01 第一章 第1课时 集合-【名师导航】2026年高考数学一轮总复习讲义（人教A版）

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第1课时　集合 [考试要求]　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}. (×) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×) (4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．(×) 二、教材经典衍生 1. (人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2,3,4}的子集有(　　) A．4个　　 B．6个　　 C．8个　　 D．9个 C　[A＝{2,3,4}的子集个数为23＝8，故选C.] 2．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(ABC) A．1∈A B．{－1}⊆A C．∅⊆A D．{－1,1}∉A 3．(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　　 B．1　　　 C．　　　 D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0，当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1.故选B.] 4．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)·(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝______，(∁RA)∩B＝______. {x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或9≤x＜10}　[由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}， 可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 又由∁RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．] 考点一　集合的概念 [典例1]　(1)已知集合A＝{1,2,3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　) A．2　　 B．4　 　 C．6　　　 D．8 (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________. (1)C　(2)－　[(1)因为A＝{1,2,3}， 所以B＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，即B中含6个元素．故选C. (2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 则m＝1或m＝－. 当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.] 　解决集合含义问题的注意点 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [跟进训练] 1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1,2} D．{1,2,3} (2)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (1)A　(2)C　[(1)因为P＝{1,2}，Q＝{2,3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，所以M＝{1}．故选A. (2)因为∈Z，所以x－2的取值有－4，－2，－1，1,2,4，所以x的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6. 故集合A中有5个元素．] 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)设M＝，N＝，则(　　) A．MN B．NM C．M＝N D．M∩N＝∅ (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________. (1)B　(2)[－1，＋∞)　[(1)因为x＝k＋＝，k∈Z， 所以2k＋1为奇数，故NM.故选B. (2)①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，解得－1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] 　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，也就是“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． [跟进训练] 2．(1)(2025·菏泽模拟)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为(　　) A．2 B．3 C．7 D．8 (2)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________. (1)C　(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3,5}． 当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝3或＝5，得a＝或a＝. 综上，实数a的取值集合为， 所以实数a取值集合的真子集的个数为23－1＝7.故选C. (2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}， 若ACB，则可有C＝{x|1≤x≤4}．] 考点三　集合的基本运算 　集合的运算 [典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} (1)C　(2)D　[(1)因为x2－x－6≥0，所以(x－3)·(x＋2)≥0，所以x≥3或x≤－2，N＝{x|x≤－2，或x≥3}，则M∩N＝{－2}．故选C. (2)因为A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1,4,9,16,25,81}， 则A∩B＝{1,4,9}，∁A(A∩B)＝{2,3,5}．故选D.] 　利用集合的运算求参数 [典例4]　已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4] D　[由题可得，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图． 可知－≥2，即a≤－4.] 　解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． [跟进训练] 3．(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} (2)已知集合A＝{－2,0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为　　　　. (1)A　(2)5　[(1)因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1,0,2,3}，且1<<2，所以A∩B＝{－1，0}．故选A. (2)由A∩B＝A，则A⊆B. 由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有即 解得m≥5，故m的最小值为5.] 考点四　Venn图的应用及创新性问题 [典例5]　(1)如图所示，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A⊕B＝______________. (2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　　　　人． (1)[0,1]∪(2，＋∞)　(2)8　[(1)由题可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1,2]． 由题意得A⊕B＝∁A(A∩B)∪∁B(A∩B)＝[0,1]∪(2，＋∞)． (2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．] 　Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题． [跟进训练] 4．(1)已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则(　　) A．P∩Q＝R B．P⊆Q C．Q⊆P D．P∪Q＝R (2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，既阅读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为(　　) A．60　 　 B．70　 　 C．80　 　 D．90 (1)C　(2)B　[(1)如图所示，集合P，Q均为R的子集，且满足(∁RQ)∪P＝R，所以Q⊆P. (2)根据题意作出Venn图如下， 所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70. 故选B.] 课时分层作业(一) (本试卷共68分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．) 一、单项选择题 1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1}　　 B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} C　[由集合的运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．] 2．已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x为素数}，则A∩∁UB＝(　　) A．{4,6,8,10} B．{4,5,6,8,9} C．{2,4,6,8,10} D．{4,6,8,9,10} D　[由A∩∁UB，即为2≤x≤10，x∈N中不是素数的数组成的集合， 则A∩∁UB＝{4,6,8,9,10}．故选D.] 3．(2025·济南模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为(　　) A．8 B．7 C．4 D．3 B　[集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{x|(x－3)(x＋1)<0，x∈Z}＝{0,1,2}， 则集合M中元素个数为3，故集合M的真子集个数为23－1＝7.故选B.] 4．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则实数m＝(　　) A．2 B．1 C．1或2 D．0或1或2 D　[因为A＝{1,2}，B＝{x|mx－2＝0}， 若B⊆A，则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}， 当B＝∅时，m＝0， 当B＝{1}时，m＝2， 当B＝{2}时，m＝1.故选D.] 5．若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，则集合A∩B中的元素个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 C　[因为A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0,4)，(1,3)}，即集合A∩B中含有2个元素．故选C.] 6．(2025·菏泽模拟)若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B C　[因为A＝{x|y＝}＝[0，＋∞)， B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)， 所以B⊆A.故选C.] 二、多项选择题 7．已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　) A．{－1,1} B．{－1,1,2,4} C．{1} D．{1，－2,2} AC　[由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现， 所以－2∉M且2∉M， 所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}．] 8．若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M B．M∩P＝M C．N∪P＝P D．M∩∁PN＝∅ BC　[由M∩N＝N可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误； 由M⊆P可得M∩P＝M，故选项B正确； 因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确； 由N⊆M可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC.] 三、填空题 9．已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m＝________. 0或3　[因为A∪B＝A，所以B⊆A. 因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3. 当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意； 当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意． 综上，m＝0或3.] 10．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有________人． 120　[如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24. 不妨设总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z， 即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24， card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46. 由Venn图可知， n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.] 11．设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M且x∉P}，根据这一规定，M－(M－P)等于(　　) A．M B．P C．M∪P D．M∩P D　[由题意，M－(M－P)＝{x|x∈M且x∉(M－P)}，用venn图表示集合M，P的关系如图： 阴影部分表示M－P，所以M－(M－P)＝M∩P.故选D.] 12．(多选)(2025·日照模拟)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A.下列说法正确的有(　　) A．－1∉A B.∈A C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x－y∉A ABC　[对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，x＋y＝－2∈A， 令x＝－1，y＝1，则＝－1∈A，x＋y＝0∈A， 令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾， 所以－1∉A，故A正确； 对于B，由题，1∈A，则1＋1＝2∈A,2＋1＝3∈A，…，2 022∈A,2 023∈A， 所以∈A，故B正确； 对于C，因为1∈A，x∈A， 所以∈A， 因为y∈A，∈A，所以＝xy∈A，故C正确； 对于D，因为1∈A,2∈A， 若x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故D错误．故选ABC.] 13．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A，B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集U＝{x|1<log2(x＋1)≤3，x∈N}，A＝{x|x2－7x＋10<0，x∈N}，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 B　[结合题意，因为1<log2(x＋1)≤3，所以log22<log2(x＋1)≤log28， 解得2<x＋1≤8，即1<x≤7，所以全集U＝{x|1<log2(x＋1)≤3，x∈N}＝{2,3,4,5,6,7}． 由x2－7x＋10<0可得2<x<5，所以A＝{x|x2－7x＋10<0，x∈N}＝{3,4}． 则集合A关于集合U的正交集合B的个数为24＝16.故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$