14 第二章 第8课时 对数与对数函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第8课时　对数与对数函数 [考试要求]　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg N.以e为底的对数叫做自然对数，logeN记为ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (4)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0) 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.(×) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(×) (3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(√) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________. 　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1. 所以函数y＝的定义域是.] 2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小： (1)log0.56<log0.54； (2)log2＝log3. 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________. 　[(log43＋log83)×log32＝×＝.] 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是______________________________． ∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件； 当0<a<1时，由得0<a<. 综上，a∈∪(1，＋∞)．] 考点一　对数的运算 [典例1]　(1)(2025·重庆模拟)已知a＝log25,8＝5b，则ab＝__________. (2)(2024·全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝_______. (1)3　(2)64　[(1)由8＝5b，得b＝log58，所以ab＝log25·log58＝3log25·log52＝3. (2)由题意得－＝－·log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6. 又因为a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64.] 　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． [跟进训练] 1．(1)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________. (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2＝________. (1)e　(2)4　[(1)因为f(ln 2)＝aln 2，f(ln 4)＝aln 4，所以f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e. (2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2×lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2×(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2×lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.] 考点二　对数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(2025·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) (1)D　(2)B　[(1)当x＝0时，y＝loga＝－1， 则当0<a<1时，如图，函数图象过二、三、四象限； 则当a>1时，如图，函数图象过一、三、四象限． 所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象限． 故选D. (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.] [拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________. 　[若方程4x＝logax 在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点． 由图象可知解得0＜a≤.] 　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [跟进训练] 2．(1)(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) (2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________. (1)AD　(2)(3，＋∞)　[(1)易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD. (2)f(x)＝|ln x|的图象如图， 因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|.因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b， 所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0， 所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋. 令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减， 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．] 考点三　对数函数的性质及应用 　比较大小 [典例3]　(1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b (1)D　(2)C　[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：log＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b. (2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得 <<<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得0<c<b<a<1.故选C．] 　解与对数有关的不等式 [典例4]　(1)(2025·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0， ＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　) A．[1,2] B． C． D．(0,2] (2)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) (1)C　(2)C　[(1)因为loga＝－log2a，又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(log2a)＋f(loga)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2.故选C． (2)由题意可得或 解得a>1或－1<a<0.故选C．] 　对数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) (2)(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (3)(2025·滨州模拟)已知函数f(x)＝ln(eax ＋ 1)－x是偶函数，则实数a的值为________. (1)A　(2)ACD　(3)2　[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)． (2)令>0，解得x>或x<－， 所以f(x)的定义域为∪. 又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误． 又f(x)＝ln ＝ln， 令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t， 又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数， 所以f(x)在上单调递减，故C正确． 由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． (3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln(eax ＋ 1)－x是偶函数，则f(－x)＝ln(e－ax＋1)＋x＝f(x)＝ln(eax ＋ 1)－x， 即ln＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2.] 　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． [跟进训练] 3．(1)(多选)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则(　　) A．x＞y B．x＋＞y＋ C．ln(x－y)＜0 D．＜2－y (2)(多选)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　) A．当m>时，f(x)的定义域为R B．f(x)一定存在最小值 C．f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．当m≥1时，f(x)的值域为R (3)已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 3)＋f＝________. (4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝　　　　. (1)ABD　(2)AC　(3)4　(4)5　[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x， 所以ln x＋x＞ln y＋y. 对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)， 所以x＞y，故A正确； 对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y， 所以＜，所以x＋＞y＋，故B正确； 对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误； 对于D，因为x＞y，所以－x＜－y， 所以2－x＜2－y，即＜2－y，故D正确．