10 第二章 第4课时 函数的对称性-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第4课时　函数的对称性 [考试要求]　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 2．函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(×) (2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(√) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称．(×) (4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于(　　) A．x轴对称　　　 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 C　[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C．] 2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝x的图象之间的关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　[因为y＝x＝3－x，所以函数y＝3x与y＝x的图象关于y轴对称．故选B.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝ D．y＝x－ AC　[由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以A正确； 由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以B错误； 由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以C正确； 由y＝x－知定义域为{x|x≠0}， 且f(－x)＝(－x)－＝－＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以D错误．故选AC．] 4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1. (1)若f(x)在[－6,6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________； (2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点________. (1)2　(2)(0,1)　[(1)因为y＝mx3＋nx在R上为奇函数，所以在[－6,6]上，ymax＝－ymin，所以M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2. (2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0,0)，所以函数f(x)的对称中心为点(0,1)． 法二：因为g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上为奇函数， 所以⇒ 所以函数f(x)的对称中心为点(0,1)．] 考点一　轴对称问题 [典例1]　(1)(2025·泰安模拟)已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范围为(　　) A．(2，＋∞)　　 B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C． D．∪(2，＋∞) (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2,0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 (1)B　(2)ACD　[(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)的对称轴为y轴， 又函数y＝f(x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f(x)， 所以函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，所以由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|， 解得x＜0或x＞2.故选B. (2)因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)， 所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故C正确； 因为f(x)的周期为4且为偶函数，所以y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．] 　轴对称的几种表述形式 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． [跟进训练] 1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(　　) A．29　 B．11　 C．3　 D．5 (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝________. (1)B　(2)1　[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称， 所以a＝4，f(6)＝3|6－4|＋2＝11.故选B. (2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)， 因为g(1＋x)－g(1－x) ＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1＋x－1＋e－1－x＋1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1－x－1＋e－1＋x＋1) ＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0， 所以y＝g(x＋1)是一个偶函数． 所以g(x)的图象关于直线x＝1轴对称. ] 考点二　中心对称问题 [典例2]　(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(1)＝0 C．f(0)＝0 D．f(－1)＝0 (2)(2025·济南模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1.若函数y＝f(x)与y＝图象的交点为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，则(xi＋yi)的值为(　　) A．0 B．n C．2n D．3n (1)BD　(2)C　[(1)因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)关于直线x＝2对称， 因为f(－3x＋1)为奇函数，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函数f(x)关于点(1,0)对称， 因为函数f(x)的定义域为R，所以f(1)＝0，B正确； 又因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0， 由f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，令x＝，可得f(－1)＝－f(3)＝0，D正确； 可构造函数f(x)＝cos满足题意，此时f(2)＝cos 0＝1，f(0)＝cos(－π)＝－1，AC错误．故选BD. (2)由对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1， 可知函数的图象关于点对称． 又y＝＝＝－－， 所以函数y＝图象的中心对称点为， 所以两个函数图象的交点成对出现， 且每对交点都关于点对称， 则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－×2＝－1， 所以(xi＋yi)＝5×＋(－1)×＝2n.故选C．] 　中心对称的几种表述形式 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． (2)双曲线型函数f(x)＝的图象的对称中心为. [跟进训练] 2．(1)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 (2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是(　　) A．f(x)＝2x2＋1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ D．f(x)＝ (1)D　(2)BCD　[(1)因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数． (2)对于A，由二次函数的性质可知， 函数f(x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误； 对于B，函数f(x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确； 对于C，f(x)＝＝＝2＋， 所以f(x)＝的图象可以由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，且反比例函数y＝的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝的图象关于点(1,2)对称，故C正确； 对于D，函数的定义域为R，且f(0)＝0， 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)， 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确． 故选BCD.] 考点三　两函数图象间的对称问题 [典例3]　(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 (2)(多选)函数f(x)＝sin x与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线的方程可以是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ (1)A　(2)AD　[(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)设这条直线的方程是x＝a， 因为函数f(x)＝sin x与g(x)＝cos x的图象关于直线x＝a对称， 所以sin(2a－x)＝cos x， 即cos＝cos x， 所以－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，解得a＝－kπ，k∈Z.当k＝0时，a＝； 当k＝2时，a＝－.故选AD.] 　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． [跟进训练] 3．设函数y＝f(x)与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f(3)＋f(9)＝1，则实数m的值为　　　　. 1　[因为函数y＝f(x)与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，所以x＝log3y－m， 所以f(x)＝log3x－m， 所以f(3)＋f(9)＝1－m＋2－m＝1， 所以m＝1.] 课时分层作业(九) (本试卷共92分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f(2－x)＝f(2＋x)，则实数a等于(　　) A．4　　 B．－4　　 C．　　 D．