12 第二章 第6课时 幂函数与二次函数-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第6课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(×) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(√) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．(√) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　) A．[－6,2]　　　 B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1] A　[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1， 则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6,2]．] 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围为　　　　　　　　. (－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，≥20或≤5，解得k≥120或k≤30.] 3. (人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减． y＝x－　(0，＋∞)　[设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，所以y＝x－，由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．] 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3，即c<b<a.] 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 (2)(2025·济南模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f(x)是减函数 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 (3)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________. (1)D　(2)C　(3)　[(1)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0.综上所述，故选D. (2)函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足题意， 当m＝－1时，f(x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意，A错误； 函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，B错误； 因为函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．故选C． (3)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以 解得－1≤a<.] 　与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． [跟进训练] 1．(2025·潍坊模拟)写出满足下列条件①②③的一个函数：f(x)＝________. ①f(x)的定义域为R；②∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；③∀0<x1<x2，都有2<<. x(答案不唯一，形如f(x)＝x，p，q为奇数，且1<<2均可)　[由③知(不妨取x>0时，f(x)>0)， 所以函数在(0，＋∞)上是增函数，函数在(0，＋∞)上是减函数． 又由①②，函数为奇函数且定义域为R， 所以可取幂函数f(x)＝x. 故答案为：x(答案不唯一，形如f(x)＝x，p，q为奇数，且1<<2均可)．] 考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b (2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝__________. (1)AD　(2)－4x2＋4x＋7　[(1)在题图中，二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，B错误；结合题图，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确． (2)法一(利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 即＝8， 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.] 　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． [跟进训练] 2．(1)若abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) (2)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式：____________.(写出一个即可) (1)D　(2)f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[(1)在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意．故选D. (2)由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f(x)＝(x－2)2＋1， 此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②， 因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2， 都有＜0， 等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以f(x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.] 考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值为A，在[m,2m－1]上的最大值为B.若A≥2B，则实数m的取值范围是____________. 　[由函数f(x)＝|x2－6x＋7|＝|(x－3)2－2|，作出f(x)的图象如图． 由题意得f(1)＝f(3)＝f(5)＝2， 当1<m≤5时，函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值为2，即A＝2. 要使A≥2B，则B≤1，令f(x)＝1，解得x1＝3－，x2＝2，x3＝4，x4＝3＋. 由图可得，要使函数f(x)＝|x2－6x＋7|在[m,2m－1]上的最大值为B，且B≤1，则或解得3－≤m≤. 当m>5时， 由图可得，f(x)＝|x2－6x＋7|在[1，m](m>1)上的最大值A＝f(m)＝m2－6m＋7>0，在[m,2m－1]上单调递增，最大值B＝f(2m－1)>f(m)＝A>0，A≥2B不可能成立． 综上，实数m的取值范围是.] 　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． [跟进训练] 3．(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx－2x＋1在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是____________. (2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． (1)[－2，＋∞)　[二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－. 因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以－≤2，解得m≥－2. 所以实数m的取值范围是[－2，＋∞)．] (2)解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1. 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图2所示，在对称轴x＝1处f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1. 当t≥1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，f(x)min＝ 课时分层作业(十一) (本试卷共82分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．如图，函数y＝，y＝x，y＝1的部分图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)可能是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝ C．y＝x D．y＝x－2 B　[因为函数y＝xα的图象过④⑧部分，所以函数y＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0.又易知当x＝2时，＜y＜1，所以只有B选项符合题意．] 2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A．(0,4] B． C． D． C　[y＝x2－3x＋4＝2＋的定义域为[0，m]，显然，当x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤m≤3.] 3．