08 第二章 第2课时 函数的单调性与最值-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第2课时　函数的单调性与最值 [考试要求]　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f(x)≤M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M ①∀x∈D，都有f(x)≥M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同， 若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) (2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，那么这个函数在定义域上是增函数．(×) (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到．(√) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是(C) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1,3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3 D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时，－1<t<2 2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________. 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.] 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. (－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.] 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________. －　－2　[可判断函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－2.] 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 　图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1]　(1)函数f(x)＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．　　　　　　 B． C．(－2,3) D． (2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________. (1)A　(2)(－∞，－1]和[0,1]　[(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f(x)的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知，本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为.故选A． (2)f(x)＝＝ 画出函数图象如图所示， 可知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]．] [拓展变式]　本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是________. [1－，1]，[1＋，＋∞)　[作出函数的图象如图所示，由图象知，其单调递增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞)． 　] 　定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 解：法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a＝.由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：f′(x) ＝ ＝＝－. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集． [跟进训练] 1．(1)函数f(x)＝3－x2－2x的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) (2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| (1)B　(2)C　[(1)f(x)＝3－x2－2x分解为y＝3u和u＝－x2－2x两个函数，y＝3u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数f(x)＝3－x2－2x在(－∞，－1]上单调递增． (2)对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D，f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．] 考点二　函数单调性的应用 　比较函数值的大小 [典例3]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c D　[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c.] 　解抽象不等式 [典例4]　(2025·青岛模拟)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，所以2x－1≥0且2x－1＜，所以x≥且x＜，所以≤x＜.故选D.] 　求参数的取值范围 [典例5]　(1)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) (1)D　(2)B　[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D. (2)因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 所以需满足解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1,0]．故选B.] 　函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性可以直接构建参数满足的方程(组)(或不等式(组))，也可以先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式． [跟进训练] 2．(1)(多选)已知函数f(x)，∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　) A．f(0)＞f(－3) B．∀x∈R，f(x)≤f(－1) C．f(a2－a＋1)≥f D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2 (2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) (1)AB　(2)D　[(1)由函数f(x)满足f(－2－x)＝f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．对于选项A，因为|－3－(－1)|＞|0－(－1)|，所以f(0)＞f(－3)，故A正确；对于选项B，由已知可得f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，即f(x)max＝f(－1)，故B正确；对于选项C，a2－a＋1＝2＋≥，又f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，所以f(a2－a＋1)≤f，故C错误；对于选项D，若f(m)＜f(2)，则|m－(－1)|＞|2－(－1)|，则m＜－4或m＞2，故D错误．故选AB. (2)因为函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 所以函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.] 考点三　求函数的值域或最值 [典例6]　(1)(2025·滨州模拟)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1,2,3}＝3，若函数f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f(x)的最小值为(　　) A．2.5 B．3 C．4 D．5 (2)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2] (1)B　(2)D　[(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，所以f(x)的图象如图实线所示， 由x＜0，可得A(－1,3)；由x＞0，可得B. 由图知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当x＝－1时，y＝3， 当x＝时，y＝＞3， 所以f(x)的最小值为3.故选B. (2)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a. 因为f(x)的最小值为f(0)，所以当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2. 又a≥0，得0≤a≤2.故选D.] 　求函数最值的五种常用方法 [跟进训练] 3．(1)函数y＝1＋x－的值域为(　　) A． B． C． D． (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2.