11 第二章 第5课时 函数性质的综合应用-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第5课时　函数性质的综合应用 考点一　函数的奇偶性与单调性 [典例1]　(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　) A．f(f(1))＜f(f(2)) B．f(g(1))＜f(g(2)) C．g(f(1))＜g(f(2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) (1)B　(2)BD　[(1)因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2， 令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－2x－2)＝－f(2x＋2)， 由f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3，得f(x2－1)－(x2－1)＜－f(－2x－2)－(2x＋2)＝f(2x＋2)－(2x＋2)， 即g(x2－1)＜g(2x＋2)， 所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2， 即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0， 所以－1＜x＜3，即f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1,3)．故选B. (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))， g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正确，C错误； 若|f(1)|＞|f(2)|，则f(f(1))＞f(f(2))，A错误．故选BD.] 　1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． [跟进训练] 1．(1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] (2)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　　) A．∪(1，＋∞)　　 　 B．　　 C． 　 D．(1，＋∞) (1)D　(2)A　[(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图1所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图2所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D. (2)f(x)＝|3x－3－x|，定义域为R，又f(－x)＝|3－x－3x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数． 又当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数，故g(x)＝3x－3－x在(0，＋∞)上单调递增． 又g(0)＝0，则当x>0时，g(x)>0，所以此时y＝f(x)＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．故当x<0时，y＝f(x)为减函数． 由f(2x－1)－f(x)>0，得f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，也即(3x－1)(x－1)>0，解得x<或x>1，所以原不等式的解集为∪(1，＋∞)． 故选A．] 考点二　函数的奇偶性与周期性 [典例2]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则(　　) A．f＝0　　　 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 (2)(2025·日照模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则f(20)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 (1)B　(2)B　[(1)因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)， 因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)， 且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0， 所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不一定为0.故选B. (2)由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0. 又由f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即f(2－x)＝－f(x)， 则有f(2－x)＝f(－x)，可得f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，故f(20)＝f(0)＝0.故选B.] 　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． [跟进训练] 2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f等于(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． C　[由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)， 可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)是周期为4的周期函数． 又由当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3， 得f＝f＝－f＝－f＝－＝－.] 考点三　函数的奇偶性与对称性 [典例3]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5　　 B．1　　 C．－1　　 D．－5 (2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) (1)B　(2)A　[(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x＋2)＝g(2－x)． 又g(2－x)＝f(2－x)＝f(2－x)，且g(x＋2)＝f(x＋2)， 所以f(2－x)＝f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)．因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)＝－f(－1)＝1， 因此，g(3)＝f(3)＝f(1)＝1.故选B. (2)因为函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称，所以f(x－4)＝－f(－x)．又f(x)为定义在R上的奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)是周期函数且周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0), f(21)＝f(1)． 因为f(x)为奇函数，且在[0,2)上单调递增， 所以f(x)在(－2,2)上单调递增， 所以f(－1)<f(0)<f(1)， 即f(11)<f(12)<f(21)．故选A．] 　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． [跟进训练] 3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．0　　 D．1 D　[因为f(x)的图象关于点(1,0)对称， 所以f(－x)＝－f(2＋x)． 又f(x)为R上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0. 又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.] 考点四　函数的对称性与周期性 [典例4]　(1)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则函数f(x)的周期是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) A．116 B．115 C．114 D．113 (1)C　(2)C　[(1)因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)． 因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝f(x＋1)， 则f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋2)， 所以f(－x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4. 故选C． (2)由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)， 所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4. 又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1. 又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0， 所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.故选C．] 　函数的周期性与对称性的关系 (1)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，那么函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (2)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)(a≠b)对称，那么函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) (3)如果函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象) [跟进训练] 4．(1)已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，则f(2 024)＝(　　) A．6 B．3 C．0 D．－3 (2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． (1)C　(2)D　[(1)令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)． 因为函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称， 所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝－f(x－2)， 即f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)， 故f(x)是周期为8的周期函数， 所以f(2 024)＝f(253×8＋0)＝f(0)＝0.