16 第二章 第9课时 函数的图象-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第9课时　函数的图象 [考试要求]　1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.2.掌握图象的作法：描点法和图象变换法.3.会运用函数的图象理解和研究函数性质． 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． [常用结论] 1. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×) (2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(×) (4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数y＝1－的图象是(　　) B　[将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象．故选B.] 2．(人教A版必修第一册P72练习T1改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) C　[法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.故选C． 法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快．故选C．] 3．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)已知图1为函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能为(　　) A．y＝|f(x)|　　　 B．y＝f(|x|) C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) B　[比较题中图1与图2中两个函数的图象，x>0时，函数图象与原函数图象相同，只有B符合， 观察图2中函数的图象，图象关于y轴对称，故图2中的图象对应的函数为偶函数，选项B仍符合．故选B.] 4．(人教A版必修第一册P159T1(1)改编)函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于y轴对称，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝　　　　. e－x＋1　[由题意知f(x)＝e－x，所以g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.] 考点一　作出函数的图象 [典例1]　作出下列函数的图象． (1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图1实线部分所示． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2. (3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3. (4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图4. 　图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． (3)作图时多注意定点、奇偶性、渐近线、极值、零点等性质． [跟进训练] 1．作出下列函数的图象． (1)y＝10|lg x| ； (2)f(x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)． 解：(1)y＝10|lg x|＝其图象如图1所示． (2)f(x)＝[x]＋2＝函数部分图象如图2所示． 考点二　函数图象的辨识 [典例2]　 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的大致图象为(　　) (2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (1)B　(2)D　[(1)f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)·sin x＝f(x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，可排除A，C； 又f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0，故可排除D.故选B. (2)由图象可知，f(x)的图象关于y轴对称，为偶函数，故A，B错误，当x>0时，恒大于0，与图象不符合，故C错误．故选D.] 　辨析函数图象的入手点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (3)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． (4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复． [跟进训练] 2．(1)已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　) (2)(2025·济南模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　) A．a＞0，b＝0，c＜0 B．a＜0，b＝0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＝0 D．a＞0，b＝0，c＞0 (1)B　(2)A　[(1)因为g(x)＝f(－x)，所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图，从而可得g(x)的图象为B选项．故选B. (2)由题图观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，所以f(－x)＝＝f(x)，得b＝0，故C错误； 由图象可知f(0)＝＜0⇒c＜0，故D错误； 因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根，可得Δ＝b2－4ac＞0，即a，c异号，a＞0，故B错误，A正确．故选A．] 考点三　函数图象的应用 　研究函数的性质 [典例3]　 (多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数f(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数 B．方程f(x)＝0有3个解 C．函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增 D．函数f(x)有4个单调区间 ABD　[根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数f(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数f(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，所以A正确；函数f(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程f(x)＝0有3个解，所以B正确；函数f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确．] 　解不等式 [典例4]　已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　) A．(－1,1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) D　[f(x)＞0⇔2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图所示，两图象交点为A(0,1)和B(1,2)，观察图象可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.] 　求参数的取值范围 [典例5]　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________. (2)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)＝a，b，c，d是互不相同的正数，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围是________. (1)　(2)(24,25)　[(1)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1， 当直线g(x)＝kx过A点时，斜率为，故f(x)＝g(x) 有两个不相等的实根时，k的取值范围为. (2)作出函数f(x)的大致图象如图所示． 因为a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)， 则有－log4a＝log4b，即log4a＋log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd. 由c＋d＝10，且c＜d，可得cd＜2＝25，且cd＝c(10－c)＝－(c－5)2＋25， 当c＝4时，d＝6，此时cd＝24，但c取不到4，故abcd的取值范围是(24,25)．] 　(1)注意性质与图象特征的对应关系． (2)某些方程和不等式的求解问题，可转化为图象的交点问题，体现了数形结合思想． [跟进训练] 3．(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减 C．f(x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减 D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增 (2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} (3)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________. (1)C　(2)C　(3)(0,1]　 [(1)f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图． 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减． (2)令y＝g(x)＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象，如图所示． 由得 所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}． (3)作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示， 由图可知k∈(0,1]．] 课时分层作业(十四) (本试卷共73分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．要得到函数y＝2x－1的图象，只需将指数函数y＝x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 D　[由y＝x＝2x的图象向右平移个单位长度，得y＝2＝2x－1.故选D.] 2．(2025·合肥模拟)函数f(x)＝(e为自然函数的底数)的图象大致为(　　) A　[f(x)＝的定义域为{x|x≠0}， f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故排除B，C； 当x趋近0＋时，e2x>1，所以e2x－1>0，ex>1， cos(2ex)>0，所以f(x)>0，故排除D.故选A．] 3．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝ A　[对于B选项，设f(x)＝， 则f(1)＝0，与图象不符，故排除B； 对于C选项，设h(x)＝，当x∈时，0<cos x<1， 所以h(x)＝<≤1，与图象不符，故排除C； 对于D选项，设g(x)＝，则g(3)＝>0，与图象不符，故排除D. 故选A．] 4．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>0，b>0，c>0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0 C　[f(x)的定义域为{x|x≠－c}，结合函数图象可知－c>0，则c<0； 由图象可知f(0)>0，即>0，得b>0； 由f(x)＝0得ax＋b＝0，即x＝－，由图象可知x＝－>0，由b>0得a<0.故选C．] 5．(2025·烟台模拟)如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，当点M到达点C时停止运动．过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是(　　) A．20 B．18 C．10 D．9 A　[由题图2可知，AB＋BC＝9，设AB＝m，则BC＝9－m. 如图，当点M在BC上运动时， 则AB＝m，BM＝x－m，MC＝9－x，NC＝y. 因为MN⊥AM，所以∠MAB＝∠NMC， 所以tan∠MAB＝tan∠NMC⇒＝， 即＝，化简为y＝－x2＋x－9， 当x＝时，代入上式并结合题图②可得y＝－9＋＝， 解得m＝5或m＝(舍去)．所以AB＝5，BC＝4， 所以矩形ABCD的面积是20.故选A．] 6．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　) B　[法一(图象变换法)：作出函数y＝f(x)关于y轴对称的图象(图略)，得到函数y＝f(－x)的图象，再把得到的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝f(2－x)的图象，再作出与此图象关于x轴对称的图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选B. 法二(特殊值验证)：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，故选B.] 7．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(－2,0]时，f(x)＝－x2－2x.若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤7，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[因为x∈(－2,0]时，f(x)＝－x2－2x， 由f(x)＝2f(x－2)可知，即将f(x)，x∈(－2,0]的图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到x>0时图象， 又由f(x)＝2f(x－2)可知f(x)＝f(x＋2)，当x≤－2时，将f(x)，x∈(－2,0]的图象向左平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍， 如图所示， 当4<x≤6时，f(x)＝8f(x－6)＝－8(x－6)2－16(x－6)＝－8(x－5)2＋8. 令f(x)＝－8(x－5)2＋8＝7，得x1＝5－或x2＝5＋， 若x∈(－∞，m]时，f(x)≤7成立，则m≤5－， 所以实数m的取值范围为.故选D.] 8．已知函数f(x)＝ 则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有(　　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 C　[作出函数f(x)＝ 的图象，如图，则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点对称的点，即为当x<0时，f(x)＝2x2＋4x＋1关于原点对称的函数图象与y＝的图象的交点， 由图象可知，交点有2个， 所以函数f(x)＝ 的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．故选C．] 二、多项选择题 9．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 AC　[f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．故选AC．] 10．(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)m·(x－1)n(其中m＋n>0，a≠0)的部分图象如图所示，则(　　) A．m>n>0 B．m<3n C．m>0>n D．a<0 AB　[选项A，B，C，由题意知f′(x)＝am(x＋1)m－1(x－1)n＋an(x＋1)m·(x－1)n－1＝a(x＋1)m－1(x－1)n－1[(m＋n)x－(m－n)]． 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝. 由题图可知函数f(x)的一个极值点位于区间内， 因此0<<.又m＋n>0，所以0<2m－2n<m＋n，解得n<m<3n，故n>0，因此A，B正确，C错误． 选项D，由题图可知f＝am·n>0， 若取m＝3，n＝2，则a32>0，解得a>0，因此D错误． 故选AB.] 三、填空题 11．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________. 1　[因为x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于直线y＝x对称，因此x1x2＝1.] 12．已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________. 　[由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点． 函数y＝f(x)，x∈[0,6]的图象如图所示， 由图知k的取值范围是.] 13．已知函数f(x)＝若对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－4,0] C．[－3,0] D．(－∞，2] B　[由题意知，f(x)＝令g(x)＝|f(x)|，作出g(x)的图象，如图所示， 令h(x)＝ax，由图知，要使对任意的x都有|f(x)|≥ax恒成立，则必有a≤0， 当x≤0时，令y1＝x2－4x，由消去y得到x2－(4＋a)x＝0， 令Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4.由图可知－4≤a≤0. 故选B.] 14. (多选)在平面直角坐标系Oxy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数 B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C．函数y＝f(x)的值域为[0,2] D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增 BCD　[由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2,0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0,0)为圆心，2为半径的圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2,0)为圆心，2为半径的圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6,0)为圆心，2为半径的圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f(x)在[－4,4]的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y＝f(x)的周期是8，其图象如图所示： 由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，2]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6,8]的图象与在区间[－2,0]的图象形状相同，因此，f(x)在区间[6,8]上单调递增，故D正确．故选BCD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$