－ B　[因为f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，所以a＝－4.故选B.] 2．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) B　[y＝ln x的图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B.] 3．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ C　[f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确； f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故BD错误． 故选C．] 4．函数y＝f(x)是定义在R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象(　　) A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5,0)对称 D．关于点(1,0)对称 C　[由复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象关于点，即点(5,0)中心对称．故选C．] 5．(2025·德州模拟)设函数f(x)＝ax3－x－3＋a，若函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　[因为函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝a(－x)3－(－x)－3＋a＋ax3－x－3＋a＝2a＝0，所以a＝0.故选B.] 6．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，3]上单调递增，且f(x＋3)为偶函数，则不等式f(x＋1)>f(2x)的解集为(　　) A． B．(－∞，1)∪ C．(－3，－2) D．(－∞，－3)∪(－2，＋∞) B　[由题意可得，f(x)图象的对称轴为直线x＝3，且在[3，＋∞)上单调递减，由f(x＋1)>f(2x)，可得出|x＋1－3|<|2x－3|，即(x－2)2<(2x－3)2， 即3x2－8x＋5＝(3x－5)(x－1)>0，解得x<1或x>. 所以，不等式f(x＋1)>f(2x)的解集为(－∞，1)∪. 故选B.] 7．定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0 C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1 A　[函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)， f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确．故选A．] 8．已知函数y＝f(x＋1)－2是奇函数，函数g(x)＝与f(x)的图象有4个公共点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3,4)，且x1＜x2＜x3＜x4，则g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[由函数y＝f(x＋1)－2是奇函数，其图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1,2)对称． 由g(x)＝＝2＋，可得g(x)的图象是由奇函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以g(x)的图象关于点(1,2)对称， 所以P1，P4与P2，P3都关于点(1,2)对称， 所以x1＋x4＝x2＋x3＝2，y1＋y4＝y2＋y3＝4， 所以g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝g(4)g(8)＝×＝5. 故选D.] 二、多项选择题 9．(2025·淄博模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称 BC　[因为f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，A错误； 因为函数y＝f(2－x)是偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 且f(2－x)＝－f(x)，即f(2－x)＋f(x)＝0，函数f(x)图象关于点(1,0)对称，B正确； 由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，C正确； 由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，由f(2－x)＝f(2＋x)，得f(3－x)＝f(1＋x)， 因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，D错误．故选BC．] 10．(2025·日照模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x)不是常数函数，设F(x)＝f(1－x)－1，已知函数g(x)＝f(x＋1)－1是奇函数，则(　　) A．y＝f(x)的图象关于点(1,1)对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．F(x)＝f(1－x)－1是奇函数 D．F(x)的图象与g(x)的图象关于原点对称 ABC　[对于A选项，因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，又g(x)＝f(x＋1)－1，所以f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2， 所以y＝f(x)的图象关于(1,1)对称，故A正确； 对于B选项，因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)， 由A选项知f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则f(x)＋f(2－x)＝2， 所以f(x)＋f(x－2)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2， 所以f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正确； 对于C选项，因为F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1. 由A选项知f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则F(x)＋F(－x)＝0，所以f(x)是奇函数，故C正确； 对于D选项，因为F(x)＝f(1－x)－1，所以F(－x)＝f(1＋x)－1＝g(x)，所以F(x)的图象与g(x)的图象关于y轴对称， 又F(x)不是常函数，则F(x)的图象与g(x)的图象不关于原点对称，故D错误． 故选ABC．] 三、填空题 11．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________. 1　[f(x)＝＝a＋，图象关于点(1，a)对称，故a＝1.] 12．(2025·威海模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝___________________. ①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减． 2sin(答案不唯一)　[对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称． 对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称． 设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝. 又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数在上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ， k∈Z.] 13．已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，且满足f(x)－f(2－x)＝0，则(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,1)对称 B．函数f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称 D．函数f′(x)的图象关于点(1,0)对称 D　[由f(x)－f(2－x)＝0，可知函数f(x)的图象关于直线x＝＝1对称．对f(x)－f(2－x)＝0求导，得f′(x)＋f′(2－x)＝0，则函数f′(x)的图象关于点(1,0)对称，所以ABC错误，D正确．故选D.] 14．已知函数f(x)＝2|x－1|＋(x－1)2，若f(log3a)＞f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．∪(9，＋∞) B．(－∞，1)∪(9，＋∞) C．∪(9，＋∞) D．(0,1)∪(9，＋∞) D　[由f(x)＝2|x－1|＋(x－1)2可得f(x＋1)＝2|x|＋x2，则f(－x＋1)＝2|－x|＋(－x)2＝2|x|＋x2＝f(x＋1)， 所以函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． 又当x≥1时，f(x)＝2x－1＋(x－1)2在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，若f(log3a)＞f(2)， 则f(|log3a－1|)＞f(|2－1|)， 即|log3a－1|＞1，所以log3a＞2或log3a＜0，解得a＞9或0＜a＜1， 所以实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．故选D.] 15．已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)－2为奇函数，且f(1－x)＝f(3＋x)，则f(2 023)＝________. 2　[因为f(x＋1)－2为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称． 又f(1－x)＝f(3＋x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，易知f(x)是周期函数，且周期T＝4，所以f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(1)＝2.] 16．(15分)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x＋1. (1)求f(x)，g(x)，并证明f(2x)＝[g(x)]2＋2； (2)求函数f(x)＝f(2x)－2g(x)，x∈[－1,1]的最小值． 解：(1)f(x)＋g(x)＝2x＋1①， 所以f(－x)＋g(－x)＝2－x＋1. 又因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， 所以f(x)－g(x)＝2－x＋1②. 由①②，得f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝2x－2－x， 所以f(2x)＝22x＋2－2x，[g(x)]2＋2＝(2x－2－x)2＋2＝22x＋2－2x，所以f(2x)＝[g(x)]2＋2. (2)由(1)知f(x)＝[g(x)]2－2g(x)＋2，x∈[－1，1]， 又g(x)＝2x－2－x在[－1,1]上单调递增， 所以当x∈[－1,1]时，－≤g(x)≤， 所以当g(x)＝1时，f(x)min＝1，所以当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$