13 第二章 第7课时 指数与指数函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第7课时　指数与指数函数 [考试要求]　1.掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars； (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a.(×) (2)函数y＝a－x是R上的增函数．(×) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为(　　) A．5　　 B．　　 C．－　　 D．－5 B　[原式＝] 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 C　[依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．＞2－ C．1.70.3＞0.93.1 D．＜ BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为2－＝，y＝x为减函数，所以＞＝2－，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0,1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝x为减函数，所以＜，又y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜，故D正确．] 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f(x)＝＋b的图象过原点，且无限接近于直线y＝1，但又不与该直线相交，则f(－2)＝________. 　[因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝a0＋b＝0，即a＋b＝0.又因为f(x)的图象无限接近于直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f(x)＝－＋1，所以f(－2)＝－2＋1＝.] 考点一　指数幂的运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7　　　 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a－＝± D．a＋＝2 (2)计算：·＝________(a>0，b>0)． (1)ABD　(2)　[(1)因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故选项C错误；因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故选项D正确． (2)原式＝ 　指数幂运算的一般原则 (1)将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． [跟进训练] 1．(1)已知x<0，y>0，化简得(　　) A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y (2)计算：－＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________. (1)B　(2)－　[(1)由题意得 ＝9(x8)(y4)＝x2|y|＝x2y. (2)原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] 考点二　指数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，则下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a<b<0 C．0<a<b D．0<b<a (2)(2025·日照模拟)已知函数y＝＋b的图象经过原点，且无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 (1)ABD　(2)C　[(1)如图，观察易知， a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故选ABD. (2)因为函数y＝＋b的图象过原点，所以a0＋b＝0， 得a＋b＝0.又该函数图象无限接近于直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4.故选C．] [跟进训练] 2．(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________. (1)A　(2) [－1,1]　[(1)由图象知函数为减函数，则0＜a＜1， 二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－， 因为0＜a＜1，所以＞， －＜－， 即横坐标的取值范围是.故选A． (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．] 考点三　指数函数的性质及应用 　比较指数式的大小 [典例3]　(1)(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 (1)D　(2)B　[(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c. 故选D. (2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数． 又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.] 　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________. (2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________. (1)　(2)(－3,1)　[(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝； 当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1无解，故a的值为. (2)当a<0时，原不等式化为a－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0. 当a≥0时，则<1,0≤a<1. 综上，实数a的取值范围是(－3,1)．] 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) (2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 (3)若不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________. (1)D　(2)D　(3)(1，＋∞) [(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D. 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝2－在(0,1)上单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0,1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D. (2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D. 法二：f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D. (3)原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，所以y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，所以a>1.] 　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [跟进训练] 3．(1)设＜b＜a＜1，那么(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa (2)(多选)(2025·临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 (1)C　(2)ACD　[(1)因为＜b＜a＜1且y＝x在R上是减函数， 所以0＜a＜b＜1. 当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，所以ab＜aa. 当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增， 所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.故选C． (2)对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确； 因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a， 当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a， 综上，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误； 当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确； 当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确．故选ACD.] 课时分层作业(十二) (本试卷共97分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为(　　) A．　　 B．1　　 C．　　 D．2 A　[由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝. 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，所以a＝.] 2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a C　[由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b<a<c.] 3．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　) A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 D　[根据题图知，函数f(x)＝ax－b是减函数，所以a∈(0,1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，解得b∈(0,1)，即a∈(0,1)，b∈(0,1)．] 4．(2025·东营模拟)若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) B　[因为2x2＋1≤x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是.故选B.] 5．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b A　[函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f.又<2－<<1，所以f<f<f，所以b>c>a.故选A．] 6．点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0,1)时，可能等于(　　) A．－1或－2 B．－1或－3 C．－2或－3 D．0 C　[表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)所成直线的斜率k， 又M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0,1)图象上的动点， 如图，当M接近B(1，e)时，k→－∞， 当M为(0,1)时，k＝＝－2， 则k∈(－∞，－2]，只有C满足． 故选C．] 二、多项选择题 7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) ABD　[由题图知，函数y＝ax为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2. 则A项，y＝x的图象，满足条件， B项，y＝x－2＝的图象，满足条件， C项，y＝2|x|，当x>0时，函数y＝2x单调递增，不满足条件， D项，y＝|log2x|的图象，满足条件．故选ABD.] 8．已知函数f(x)＝4x＋＋2，则(　　) A．f(x)在(－∞，0)上单调递增 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于点(0,1)对称 D．不等式f(x＋1)<的解集是(－2,0) BD　[对于A选项，当x<0时，f′(x)＝4xln 4＋ln ＝(4x－4－x)ln 4<0， 所以，函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，A错误； 对于B选项，对任意的x∈R，则f(－x)＝4－x＋＋2＝＋4x＋2＝f(x)， 所以，f(x)的图象关于y轴对称，B正确； 对于C选项，因为f(x)＋f(－x)＝2＋4>2，所以函数f(x)的图象不关于点(0,1)对称，C错误； 对于D选项，由f(x＋1)＝4x＋1＋＋2<，可得(4x＋1)2－·4x＋1＋1<0， 解得<4x＋1<4，可得－1<x＋1<1，解得－2<x<0， 所以，不等式f(x＋1)<的解集是(－2,0)，D正确． 故选BD.] 三、填空题 9．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________. 1　[法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立， 所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)·(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1. 法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.] 10．若函数y＝ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝__________. 2　[因为函数y＝ax(a>1)在区间[1,2]上单调递增， 所以ymax＝a2，ymin＝a，则a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍去)．] 四、解答题 11．(15分)(2025·日照模拟)设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数． (1)求p的值； (2)若g(x)＝f(2x)－2k·(2x－2－x)在[1，＋∞)上的最小值为－4，求k的值． 解：(1)函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数， 可得f(－x)＝f(x)，即为2－x＋(p－1)·2x＝2x＋(p－1)·2－x，化为(2x－2－x)(p－2)＝0. 由x∈R，可得p－2＝0，即p＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x＋2－x，则g(x)＝f(2x)－2k·(2x－2－x)＝4x＋4－x－2k(2x－2－x)． 设t＝2x－2－x，由x≥1，t＝2x－2－x单调递增，可得t≥. 设h(t)＝t2－2kt＋2，对称轴为直线t＝k， 当k≤时，h(t)在上单调递增，可得h(t)的最小值为h＝－3k＋2＝－4，解得k＝>，舍去； 当k>时，h(t)在t＝k处取得最小值，且为2－k2＝－4，解得k＝(－舍去)． 综上，k＝. 12．(15分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 从而f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 所以a＝2，b＝1.经验证满足f(x)是奇函数． (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 故实数k的取值范围为. 13．(15分)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)＝＋＋1. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)设y＝f(x)＝＋＋1. 当a＝－1时，y＝f(x)＝2x－x＋1(x＜0)， 令t＝x，x＜0，则t＞1， 则y＝t2－t＋1＝2＋， 所以y＞1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， 所以不存在常数M＞0，使得|f(x)|≤M成立． 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立， 令t＝x，x≥0，则t∈(0,1]． 所以－≤a≤－t对t∈(0,1]恒成立， 所以max≤a≤min. 设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0,1]， 因为h(t)在(0,1]上单调递增，p(t)在(0,1]上单调递减， 所以h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. 所以实数a的取值范围为[－5,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$