03 第一章 第3课时 不等式的性质-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第3课时　不等式的性质 [考试要求]　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．比较实数a，b大小的基本事实 作差法 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． [常用结论] 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2. (×) (2)若>1，则b>a.(×) (3)若>，则b<a.(×) (4)若a<b<0，则<(n∈N*). (√) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　) A．M＞N　　　　　 B．M≥N C．M＜N D．M≤N A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A．] 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜.故选A．] 3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＜b，c＞d，那么a－c　＜　b－d； (2)如果a＜b＜0，那么　＜　； (3)如果c＞a＞b＞0，那么　>　. 4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是　　　　. (－6,5)　[因为－3<b<5，所以－5<－b<3， 又－1<a<2，所以－6<a－b<5.] 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q (2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．不能确定 (1)B　(2)C　[(1)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 又(b－a)2≥0，所以p－q≤0. 综上，p≤q.故选B. (2)P，Q作商可得＝＝，令f(x)＝， 则f′(x)＝ ，当x>1时，f′(x)>0 ，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以<， 又>0，>0，所以＝<1， 所以P<Q.故选C．] 　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． [跟进训练] 1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N　　　　　 B．M＝N C．M<N D．不确定 (2)(2025·济南模拟)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________. (1)A　(2)aabb>abba　[(1)因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，a≠b， 所以(a－b)2>0，即M>N.故选A． (2)因为＝＝a－b，a>b>0， 所以>1，a－b>0， 所以a－b>1，即>1， 又abba>0，所以aabb>abba.] 考点二　不等式的性质 [典例2]　(1)若a>0>b，则(　　) A．a3>b3 B．|a|>|b| C．< D．ln(a－b)>0 (2)下列说法正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> (1)A　(2)D　[(1)因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确； 取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，故B错误； 取a＝1，b＝－2，则<不成立，故C错误； 取a＝，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误．故选A． (2)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误； 对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误； 对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0， 所以－＝＝>0，即>，故D正确．故选D.] 　判断不等式正误的常用方法 (1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件． (2)利用特殊值法排除错误不等式． (3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． [跟进训练] 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 AC　[由<<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，故有<，故A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．故选AC．] 考点三　不等式性质的应用 [典例3]　(多选)已知－2<a＋b<4,2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　) A．0<a<4 B．0<b<2 C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8 BD　[对于A，因为－2<a＋b<4,2<2a－b<8，所以－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，所以0<3a<12，所以0<a<4，故A正确； 对于B，因为2<2a－b<8， 所以－8<b－2a<－2， 因为－2<a＋b<4，所以－4<2a＋2b<8， 因为 所以－12<3b<6， 所以－4<b<2，故B错误； 对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b， 所以所以 所以a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)， 因为－2<a＋b<4，所以－<(a＋b)<，因为2<2a－b<8，所以－<－(2a－b)<－， 所以－6<a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)<6，故C正确、D错误．故选BD.] 　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围． 提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． [跟进训练] 3．(多选)已知6＜a＜60,15＜b＜18，则下列结论正确的是(　　) A．∈ B．a＋b∈(21,78) C．a－b∈(－9,42) D．∈ AB　[因为6＜a＜60,15＜b＜18，所以＜＜，－18＜－b＜－15，所以＜＜，6＋15＜a＋b＜60＋18,6－18＜a－b＜60－15，即＜＜4,21＜a＋b＜78，－12＜a－b＜45.于是＝＋1∈.故A，B正确，C，D错误．] 课时分层作业(三) (本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．若a<b<0，c>d>0，则一定有(　　) A．>　　　　 　 B．< C．> D．< D　[由于c>d>0，则>>0. 又a<b<0，所以－a>－b>0， 故－>－>0，所以<.故选D.] 2．(2025·临沂模拟)设a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 D　[充分性：若0<ab<1，则当a<0时，0>b>，所以b<不成立；必要性：若b<，则当a<0时，ab>1，所以0<ab<1不成立．故选D.] 3．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.1]＝3，[－2.1]＝－3，那么“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若|x－y|<1，则取x＝0.5，y＝1.2，满足|x－y|<1，此时[x]＝0，[y]＝1，所以|x－y|<1⇒/ [x]＝[y]，充分性不成立；若[x]＝[y]，设[x]＝[y]＝a，则a≤x<a＋1，a≤y<a＋1，所以－a－1<－y≤－a，所以－1<x－y<1，所以|x－y|<1，所以[x]＝[y]⇒|x－y|<1，必要性成立．