07 第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第二章　函数的概念与性质 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应 关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法. 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为； 当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(×) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×) (3)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(×) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．16　 　 B．4　　 C．5　　 D．－4 A　[f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A．] 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　) B　[函数f(x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P72习题3.1 T2改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝x与g(x)＝ AC　[f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．] 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为_______________________________；若f(a)＝2，则a的值为________. (－∞，0)∪(0，＋∞)　 1　[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， 故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1.] 考点一　求函数的定义域 [典例1]　(1)(2025·日照模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1,5]　　　　　　 B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3] (2)函数y＝lg(1＋tan πx)＋的定义域为________. (1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，函数y＝＋(x－2)0有意义， 所以解得1<x<2或2<x≤3， 所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1,2)∪(2,3]．故选C． (2)由题意得解得－<x<.] 　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出使解析式有意义的不等式(组)，求解． (2)求抽象函数的定义域： ①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域． ②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域． [跟进训练] 1．(1)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A． B．[－1,4] C．[－5,5] D．[－3,7] (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)D　[(1)因为函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2,3]， 所以x∈[－2,3]，则x＋1∈[－1,4]， 即函数f(x)的定义域为[－1,4]， 所以－1≤2x－1≤4，得0≤x≤， 所以函数y＝f(2x－1)的定义域为.故选A． (2)由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R. 当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意； 当a≠0时，解得0<a<. 综上，实数a的取值范围是.] 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t. 因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)(配凑法)因为f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，当x＞0时， t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号， 当x＜0时，t＝－≤－2， 当且仅当x＝－1时取等号， 所以f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 所以f(x)＝x2－2, x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， 所以 即 所以f(x)＝x2－x＋2. (4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)． [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________. (2)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________. (3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________. (1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－　(3)4x＋1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)因为f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， 所以f(x)＝－x－. (3)因为f(x)为单调递增的一次函数，所以设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1.] 考点三　分段函数 　求值问题 [典例3]　(1)已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝(　　) A．－6　 　 B．0 C．4　　 D．6 (2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝　　　. (1)A　(2)2　[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6， 所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故选A． (2)因为>2，所以f()＝6－4＝2， 所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.] 　解方程或不等式 [典例4]　(1)(2025·烟台模拟)函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 (2)已知函数f(x)＝则f(x)＜f(x＋1)的解集为________. (1)D　(2)　[(1)由分段函数的定义知，f(x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0. ①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝，解得a＝， 所以f＝f(4)＝8. ②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D. (2)由题意知，当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0. 当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0. 所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)． 当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)⇔log2x＜log2(x＋1)恒成立． 综上可知，f(x)＜f(x＋1)的解集为.] 　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 (2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________. (1)D　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) [(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0，即f(a)＝0时，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2； 当t＝1，即f(a)＝1时，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1. 综上所述，a＝－2或－1. (2)若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则或 解得－3≤a<－1或a≥4， 所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] 课时分层作业(六) (本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．(－∞，1] C．∪ D．∪ D　[由题意可得解得x<1且x≠，即函数f(x)的定义域为∪.故选D.] 2．已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．　 B．