故选ABD. (2)对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C，由于函数y＝ln为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)＝ln＝ln(x2＋x＋m)的图象， 此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－，故C正确； 对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝2＋m－≥，故f(x)的值域不是R，故D错误． 故选AC． (3)设g(x)＝ln(－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4. (4)由题意得所以1≤x≤3，所以g(x)的定义域为[1,3]， g(x)＝[f(x)]2＋f(x2) ＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2 ＝(log3x)2＋4log3x＋2. 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0,1]上单调递增， 所以当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7， 所以g(x)max－g(x)min＝5.] 点拨：易忽视g(x)的定义域． 课时分层作业(十三) (本试卷共97分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　) A．　　 B．3　　 C．4　　 D． A　[因为xlog34＝1，所以log34x＝1，所以4x＝3， 所以4x＋4－x＝3＋3－1＝.故选A．] 2．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象可能是(　　) B　[因为lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， 所以ab＝1，所以a＝， 所以g(x)＝logx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝logx互为反函数，所以函数f(x)＝ax与g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．故选B.] 3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ A　[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k， 所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，所以＋＝.] 4．(2025·哈尔滨模拟)设a＝log23，b＝0.30.2，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<b<a C　[因为c＝＝log22＝log22<log23＝a，b＝0.30.2<0.30＝1，所以b<c<a.故选C．] 5．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，2023年时平均每户增加4 000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12 000元的年份大约是(　　) (参考数据：ln 3≈1.10，ln 10≈2.30，ln 11≈2.40) A．2033年 B．2034年 C．2035年 D．2036年 C　[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元， 由题得y＝4 000·(1＋10%)n>12 000，即1.1n>3， 则nln 1.1>ln 3，n>＝≈11， 又n∈N*，则n＝12.所以所求年份大约是2035年． 故选C．] 6．(2025·德州模拟)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)在区间上有最大值或最小值，则实数a的取值范围为(　　) A． B．∪(1,2) C．∪(1,4) D．∪(1,2) B　[要使函数f(x)在区间上有最大值或最小值，由于y＝x2－ax＋1开口向上， 故需函数y＝x2－ax＋1在区间上有最小值，且y>0. 该函数图象的对称轴为直线x＝， 所以解得 所以<a<2，且a≠1，即实数a的取值范围为∪(1,2)． 故选B.] 二、多项选择题 7．已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 AB　[由题意可得解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确； f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确； 因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误； 因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误． 故选AB.] 8．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2] ACD　[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0,0)，故A正确； 当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误； 当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确； 当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1,2]上单调递增知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．] 三、填空题 9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________. (－∞，0)　[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数， 所以f(x)＝log5x， 则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)． 设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ， 由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2. 因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增， 又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．] 10．已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 024，2 024])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. －10　[设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x)，g(x)的定义域为(x∈[－2 024,2 024])， 则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln [(－x)(＋x)]＝ln 1＝0， 所以g(－x)＝－g(x)，g(x)是奇函数，因此g(x)min＋g(x)max＝0. 又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5，g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5， 所以g(x)min＋g(x)max＝M＋5＋m＋5＝0，M＋m＝－10.] 四、解答题 11．(15分)设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212. (1)求a，b的值； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值． 解：(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)， 且f(1)＝1，f(2)＝log212， 所以 即解得 (2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x， 则t＝4x－2x＝2－， 因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4， 所以≤2≤，即2≤t≤12. 因为y＝log2t在[2,12]上单调递增， 所以ymax＝log212＝2＋log23， 即函数f(x)的最大值为2＋log23. 12．(15分)已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0， 所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0. 经检验，当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． 所以a＝0. (2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题意得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)． 所以解得－＜a≤－. 故实数a的取值范围是. 13．(15分)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋4)(a>0且a≠1)． (1)当x∈(0,2)时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)当x∈(0,2)时，函数f(x)恒有意义， 所以x2－ax＋4>0在(0,2)上恒成立， 即a<x＋在(0,2)上恒成立． 令g(x)＝x＋，x∈(0,2)， 则g′(x)＝1－＝＝<0， 所以g(x)＝x＋在(0,2)上单调递减， 所以g(x)>g(2)＝4，所以a≤4. 又a>0且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1,4]． (2)函数f(x)在区间[1,2]上有意义， 则x2－ax＋4>0在[1,2]上恒成立． 由(1)同理可知，a∈(0,1)∪(1,4]， 又函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1. 当a∈(0,1)时，y＝logax单调递减， 则y＝x2－ax＋4>0且在[1,2]上单调递增， 所以即故不存在这样的实数a； 当a∈(1,4)时，y＝logax单调递增， 则y＝x2－ax＋4>0且在[1,2]上单调递减， 所以即故不存在这样的实数a. 综上，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，且最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$