18 第二章 第11课时 函数模型的应用-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第11课时　函数模型的应用 [考试要求]　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) 　(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．(√) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝2x　　　　 B．y＝lg x C．y＝x2 D．y＝2x D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．] 2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示． 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02； ③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 ________(填序号)． ④　[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．] 3．(人教A版必修第一册P86 T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的关系式为y＝－＋12x－210，那么，单价为________元时，该商品的日利润最大，最大日利润为　　　　元． 150　690　[因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150，即当日售价为150元时，该商品的最大利润为690元．] 4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与行程x(km)之间的函数关系式是y＝ 考点一　用函数图象刻画实际问题 [典例1]　(1) 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) (2)如图是根据2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) (1)B　(2)B　[(1)由题图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f(h)是个增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B. (2)A选项，由散点图知身高y随时间x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B.] 　判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况． [跟进训练] 1．在西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律研究中，统计显示，生长4年的树高为 m，如图所示的散点图记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长时间与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年的树高为________m. ②　　[由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与散点图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(m)．] 考点二　已知函数模型的实际问题 [典例2]　(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N D　[由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.] 　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． [跟进训练] 2．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1,2,3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1,2,3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A．17周　 B．24周　 C．28周　 D．26周 D　[f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，两式相减得loga9＝1，则a＝9，所以logak＋2＝3，k＝9.该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48－0.1f(x)≤0.08，则f(x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通风26周．故选D.] 考点三　构建函数模型的实际问题 [典例3]　(2025·临沂模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38.每件商品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0＜x＜8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9，即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立， 即x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元． 因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获年利润最大，最大年利润为15万元． 　构建函数模型解决实际问题时需注意以下四个步骤 [跟进训练] 3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几小时才能驾驶汽车？(参考数据lg 2≈0.301)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[设该驾驶员x小时后100 mL血液中酒精含量为y mg，则y＝100(1－20%)x＝100×0.8x，当y＝20时，100×0.8x＝20，即0.8x＝0.2， 所以x＝log0.80.2＝＝＝≈≈7.206.故选D.] 课时分层作业(十六) (本试卷共62分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2　　　　 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx B　[由题表可知函数单调递增，且y随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．故选B.] 2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如表所示． 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2,5－0.22≈0.7,10－0.1≈0.8)(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 B　[由表格中的数据可知，函数单调递增，合适的函数模型为y＝5＋lg x， 令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.] 3．大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5 000 m，8 000 m两地的大气压强分别为54 kPa，36 kPa.若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．295 m B．995 m C．2 085 m D．3 025 m C　[由题知54＝p0e－5 000k①，36＝p0e－8 000k②， ①÷②两式相比得到e3 000k＝， 所以3 000k＝ln ③. 当p＝80 kPa时，由80＝p0e－kh④，②÷④得到ekh－8 000k＝， 所以k(h－8 000)＝ln ⑤. 由⑤÷③，得到＝＝＝≈－， 解得h≈2 085.故选C．] 4．(2025·长治模拟)研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞含量f(x)的关系，其函数解析式为f(x)＝ka－b－x，其中k>0，b>0，a为参数．经过测算，发现a＝e(e为自然对数的底数)．记x＝1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么b的值为(　　) A．＋1 B．－1 C． D． D　[依题意，而f(2)＝f(1)，则e－b－2＋b－1＝，即b－2－b－1－1＝0.又b>0，解得b－1＝，所以b＝.故选D.] 二、多项选择题 5．(2025·烟台模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x(单位：天)之间的函数关系y＝f(x)＝则下列说法中正确的是(　　) A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% AB　[对于A，由函数解析式和图象可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确； 对于B，由图象的减少快慢可知，第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确； 对于C，当1<x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35， 即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误； 对于D，f(26)＝＋×26－>，故D错误．故选AB.] 6．(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为Lp3＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则，所以1＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确． 综上，故选ACD.] 三、填空题 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示． 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为________m3. 15　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0,12]时，y＝3x≤36元，不符合题意； 当x∈(12,18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意； 当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意． 综上所述，此户居民本月用水量为15 m3.] 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于______.(保留一位小数)(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693) 4.6　[将θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t并整理可得，e－0.24t＝，解得t＝≈4.6.] 9．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________. k＝(只要写出的函数满足在区间(160,190)上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，答案不唯一)　[由题意知，函数k(x)在(160,190)上单调递增，设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈(160,190)，由解得所以k(x)＝x－＝(x－160)， 所以k＝ ] 四、解答题 10．(15分)(2025·临沂模拟)某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：克)的函数．研究过程中的部分数据如表所示． x/克 0 2 6 10 … y －4 8 8 … 已知当x≥7时，y＝x－m，其中m为常数．当0≤x<7时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①y＝ax2＋bx＋c；②y＝k·ax(a>0且a≠1)；③y＝klogax(a>0且a≠1)，其中k，a，b，c均为常数． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2)求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能达到最大． 解：(1)由表格知当x＝0时，y＝－4， 若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4； 若选②y＝k·ax(a>0且a≠1)，则k＝－4， 此时y＝－4ax(a>0且a≠1)不满足x＝2时，y＝8，故不选； 若选③y＝klogax(a>0且a≠1)，当x＝0时无意义，故不选． 所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系． 由题意有当0≤x<7时，由y＝ax2＋bx＋c， 当x＝0，y＝－4时，得c＝－4； 当x＝2，y＝8时，得4a＋2b＝12； 当x＝6，y＝8时，得36a＋6b＝12. 联立解得 所以当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4. (2)由(1)知，当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4， 又当x≥7时，y＝x－m，将x＝10，y＝代入上式，得＝10－m⇔3－2＝3m－10， 解得m＝8，即当x≥7时，y＝x－8. 综上有y＝ 当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12， 所以当x＝4时，取到最大值ymax＝12； 当x≥7时，y＝x－8单调递减， 所以当x＝7时，ymax＝7－8＝3. 故当新材料的含量x为4克时，产品的性能达到最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$