故选C． (2)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②. 根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2. 根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×2－2＝.] 课时分层作业(十) (本试卷共57分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c　　　　　　 B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a C　[易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数， 因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0. 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， 所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.故选C．] 2．已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝ax－1，则f(2 024)＝(　　) A．－1　　 B．－2　　 C．0　　 D．2 A　[根据题意，函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为直线x＝－1， 则有f(x)＝f(－2－x)，又由函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称， 则f(x)＝－f(2－x)，则有f(－2－x)＝－f(2－x)，则f(x＋4)＝－f(x)， 则有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数， 则f(2 024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1.故选A．] 3．已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为(　　) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) A　[因为f(x－1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3.故选A．] 4．已知定义在R上的偶函数f(x)，∀x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 025)＝(　　) A．0 B．－2 C．－4 D．2 A　[依题意∀x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)， 所以f(3)＝0，故f(x＋6)＝f(x)， 所以f(x)是周期为6的周期函数， 故f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝0.故选A． ] 5．在下列命题中，错误的是(　　) A．函数f(x)＝x＋(x>0)的最小值为2 B．已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)一定为偶函数 C．若定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝0 D．已知函数f(x)＝x3，若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>0 A　[对于A选项，当a<0时，因为函数y＝x，y＝均为(0，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，此时函数f(x)在(0，＋∞)上无最小值，A错误； 对于B选项，由已知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)， 又因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)为偶函数，B正确； 对于C选项，由已知f(0)＝0，f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，故f(1)＝0， 所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝2f(1)＋f(0)＝0，C正确； 对于D选项，因为函数f(x)＝x3为R上的增函数且为奇函数，a＋b>0，即a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0，D正确． 故选A．] 二、多项选择题 6．(2025·烟台模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．g(2 023)＝1 C．g(x)的周期为4 D．对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x) ACD　[由题意可得f(x)的对称中心为点(0,0)，对称轴为直线x＝1， 所以f(x)的图象也关于直线x＝－1对称，且f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知，f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，则g(x)的周期为4，g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B不正确，C正确．故选ACD.] 7．已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则(　　) A．f(0)＝－1 B．f(1)＝－1 C．4是函数f(x)的一个周期 D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称 BC　[因为f(2x－1)＋1是R上的奇函数， 所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]， 整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2. 令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正确； 将2x替换为x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①， 又因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 将x替换为x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②， 由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③， 则f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④， ③－④得f(x＋4)＝f(x)， 故4是函数f(x)的一个周期，C正确； 因为f(x＋2)＋f(x)＝－2， 所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2， 故f(x)关于点(1，－1)中心对称， 又因为4是函数f(x)的一个周期， 所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1， 故f(x)关于点(9，－1)中心对称，D错误； 因为f(x)关于点(1，－1)中心对称，故点(0，f(0))与点(2，f(2))关于点(1，－1)中心对称，无法得到f(0)＝－1，A错误．故选BC．] 三、填空题 8．(2025·菏泽模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 025)＝________. 0　[因为f(－x)＝－f(x)，令x＝0，得f(0)＝0.用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2 025)＝0.] 9．若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有f(x)＋f(2a－x)＝2b，则a＝2，b＝2的一个“准奇函数”为________________.(填写解析式) f(x)＝(x≠2) (答案不唯一)　[由f(x)＋f(2a－x)＝2b，知“准奇函数”f(x)的图象关于点(a，b)对称，若a＝2，b＝2，即f(x)图象关于点(2,2)对称，如y＝向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，得到f(x)＝2＋＝，故其图象就关于点(2,2)对称．] 10．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 D　[因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g(2－x)＝g(x＋2)． 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)． 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5， 即f(x)＋f(x－2)＝－2， 所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10， f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10. 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5， 即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3. 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因为f(x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)中心对称．因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6. 因为f(x)＋g(x＋2)＝5， 所以f(1)＝5－g(3)＝－1. 所以(k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24. 故选D.] 11．已知函数f(x)＝ln ＋2，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>4的解集为__________. 　[根据题意，函数f(x)＝ln ＋2，设g(x)＝ln ，则有>0，解得－1<x<1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称． 又由g(－x)＝ln ＝－ln ＝－g(x)，得函数g(x)为奇函数． 设t＝，则y＝ln t， t＝＝－1在(－1,1)上单调递减，而y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增， 故g(x)＝ln 在区间(－1,1)上单调递减， f(2x－1)＋f(2x)>4⇒g(2x－1)＋g(2x)＋4>4⇒g(2x－1)>－g(2x)⇒g(2x－1)>g(－2x)⇒解得0<x<，即不等式的解集为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$