 m/s　　　　 B．6.75 m/s C．3.1 m/s D．2.75 m/s C　[因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故选C．] 2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是(ABD) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C．′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5) B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3) C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5) D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3) A　[由题图知，f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)．故选A．] 4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f(x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为________________. y＝(e－1)x＋2　[因为f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1. 又f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.] 考点一　变化率问题 [典例1]　(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示． 则下列结论正确的是(　　) A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强 ABC　[－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强． 对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确； 对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确； 对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC．] 　函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解. [跟进训练] 1．(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′(V)为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是(　　) A．< B．r′(1)>r′(2) C．r< D．存在V0∈(V1，V2)，使得r′(V0)＝ BD　[对于A，设tan α＝， tan θ＝， 由题图得α>θ，所以tan α>tan θ， 所以>，所以该选项错误； 对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小， 根据导数的几何意义，得r′(1)>r′(2)，所以该选项正确； 对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r，＝，因为r－r(0)>r(3)－r， 所以r>，所以该选项错误； 对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′(V0)表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD.] 考点二　导数的运算 [典例2]　(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝3x－2f′(1)ln x，则f′(1)＝(　　) A．ln 3　 B．2 　 C．3　 D．3ln 3 (2)(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝ D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x (1)A　(2)ABD　[(1)因为f′(x)＝3xln 3－， 所以f′(1)＝3ln 3－2f′(1)，所以f′(1)＝ln 3.故选A． (2)对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝ ＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确．故选ABD.] 　导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． [跟进训练] 2．(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________. (1)C　(2)e2　[(1)因为f(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝0，所以g(1)＝－1， 因为f(x)＋xg(x)＝x2－1，所以f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x， 所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2， 所以f′(1)＋g′(1)＝2－(－1)＝3. (2)因为f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x， 所以f′(x)＝＋ae－x－axe－x， 所以f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.] 考点三　导数的几何意义 　求切线方程 [典例3]　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ C　[因为y＝，所以y′＝＝， 故曲线在点处的切线斜率k＝， 所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋.故选C．] 　求参数的值(取值范围) [典例4]　(1)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________. (1)A　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　[(1)设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则 解得故选A． (2)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex， 设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0， 所以切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0·(x－x0)． 因为切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0·(－x0)． 整理得x＋ax0－a＝0. 因为切线有两条， 所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．] 　导数几何意义的应用要点 (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可. 提醒：“在点P处的切线”与“过点P的切线”不同． [跟进训练] 3．(1)若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则(　　) A．a＜ln b B．b＜ln a C．ln b＜a D．ln a＜b (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)A　[(1)设切点坐标为(x0，ln x0)， 由于y′＝，因此切线方程为y－ln x0＝(x－x0)． 又切线过点(a，b)，则b－ln x0＝， 即b＋1＝ln x0＋， 则b＋1＝ln x0＋有两个不等实根． 设f(x)＝ln x＋，定义域是(0，＋∞)， 即直线y＝b＋1与曲线f(x)＝ln x＋有两个不同的交点． f′(x)＝－＝， 当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 当a＞0时，若0＜x＜a，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若x＞a，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以f(x)min＝f(a)＝ln a＋1， 由题意知b＋1＞ln a＋1，即b＞ln a．故选D. (2)f′(x)＝， 则f′(0)＝＝3， 即曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1. 令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝－. 故该切线与两坐标轴围成的三角形面积S＝×1×＝. 故选A．] 考点四　两曲线的公切线问题 [典例5]　(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线 y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. ln 2　[由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1， 则y′|x＝0＝e0＋1＝2， 所以曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1. 由y＝ln(x＋1)＋a，得y′＝， 设切线y＝2x＋1与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)， 则y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝－，所以切点为， 切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2. 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.] 　曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f(x)切于点(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2. 所以 解出x1，x2，从而可得切线方程． [跟进训练] 4．(1)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________. (2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，则直线l的方程为________. (1)1－ln 2　(2)y＝ex或y＝x＋1　[(1)设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))，则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)， 依题意， 解得x1＝，x2＝－， 从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. (2)设直线l与曲线f(x)＝ex的切点为(x1，ex1)，与曲线g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，ln x2＋2)． 因为f′(x)＝ex，g′(x)＝， 所以l：y＝ex1·x－x1·ex1＋ex1， y＝·x＋ln x2＋1. 所以解得或 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝ex.] 1．导函数与原函数对称性的关系 性质1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a,0)对称． 性质2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称．(证明略) 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f(x)为偶函数且可导，则f′(x)为奇函数． 性质2：若f(x)为奇函数且可导，则f′(x)为偶函数． [典例1]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，f′(x)是f(x)的导数，则(　　) A．f′(x)是奇函数，且是周期函数 B．f′(x)是偶函数，且是周期函数 C．f′(x)是奇函数，且不是周期函数 D．f′(x)是偶函数，且不是周期函数 [赏析]　突破点1：熟知函数的性质 根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)， 又f(2＋x)＝－f(2－x)， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)， 即f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 所以f′(x＋4)＝[f(x＋4)]′＝f′(x)， 所以f′(x)是周期函数． 突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系 因为f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， 即f(x)＝－f(－x)， 所以f′(－x)＝－[f(－x)]′＝f′(x)， 所以f′(x)是偶函数． 故选B. [答案]　B [典例2]　(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f为偶函数，g为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．g＝0 C．g(1)＋g(2)＝0 D．g＋g＝0 [赏析]　突破点：原函数与导函数间的性质关系 因为f为偶函数， 所以f＝f， 所以f＝f， 所以f(x)的图象关于直线x＝对称， 例如f(x)＝1，则函数f(x)满足条件，但f＝1≠0，故选项A错误； 因为g为奇函数，所以g＝－g，所以函数g(x)的图象关于点对称， 令x＝0，得g＝0，故选项B正确； 因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以f＝f， 所以′＝′， 即－f′＝f′， 所以f′(1)＋f′(2)＝0， 所以g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确； 所以f′＋f′＝0，所以g＋g＝0，故选项D正确．故选BCD. [答案]　BCD 　求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用． [跟进训练] 设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，则下列结论不一定正确的是(　　) A．f(1－x)＋f(1＋x)＝3 B．f′(2－x)＝f′(2＋x) C．f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x)) D．f(f′(x＋2))＝f(f′(x)) C　[对于选项A，f(2x)＋f(2－2x)＝3， 令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，则函数f(x)的图象关于点对称， 若f(1－x)＋f(1＋x)＝3，则函数f(x)的图象关于点对称，符合题意，故A正确； 对于选项B，由选项A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式两边同时求导， 得f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)①， 又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)为偶函数， 所以f′(2－x)＝f′(x－2)②， 由①②得f′(x)＝f′(x－2)， 所以函数f′(x)的周期为2. 所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)， 即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正确； 对于选项C，由选项B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)， 则函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称． 令f(1－x)＝－Δ(x)，f(1＋x)＝＋Δ(x)，若f′＝f′， 则函数f′(x)的图象关于直线x＝对称，不符合题意，故C错误； 对于选项D，由选项B的分析可知函数f′(x)的周期为2，则f′(x)＝f′(x＋2)， 所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正确．故选C．] 课时分层作业(十七) (本试卷共87分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s　　　　　 B．