所以“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件．故选B.] 4．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a B　[因为(＋)2－(＋)2＝9＋2－9－2<0，所以＋<＋，所以－<－，即b<c.又a－c＝2－＝－>0，故a>c.综上，a>c>b.故选B.] 5．已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　) A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c) C．> D．(a－c)3>(b－c)3 D　[因为a>b>c>0，所以2a>b＋c，故A错误； 取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误； 由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0， 所以<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．故选D.] 6．eπ·πe与ee·ππ的大小关系正确的为(　　) A．eπ·πe>ee·ππ　　　 B．eπ·πe＝ee·ππ C．eπ·πe<ee·ππ D．不能确定 C　[＝＝π－e， 又0<<1,0<π－e<1，所以0＜π－e<1，即0<<1，即eπ·πe<ee·ππ.故选C．] 7．已知1≤a－b≤3,3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为(　　) A．[15,31] B．[14,35] C．[12,30] D．[11,27] D　[因为1≤a－b≤3,3≤a＋b≤7， 所以2≤2(a－b)≤6,9≤3(a＋b)≤21， 则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11,27]．故选D.] 8．(2025·日照模拟)若a<b<0，c>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．< B．a－<b－ C．ln(b－a)>0 D．c>c D　[对于A，－＝，因为a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即>0，所以>，故A错误；对于B，a－－＝a－b＋－＝(a－b)·，因为a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判断ab与1之间的关系，故B错误；对于C，因为b－a>0，所以ln(b－a)的取值范围为R，故C错误；对于D，因为a<b<0，所以>0，>0，因为 －＝>0，所以>，又因为c>0，所以y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以c>c，故D正确．故选D.] 二、多项选择题 9．已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若b<a<0，则bc2<ac2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> BD　[对于A，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A错误； 对于B，－＝，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0， 所以－＝<0，即<，故B正确； 对于C，－＝，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0， 所以－＝<0，即<，故C错误； 对于D，因为－＝＝，又因为a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以>0，即>，故D正确．故选BD.] 10．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．x的取值范围为(－1,2) B．y的取值范围为(－2,1) C．x＋y的取值范围为(－3,3) D．x－y的取值范围为(－1,3) ABD　[因为－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，又因为－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，则－1<x<2，故A正确； 因为－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4，又因为－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正确； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4， 所以－<(x＋2y)<，－<(2x－y)<，因为x＋y＝(x＋2y)＋(2x－y)，则－2<x＋y<2，故C错误； 因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4， 所以－<－(x＋2y)<，－<(2x－y)<，因为x－y＝－(x＋2y)＋(2x－y)，则－1<x－y<3，故D正确．故选ABD.] 三、填空题 11．已知某商品的原价为a元，由于市场原因，先降价p%(0<p<100)出售，一段时间后，再提价p%出售，则该商品提价后的售价______该商品的原价．(填“高于”“低于”或“等于”) 低于　[第一次降价后的售价为a(1－p%)元，第二次提价后的售价为a(1－p%)(1＋p%)元．因为0<p<100，所以0<p%<1，所以(1－p%)(1＋p%)＝1－(p%)2<1，所以a(1－p%)(1＋p%)<a，即该商品提价后的售价低于该商品的原价．] 12．(2025·烟台模拟)a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________.(只要写出适合条件的一组值即可) (2,1，－3，－2)(答案不唯一)　[根据不等式＞＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同号，c，d同号，＞＞0⇒－＞0⇒＞0，又ad＜bc⇒ad－bc＜0，由此可知b，d异号，由这些信息可写出适合条件的一组值，如(2,1，－3，－2)．] 13．某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑．若a≠b，则(　　) A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲、乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 A　[由题意可知对于选手甲，a＋b＝S，则T＝，设选手乙总共用时T′，则对于选手乙，＋＝T′，则T′＝，T－T′＝－＝＝＝<0，即T<T′，即甲先到达终点．故选A．] 14．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x<y，则下列结论正确的是(　　) A．3|x－y|>1 B．xy<y2 C．x|x|<y|y| D．－<ex－ey AC　[因为x<y，所以|x－y|>0，所以3|x－y|>1，则A正确；因为x<y，当y<0时，xy>y2，则B错误；令f(x)＝x|x|＝易知f(x)在R上单调递增，又x<y，所以f(x)<f(y)，即x|x|<y|y|，则C正确；对于D，若x＝－1，y＝1，则－＝－2>e－1－e＝ex－ey，则D错误．故选AC．] 15．已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________. 　[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，可得a>0, b＝－(a＋c)，所以a>－a－c>c，两边同除以a，得－2<<－.] 16．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是___________．(用“＞”连接) b>d>c>a　[由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及④式a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.] 学科网（北京）股份有限公司 $$