1 C．－1　 D．2 C　[由条件可得f＝－sin＝，则f＝f＝log2＝－1.故选C．] 3．(2025·济宁模拟)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝2lg x，g(x)＝lg x2 C．f(x)＝|x|，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝x C　[A选项，f(x)＝x的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； B选项，f(x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； C选项，g(x)＝＝|x|＝f(x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数； D选项，f(x)＝x的定义域是R，g(x)＝x的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数．故选C．] 4．下列四个函数，定义域和值域不相同的是(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝ C．y＝ln|x| D．y＝ C　[对于选项A，函数的定义域和值域都是R； 对于选项B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R； 对于选项C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R； 对于选项D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选C．] 5．(2025·潍坊模拟)已知A＝B＝R，y＝x2－2x－2是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) D．[－3，＋∞) C　[A＝B＝R，y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3∈[－3，＋∞)是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，故k不在函数的值域之内，所以k＜－3.故选C．] 6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30 s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) A　[水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合．] 7．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足：2f(x)－f(－x)＝4x＋1，则函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1 A　[由2f(x)－f(－x)＝4x＋1①， 可得2f(－x)－f(x)＝－4x＋1②， ①×2＋②，得3f(x)＝4x＋3， 即f(x)＝x＋1. 故选A．] 8．设函数f(x)＝则不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) D　[因为f(x)＝ 所以函数f(x)的图象如图所示． 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x. 此时x≤－1. 当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)． 此时－1＜x＜0. 综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．] 二、多项选择题 9．(2025·菏泽模拟)已知函数f(＋1)＝2x＋－1，则(　　) A．f(3)＝9 B．f(x)＝2x2－3x(x≥0) C．f(x)的最小值为－1 D．f(x)的图象与x轴只有1个交点 ACD　[令t＝＋1≥1，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f(＋1)＝f(t)＝2t2－3t， 故f(x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f(3)＝9，A正确，B错误． f(x)＝2x2－3x＝22－，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD.] 10．已知函数f(x)＝ 关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(f(－2))＝0 B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(x)<1的解集为(－1,1) D．若f(x)＝3，则x的值是 ABD　[函数f(x)＝的图象如图所示： 易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正确； f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f(x)<1，解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)，故C错误；f(x)＝3，即 解得x＝，故D正确．故选ABD.] 三、填空题 11．已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，则y＝的定义域为________. [－2，－1)　[因为f(x)的定义域为[－1,1]，所以函数y＝的x需满足解得x∈[－2，－1)．] 12．在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0，1)三点，请写出2个函数关系式，使函数图象经过A，B，C三点：________，________. y＝1－　y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2,0)，B(2,0)关于y轴对称，且C(0,1)在y轴上． ①可设y＝k＋m， 则解得故y＝1－. ②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则解得 故y＝1－.] 13．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f(x)值域的是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 C　[由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝ 所以f(1)＝12－1＝0，f()＝()2＝2，f()＝()2＝3，而f(x)＝1无解．故选C．] 14．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 B　[因为当x<3时，f(x)＝x， 所以f(1)＝1，f(2)＝2. 又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3. 得f(3)>f(2)＋f(1)＝3. 令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>5，依次类推得 f(5)>f(4)＋f(3)>8， f(6)>f(5)＋f(4)>13， f(7)>f(6)＋f(5)>21， f(8)>f(7)＋f(6)>34， f(9)>f(8)＋f(7)>55， f(10)>f(9)＋f(8)>89， f(11)>f(10)＋f(9)>144， f(12)>f(11)＋f(10)>233， f(13)>f(12)＋f(11)>377， f(14)>f(13)＋f(12)>610， f(15)>f(14)＋f(13)>987， f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000， 所以依次下去可知f(20)>1 000，故B正确，且无法证明A，C，D一定正确．故选B.] 15．(多选)若函数f(x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f(x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0,2]交汇函数的是(　　) A．f(x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2] B．f(x)＝－＋2 C．f(x)＝－2x＋2 D．f(x)＝ ABD　[因为f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，x∈(－∞，2]， 所以f(x)的值域为[0，＋∞)，f(x)的定义域与值域的交集为[0,2]，A正确． f(x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0,2]，B正确． f(x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x＞0，所以f(x)＝－2x＋2＜2， 即f(x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)， 所以f(x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误． 因为方程3x2－4x＋2＝0无解，所以f(x)＝的定义域为R，当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0时，f(x)＝＝， 因为22＋1≥1，所以0＜f(x)≤2，所以f(x)的值域为[0,2]，f(x)的定义域与值域的交集为[0,2]，D正确．故选ABD.] 16．已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)＋y(y－2x＋1)，且f(－1)＝3，则函数f(x)的解析式为______________________． f(x)＝x2－x＋1　[令x－y＝－1，则y＝x＋1，所以由f(x－y)＝f(x)＋y(y－2x＋1)，可得f(－1)＝f(x)＋(x＋1)(x＋1－2x＋1)．因为f(－1)＝3，所以f(x)＝－(x＋1)(2－x)＋3＝x2－x＋1.] 学科网（北京）股份有限公司 $$