6 cm/s C．8 cm/s D．10 cm/s C　[由h＝t3＋t2，得h′＝t2＋2t. 当t＝t0时，h′＝t＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)． 故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．故选C．] 2．过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex A　[由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)， 把原点(0,0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1， 解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A．] 3．已知函数f(x)＝2cos x－f′sin x，则f′＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 B　[因为f(x)＝2cos x－f′sin x， 所以f′(x)＝－2sin x－f′cos x， 故f′＝－2sin－f′cos， 即f′＝－－f′， 所以f′＝－.故选B.] 4．(2025·济宁模拟)已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　) A．－1　　 B．1 C．－2　　 D．2 B　[由f(x)＝ln x＋a，得f′(x)＝，令直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)， 于是＝1且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故选B.] 5．若P为函数f(x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f(x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ D　[设P点坐标为(x0，y0)， 由f(x)＝ex－x，x∈R，得f′(x)＝ex－， 则以P为切点的切线斜率为ex0－>－， 令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－， 则θ∈∪.故选D.] 6．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 B　[f′(x)＝2x，而x0＝2，则f′(x0)＝4，又f(x0)＝2，于是函数f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f′(x1)＝3，f(x1)＝2－2＝， 因此函数f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417.故选B.] 二、多项选择题 7．(2025·德州模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．] 8．已知函数f(x)＝ex＋2(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－2 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是3 C．过点(0,2)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(1,4)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 BCD　[因为f(x)＝ex＋2，所以f′(x)＝ex， 对于A，令f′(x)＝ex＝－2，方程无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－2，故A错误； 对于B，令f′(x)＝ex＝3，解得x＝ln 3，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是3，故B正确； 对于C，设切点(x0，ex0＋2)，则切线方程为y－ex0－2＝ex0(x－x0)，因为点(0,2)在切线上，所以2－ex0－2＝ex0(0－x0)，即－ex0＝－x0ex0，显然ex0≠0，所以x0＝1， 故过点(0,2)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于D，设切点(x1，ex1＋2)，则切线方程为y－ex1－2＝ex1(x－x1)， 因为点(1,4)在切线上，所以4－ex1－2＝ex1(1－x1)，即x1ex1－2ex1＋2＝0， 令g(x)＝xex－2ex＋2，则g′(x)＝(x－1)ex，所以当x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)＞0， 所以g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝0，g(1)＝2－e<0，g(2)＝2，所以存在x2∈(1,2)使得g(x2)＝0， 所以方程x1ex1－2ex1＋2＝0有且仅有两个实数根， 所以过点(1,4)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条，故D正确．故选BCD.] 三、填空题 9．(2025·青岛模拟)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________. 5x－y＋2＝0　[因为y′＝＝，所以曲线y＝在点 (－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.] 10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，y＝f′′(x)为y＝f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率为K＝.曲线f(x)＝ln x－cos(x－1)在点(1，f(1))处的曲率为 ________. 0　[因为f(x)＝ln x－cos(x－1)， 所以f′(x)＝＋sin(x－1)，f′′(x)＝－＋cos(x－1)， 则f′(1)＝＋sin 0＝1，f′′(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的曲率为K＝＝＝0.] 四、解答题 11．(15分)已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln(bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b， 又两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线， 所以解得 (2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2， 则y′|x＝1＝4， 所以y＝x2＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2. 所以公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝××2＝. (3)由y＝ln(bx－1)＝ln(2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1. 所以y＝ln(2×1－1)＝0，即M(1,0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝. 12．(15分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 13．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是(　　) A．(0,0)　　　　　 B．(1,1) C．(3,0) D．(3,4) C　[设切点坐标为(t，t2－2t), y′＝2x－2， 所以曲线y＝x2－2x在点(t，t2－2t)处的切线方程为y－(t2－2t)＝(2t－2)(x－t)，即y＝(2t－2)x－t2， 将点(a，b)的坐标代入切线方程可得 b＝(2t－2)a－t2，即t2－2at＋2a＋b＝0， 因为过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则关于t的方程t2－2at＋2a＋b＝0有两个不等的实数解，所以Δ＝4a2－4(2a＋b)>0， 即a2－2a－b>0，即b<a2－2a. 对于点(0,0)，0＝02－2×0，A不满足； 对于点(1,1)，1>12－2×1，B不满足； 对于点(3,0)，0<32－2×3，C满足； 对于点(3,4)，4>32－2×3，D不满足．故选C．] 学科网（北京）股份有限公司 $$