已知f(x)＝，x∈，则函数f(x)的值域为________. (1)B　(2){4,5,6,7,8}　[(1)法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2.因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－的值域为. 法二：因为y＝1＋x－在定义域上单调递增，所以y＝1＋x－的值域为. (2)易知y＝x＋，x∈在上单调递减，在[2,6)上单调递增． 当x＝2时，y＝x＋＝4； 当x＝时，y＝x＋＝＋8； 当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f(x)的值域为{4,5,6,7,8}．] 课时分层作业(七) (本试卷共97分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝－|x|　　　 B．y＝x2－2x C．y＝sin x D．y＝x－ D　[当x＞0时， y＝－|x|＝－x单调递减，A不符合题意； y＝x2－2x不具有单调性，B不符合题意； y＝sin x不具有单调性，C不符合题意； y＝x－单调递增，D符合题意．故选D.] 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A．　 B．－ 　 C．－2　 D．2 A　[函数f(x)＝－x＋在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在上的最大值为f(－2)＝2－＝.故选A．] 3．(2025·青岛模拟)设a∈R，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则(　　) A．f(a2＋a＋2)＞f B．f(a2＋a＋2)＜f C．f(a2＋a＋2)≥f D．f(a2＋a＋2)≤f C　[因为a2＋a＋2＝2＋≥，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(a2＋a＋2)≥f.故选C．] 4．函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是(　　) A． B． C． D．(0，＋∞) A　[由4x2－1＞0，可得x＜－或x＞， 所以函数f(x)＝ln(4x2－1)的定义域为∪. 又y＝4x2－1在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是.故选A．] 5．已知定义在[－1,3]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[－1,3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，则不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为(　　) A．(－∞，0] B．[0,1] C．[－1,0] D．[0，＋∞) B　[因为对于任意的x1，x2∈[－1,3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0， 所以x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在[－1,3]上单调递减， 所以由f(1－2x)≥f(x＋1)，得解得0≤x≤1， 所以不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为[0,1]．故选B.] 6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 A　[不妨令x1<x2，所以x1－x2<0. 因为>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2. 令g(x)＝f(x)＋x， 所以g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数．] 二、多项选择题 7．(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞) B．f(x)在[－1,0]上的值域为[2－a,1] C．若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则a＜1 D．若a＞1，则f(x)在定义域上单调递增 AC　[对于A，由x＋2≠0，得x≠－2，则f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，A正确． 对于B，f(x)＝＝a＋， 由x∈[－1,0]，可得x＋2∈[1,2]，则∈， 当a＝1时，f(x)＝a，即f(x)在[－1,0]上的值域为{1}； 当a＜1时，∈[1－a,2－2a]，a＋∈[1,2－a]， 即f(x)在[－1,0]上的值域为[1,2－a]； 当a＞1时，∈[2－2a,1－a]，a＋∈[2－a,1]， 即f(x)在[－1,0]上的值域为[2－a,1]． 综上，当a＝1时，f(x)在[－1,0]上的值域为{1}； 当a＜1时，f(x)在[－1,0]上的值域为[1,2－a]； 当a＞1时，f(x)在[－1,0]上的值域为[2－a,1]，B错误． 对于C，f(x)＝＝a＋， 若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则2－2a＞0，解得a＜1，C正确． 对于D，f(x)＝＝a＋， 则a＞1时，f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增，D错误．故选AC．] 8．已知函数f(x)＝则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)＞f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2] BC　[易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增，但在R上不是增函数，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．] 三、填空题 9．(2023·上海高考)已知函数f(x)＝则f(x)的值域为________. [1，＋∞)　[当x>0时，f(x)＝2x单调递增，f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝1.故f(x)的值域为[1，＋∞)．] 10．已知函数f(x)＝若对任意x1≠x2，都有＞0，则实数a的取值范围是________. (1,2]　[因为对任意x1≠x2，都有＞0，所以函数f(x)在定义域内单调递增．因为f(x)＝所以 解得1＜a≤2.] 点拨：分段函数在R上具有单调性，注意衔接点处建立不等式． 四、解答题 11．(15分)已知函数f(x)＝(a＞0)． (1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f(x)的单调性，并证明； (2)当x∈(0,1]时，f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f(x)的最小值． 解：(1)f(x)单调递增．证明如下：a＝2时，f(x)＝x＋＋2， x≥1时，f′(x)＝1－＞0， 所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增． (2)因为f(x)＝x＋＋2，所以f′(x)＝1－. 因为当x∈(0,1]时，f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f′(1)＝1－＝0，所以a＝1. 因为f(x)＝x＋＋2在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，f(x)取最小值4. 12．(15分)函数f(x)＝m＋logax(a>0，a≠1)的图象过点(9,4)和(1,2)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当f(x)的定义域为[1,81]时，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最小值与最大值． 解：(1)由题意得解得所以f(x)＝2＋log3x(x>0)． (2)由题意得解得1≤x≤9，故y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,9]，y＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6.令log3x＝t∈[0,2]，则g(t)＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3，所以当t∈[0,2]时，g(t)单调递增，所以g(t)min＝g(0)＝6，g(t)max＝g(2)＝22. 故y＝[f(x)]2＋f(x2)在[1,81]上的最大值为22，最小值为6. 13．(15分)(2025·泰安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1. 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>－1. 又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5. 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)， 因为函数f(x)在R上是增函数， 所以x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1， 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． 点拨：抽象函数证明单调性，利用定义法． 学科网（北京）股份有限公司 $$