专题3.1 比例线段（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题3.1 比例线段（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 成比例线段】 1 【题型2 由比例的性质判断结论正误】 2 【题型3 由比例的性质求值】 2 【题型4 比例的应用】 3 【题型5 由黄金分割求值】 3 【题型6 黄金分割的应用】 4 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618。 【题型1 成比例线段】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知是的比例中项，，则 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型2 由比例的性质判断结论正误】 【例2】已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海·阶段练习）将等式改写成比例式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级·上海宝山·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【变式3-1】若（b+d+3≠0），则＝ ． 【变式3-2】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【题型4 比例的应用】 【例4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【变式4-1】已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级上·重庆开州·开学考试）一间教室要用方砖铺地．用边长是3分米的正方形方砖，需要960块，如果改用边长为2分米的正方形方砖，需要多少块？ 【变式4-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 【题型5 由黄金分割求值】 【例5】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【变式5-3】如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为 ；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为 ． 【题型6 黄金分割的应用】 【例6】（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 【变式6-1】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【变式6-2】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）    【变式6-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 比例线段（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 成比例线段】 2 【题型2 由比例的性质判断结论正误】 4 【题型3 由比例的性质求值】 6 【题型4 比例的应用】 7 【题型5 由黄金分割求值】 10 【题型6 黄金分割的应用】 13 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618。 【题型1 成比例线段】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知是的比例中项，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即或，那么线段c叫做线段a、b的比例中项． 根据比例中项的定义即可求解． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）已知a，b，c，d是比例线段，若，，，则d的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了成比例线段的定义．由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值． 【详解】解：∵、、、是成比例线段，，， ∴， 即， ∴． 故选：D． 【题型2 由比例的性质判断结论正误】 【例2】已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D． 【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意； B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意； C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意； D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海·阶段练习）将等式改写成比例式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，理解两内项之积等于两外项之积是解答解答关键． 根据两内项之积等于两外项之积来进行改写即可． 【详解】解：根据比例的性质可得 将等式改写成比例式为：． 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级·上海宝山·期中）已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 【变式3-1】若（b+d+3≠0），则＝ ． 【答案】． 【分析】利用等比的性质求解． 【详解】解：∵（b+d+3≠0）， ∴＝． 故答案为． 【点睛】此题考查了比例线段：灵活应用比例的性质进行计算． 【变式3-2】若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键． 【变式3-3】已知，则当b+d﹣m≠0时，＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件写出，，，代入化简得到，结合，求出的值为． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握比例的基本性质，运用比例的基本性质把比例式变形，代入所求式子，提公因式化简． 【题型4 比例的应用】 【例4】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲乙两地相距30千米 【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键．根据行驶时间列比例，再解比例即可． 【详解】解：设甲、乙两地相距千米， 则， ， ， ， 答：甲、乙两地相距千米． 【变式4-1】已知杠杆平衡条件公式，其中F1,F2, L1，L2均不为零，用F1,F2,L2的代数式表示L1正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质改写即可. 【详解】∵ ∴F1L1=F2L2， ∴  . 故选C. 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）. 【变式4-2】（23-24七年级上·重庆开州·开学考试）一间教室要用方砖铺地．用边长是3分米的正方形方砖，需要960块，如果改用边长为2分米的正方形方砖，需要多少块？ 【答案】2160块 【分析】由题意可知：教室的地面面积是一定，则方砖的面积与所需要方砖的块数成反比，据此即可列比例求解． 【详解】解：设需要这样的方砖块， 答：需要这样的方砖块． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是由题意列出方程． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．若齿轮的转速为7000圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率（精确到） 【答案】(1)1500圈/分 (2) 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮同时间齿数转过相同列比例式，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算． （1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可； （2）根据降速率即可解答． 【详解】（1）解：设齿轮的转速为圈/分． 因为，齿轮与齿轮啮合， 所以，的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分） 因为，由于齿轮和齿轮叠接，它们的转速相同，所以齿轮的转速也是5000圈/分． 设齿轮的转速为圈/分．齿轮与齿轮啮合， 的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积，列比例式得： （圈/分）． （2）解：因为齿轮转速为7000圈/分，D转速为1500圈/分， 根据题意得： ． 【题型5 由黄金分割求值】 【例5】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点C，点D是线段的两个黄金分割点，点C （填是或不是）线段的一个黄金分割点． 【答案】是 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 利用黄金分割的定义得到，可判断，再表示出，然后计算出，从而可判断点C是AD的黄金分割点． 【详解】解：点C，点D是线段的两个黄金分割点， ， ， ， 即， ， ， 点C是的黄金分割点． 故答案为：是． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 【详解】解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 【变式5-3】如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为 ；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为 ． 【答案】 （）n 【分析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．即可得结论． 【详解】∵线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB， 则线段AP1的长度为：； 线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1， 则线段AP2的长度为：（）2； 线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2， 则线段AP3的长度为：（）3； 依次以此类推， APn的长度为：（）n． 故答案为：；（）n． 【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 【题型6 黄金分割的应用】 【例6】（24-25九年级下·湖南娄底·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，主持人现在站在处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到米） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割的计算方法是关键． 根据黄金分割点的计算方法列分式方程计算即可． 【详解】解：设至少再走米， ∴，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴至少再走米， 故答案为： ． 【变式6-1】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 【变式6-2】如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）    【答案】4.3cm 【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可． 【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm， 由题意得：＝， 解得：x＝≈4.3， 故答案为：4.3cm． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键． 【变式6-3】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出，在根据黄金分割点的定义即可求出结果． 【详解】解：， ∵点为线段的黄金分割点， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$