(2025·泰安模拟)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a≠0时，f(x)图象的对称轴为x＝， 由f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a<0. 综上，a的取值范围为[－3,0]．] 4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2] D　[当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立； 当a－2≠0时， 解得－2<a<2. 综上所述，实数a的取值范围是(－2,2]．故选D.] 5．已知二次函数f(x)，对任意的x∈R，都有f(2x)＜2f(x)，则f(x)的图象可能是(　　) A　[二次函数f(x)，对任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，令x＝0，得f(0)＜2f(0)，即f(0)＞0，故CD都不可能，对于B，二次函数图象的对称轴方程为x＝－，由图象可知f＜0，设f(x)的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0＜x1＜x2，则x1＋x2＝－＞0，所以0＜x1＜－＜x2＜－，所以f＞0，当x＝－时，f(2x)＝f＜2f＜0，两者相矛盾，故B不可能．故选A．] 6．已知幂函数y＝x(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且>0 B．q为偶数，p为奇数，且<0 C．q为奇数，p为偶数，且>0 D．q为奇数，p为偶数，且<0 D　[因为函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，所以<0. 因为函数y＝x的图象关于y轴对称， 所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数． 又p，q互质，所以q为奇数，所以选项D正确， 故选D.] 二、多项选择题 7．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，满足f(0)＝1，f(－3－x)＝f(x)，下列结论正确的是(　　) A．1－b＋c＝0 B．∀x∈R，f(x)≥－x－3 C．若a≥1，则∀x∈R，f(x)≥ax D．若∀x>0，kf(x)≥x，则k≥ BD　[因为f(－3－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝－对称，即－＝－，所以b＝3， 又f(0)＝c＝1，所以f(x)＝x2＋3x＋1. 对于A,1－b＋c＝1－3＋1＝－1<0，所以A错误； 对于B，因为(x＋2)2＝x2＋4x＋4＝x2＋3x＋1＋x＋3≥0， 所以对于∀x∈R，f(x)≥－x－3，所以B正确； 对于C，∀x∈R，f(x)≥ax等价于x2＋(3－a)x＋1≥0恒成立， 所以Δ＝(3－a)2－4≤0，解得1≤a≤5，所以C错误； 对于D，∀x>0，kf(x)≥x等价于k(x2＋3x＋1)≥x，当x>0时，x2＋3x＋1≥1， 所以k≥＝， 因为x＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以k≥，所以D正确． 故选BD.] 8．已知函数f(x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，＜3恒成立，则实数a的取值可以是(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 AB　[不妨设1≤x1＜x2，则x1－x2＜0， 根据题意，可得f(x1)－f(x2)＞3(x1－x2)恒成立， 即f(x1)－3x1＞f(x2)－3x2恒成立， 令g(x)＝f(x)－3x＝ax2－2x－3， 则g(x1)＞g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减． 当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减， 则解得a＜0. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．故选AB.] 三、填空题 9．已知幂函数f(x)＝(a2－3)xa2＋a－2在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3x＋m，对任意x1∈[1,3]，总存在x2∈[1,2]使得f(x1)＝h(x2)，则m的取值范围为__________. 　[因为函数f(x)＝(a2－3)·xa2＋a－2是幂函数，所以a2－3＝1，解得a＝±2. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以a2＋a－2<0，可得a＝－2， 所以f(x)＝x－2＝，所以f(x)在[1,3]上的值域为， h(x)在[1,2]上的值域为[3＋m,9＋m]． 根据题意有解得 所以m的取值范围为.] 10．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[1,2]上有最大值4，则a的值为________. 　[f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. ①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． ②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝. ③当a<0时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去． 综上可知，a的值为.] 四、解答题 11．(15分)(2025·临沂模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在[0,1]上的最大值和最小值； (2)若y＝f(x)在区间[－2,9]上不单调，求实数a的取值范围； (3)函数f(x)＝x2＋2ax在区间[1,3]上的最小值为g(a)，求g(a)． 解：(1)当a＝－1时，函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，且x∈[0,1]， 当x＝0时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(0)＝0； 当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝－1. (2)由函数f(x)＝x2＋2ax＝(x＋a)2－a2， 可得函数f(x)表示开口向上的抛物线，且对称轴为直线x＝－a. 要使得函数f(x)在区间[－2,9]上不单调，则满足－2<－a<9，解得－9<a<2， 所以实数a的取值范围为(－9,2)． (3)由函数f(x)＝x2＋2ax＝(x＋a)2－a2，且x∈[1,3]， 可得函数f(x)表示开口向上的抛物线，且对称轴为直线x＝－a， 当－a≤1时，即a≥－1时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递增， 所以g(a)＝f(1)＝2a＋1； 当1<－a<3时，即－3<a<－1时， 则f(x)在区间[1，－a)上单调递减， 在(－a,3]上单调递增， 所以g(a)＝f(－a)＝－a2； 当－a≥3时，即a≤－3时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减， 所以g(a)＝f(3)＝6a＋9. 综上，g(a)＝ 12．(15分)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫将函数y＝|f(x)－g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”． (1)若f(x)＝x2(x∈[0,1])，g(x)＝－x－1，求函数f(x)与g(x)的“偏差”； (2)若f(x)＝x2(x∈[－1,1])，g(x)＝x＋b，求实数b，使得函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值． 解：(1)y＝|f(x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝＝2＋，x∈[0,1]，因为x∈[0,1]， 由二次函数的性质可得y＝2＋∈[1,3]， 故函数f(x)与g(x)的“偏差”为3. (2)令t(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x－b＝2－b－，x∈[－1,1]， 因为t(－1)＝2－b，t＝－b－，t(1)＝－b，令h(x)＝|t(x)|＝， x∈[－1,1]， 因为x∈[－1,1]，所以x－∈，2∈， 当－b－＝0，即b＝－时，此时2－b－≥0， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＝，有最小值，满足要求； 当－b－＞0，即b＜－时，此时2－b－＞0， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于2－b＞，无最小值，不满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＜2－b，即－＜b＜时， 则h(x)＝的“偏差”为2－b，由于＜2－b＜，无最小值，不满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＞2－b，即b＞时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＞，无最小值，不满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋＝2－b，即b＝时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＜0，即b＞2时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＞，无最小值，不满足要求； 当－b－＜0，t(－1)＝2－b＝0，即b＝2时， 则h(x)＝的“偏差”为b＋，由于b＋＝，有最小值，满足要求． 综上，b＝或－或2时，满足要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$