04 第一章 第4课时 基本不等式-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第4课时　基本不等式 [考试要求]　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)xy≤2，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． [常用结论] 几个重要的不等式 当且仅当a＝b时等号成立． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(×) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×) (3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.(×) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(×) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　 B．77　　 C．81　　 D．82 C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．] 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 D　[因为x>2，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．＋≥2 B．ab≤ C．≥2 D．≤ BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．] 4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大． 15　　[设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·2y≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．] 考点一　利用基本不等式求最值 　配凑法 [典例1]　(1)若x<，则函数f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0　　　　 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 (2)函数y＝(x>1)的最小值为________. (1)C　(2)2＋2　[(1)因为x<，故3x－2<0，f(x)＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－3， 当且仅当－(3x－2)＝，即x＝－时取等号．故选C． (2)因为x>1，所以x－1>0，则 y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．] 　常数代换法 [典例2]　已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为________；＋的最小值为________. 9　3　[由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当4x2＝y2，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为9.＋＝＋＝1＋＋，又x＞0，y＞0，所以＋≥2＝2，所以＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为3.] 　消元法 [典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_______. 6　[法一(换元消元法)： 由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x>0，y>0， 所以x＋3y≥2， 所以3xy≤2， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， 所以x＋3y＋2≥9， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)： 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立， 所以x＋3y的最小值为6.] 　1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等． 2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值． 3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解． [跟进训练] 1．(1)(多选)下列函数中，函数的最小值为4的是(　　) A．y＝x(4－x) B．y＝ C．y＝＋(0＜x＜1) D．y＝ (2)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4　　 B．5　　　 C．7　　　 D．9 (3)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________. (1)CD　(2)C　(3)4　[(1)y＝x(4－x)≤2＝4，A错误； y＝＝＋，而＝无解，B错误； 因为x(1－x)≤2＝， 所以y＝＋＝≥4， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号，C正确；y＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝2时取等号，D正确．故选CD. (2)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C． (3)令x－1＝m,2y－1＝n， 则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1， 所以＋＝＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即m＝n＝，x＝，y＝时取“＝”． 所以＋的最小值为4.] 考点二　基本不等式的常见变形应用 [典例4]　(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　) A．≤2 B．＋≤2 C．＋b2≥4 D．＋≥1 ACD　[对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2，即≤＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确； 对于B，a＞0，b＞0，(＋)2＝a＋b＋2＝4＋2≤4＋2×2＝8， 又＋＞0，则＋≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误； 对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4， 则＋b2＝＋(4－a)2＝－8a＋16＝(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确； 对于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以＝1， 则＋＝·＝×≥×＝1， 当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确． 故选ACD.] 　基本不等式的常见变形 (1)ab≤2≤(a∈R，b∈R)． (2)≤≤≤(a>0，b>0)． [跟进训练] 2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 (2)当＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________. (1)BC　(2)2　[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝，所以(x＋y)2≤4， 所以－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，所以x2＋y2≤2，故C正确； 对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误．故选BC． (2)由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2， 当且仅当＝，即x＝时等号成立．] 考点三　基本不等式的实际应用 [典例5]　(2025·泰安模拟)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2. (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价． 解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m， 则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32,10≤x≤20. (2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S ＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200 ＝3 200x＋＋363 200,10≤x≤20， 其中3 200x＋≥2＝96 000， 当且仅当3 200x＝，即x＝15∈[10,20]时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200， 所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元． 　利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋(a＞0)的单调性． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件． [跟进训练] 3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　) A．135 B．149 C．165 D．195 (2)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10 km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为(　　) A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km (1)B　(2)B　[(1)由题意得， N＝＝≤ ≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路1 h“道路容量”的最大值约为149.故选B. (2)设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2， 由题意可设y1＝，y2＝k2x， 把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝，所以y1＝，y2＝x，费用之和y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8， 当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 所以当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小．故选B.] 课时分层作业(四) (本试卷共82分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．3 B　[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立，所以ab的最大值为.故选B.] 2．已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 B　[因为0<x<2， 所以y＝2x＝2≤2＝4， 当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝.故选B.] 3．(2025·德州模拟)若正数x，y满足x＋6y＝3，则＋的最小值为(　　) A．4 B． C．2 D．2 A　[因为x，y为正数，x＋6y＝3， 所以＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝4， 即＋的最小值为4.故选A．] 4．下列函数中，函数的最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) C　[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝＝＋＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．故选C．] 5．现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝， 则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2＝2≥2×2＝8，当且仅当a＋1＝，即a＝1，b＝3时，取得等号，此时S＝ab＝3.故选A．] 6．(2025·菏泽模拟)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于点D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) D　[由题意及题图得OD＝，OC＝，CD＝＝，而CD≥OD(C，O重合时取等号)，所以有≥(a>0，b>0)．故选D.] 二、多项选择题 7．下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则≥4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0,1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1 ≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确； 对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤2，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D，＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立，故D正确．] 8．已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则(　　) A．xy≤ B．4x＋2y≥4 C．x2＋≤ D．＋≥＋ ABD　[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确； 由不等式≥，得≥，所以4x2＋y2≥，即x2＋≥，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误； 因为2x＋y＝3，所以＋＝＋(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD.] 三、填空题 9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________；a＋b的取值范围为________. [9，＋∞)　[6，＋∞)　[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤2， 变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．] 10．在实数集R中定义一种运算Θ，满足下列性质： ①对任意的m∈R，mΘ0＝m； ②对任意的m，n∈R，mΘn＝nΘm； ③对任意的m，n，t∈R，(mΘn)Θt＝[tΘ(m·n)]＋(nΘt)＋(mΘt)－2. 则3Θ4＝______，函数f(x)＝exΘ的最小值为______. 17　6　[根据定义可得 3Θ4＝(3Θ4)Θ0＝0Θ12＋3Θ0＋4Θ0－2＝12＋3＋4－2＝17； f(x)＝exΘ＝Θ0＝0Θ4＋exΘ0＋Θ0－2＝4＋ex＋－2＝ex＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6，当且仅当x＝ln 2时，等号成立，即所求的最小值为6.] 四、解答题 11． (15分)某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 解：设直角梯形的高为x cm， 因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， 所以海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝cm， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)·＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． 所以当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 12．(15分)某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面积为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无须建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3≤x≤6)． (1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 解：(1)设甲工程队的总报价为y元， 则y＝3＋14 400 ＝1 800＋14 400≥1 800×2＋14 400＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时等号成立． 故当左、右两面墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元． (2)由题意可得1 800＋14 400>，x∈[3,6]恒成立，故＞， 从而>a恒成立， 令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]． 令g(t)＝t＋＋6，则g(t)在t∈[4,7]上单调递增，故g(t)min＝12.25. 所以a的取值范围为(0,12.25)． 点拨：当f(x)＝x＋(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $$