第3章 数据的集中趋势和离散程度（复习课件）数学苏科版九年级上册

单元复习课件 第三章 数据的集中趋势 和离散程度 苏科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能准确描述平均数、中位数、众数的概念，并独立计算； 能解释极差、方差的含义，掌握其计算方法 3.平均数、中位数、众数的计算与适用场景，极差、方差的公式与意义。 2.区分平均数、中位数、众数的本质差异（计算方式不同，敏感度不同）理解方差公式中平方的作用 单元学习目标 算数平均数 数据的集中趋势和离散程度 加权平均数 数据的集中趋势 平均数 数据的波动程度 极差 方差 统计量的选择 中位数 众数 数据收集 数据分析 单元知识图谱 考点一、 数据的集中趋势 1.平均数 定义：一组数据的总和______数据个数。 公式: x = __________________ 2.加权平均数 各数据乘以权值后的总和_____权值和。 3.特点：易受极端值影响反映数据整体水平，适用于数据差异小的场景。 除以 ​ ​ 除以 ​ 考点串讲 考点一、 数据的集中趋势 中间​ 2.中位数 定义：数据按大小排序后，位于______位置的值 奇数取______，偶数取中间两数的________ 中间 平均 特点：不受极端值影响，反映数据中间位置。 考点串讲 考点一、 数据的集中趋势 3.众数 定义：出现次数_______的数据。 特点：可能不唯一，代表数据集中趋势的高峰。 最多 考点串讲 考点二、数据的离散程度 1.极差 差 定义：最大值与最小值的_____ 特点： 计算简单，反映数据波动范围。 考点串讲 考点四、圆中的角与多边形 2. ​ 方差 公式：________________________________ 意义： 方差越大，数据离散程度越_____。 方差越小，数据越稳定。 大 考点串讲 考点五、关键结论 1.集中趋势指标 （ ）描述数据的“中心位置”。 2. 离散程度指标 （ ） 描述数据的“波动范围”。 平均数、中位数、众数 极差、方差、标准差 考点串讲 例1：  题型一、算术平均数 解析：由题图可知平均每组植树的棵数为  ×(4+3+7+4+7)=5, 故答案为5. 某校5个小组在一次植树活动中植树 棵数的统计图如图所示,则平均每组植树　　　    棵.    5 题型剖析 题型一、算术平均数 平均数技巧 求算术平均数的步骤如下： 1. 求和：将所有数据相加，得到总和。 2. 除法：用总和除以数据的个数 𝑛 题型剖析 变式： 题型一、算术平均数    解析：　 若x1,x2,x3的平均数是2 023, 则x1+2,x2+2,x3+2的平均数是2 023+2=2025. 若x1,x2,x3的平均数是2 023,则x1+2,x2+2,x3+2的平均数是　　　    . 2 025 题型剖析 题型二、加权平均数 例2： 解析：根据题意得小明的最终比赛成绩 为 =8.3(分).故答案为8.3. 小明参加以“建团百年,我为团旗添光彩”为主题的演讲比赛,其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分、8分、8分.若将该三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为　　　    分. 8.3 题型剖析 题型二、加权平均数 加权平均数的步骤如下： 1. 将每个数值乘以其对应的权重，得到加权值。 2. 将所有加权值相加，再除以所有权重的总和， 题型剖析 题型二、加权平均数 变式：    解析:　由题意得(18+4×19+3×20+2×21+2×22)÷12 =(18+76+60+42+44)÷12=240÷12=20(岁). 故这12名队员的平均年龄是20岁.故选C. 某青年排球队12名队员的年龄情况如下表所示: 年龄(岁) 18 19 20 21 22 人数 1 4 3 2 2 则这12名队员的平均年龄是 (　    ) A.18岁　　B.19岁 C.20岁　　D.21岁 C 题型剖析 题型三、中位数与众数 例3： 解析 ： 　将数据从小到大排列为86.23分,88.50分,93.25分,93.75分,94.50分, 95.25分,位于最中间的两个数分别是93.25、93.75, 所以中位数为  =93.50(分).   C 2022年的北京冬奥会,我国某运动员在自由式滑雪女子大跳台决赛中三轮得分依次为93.75分,88.50分,94.50分.在自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中,首轮93.25分无人能超过,次轮95.25分再创新高.在自由式滑雪女子坡面障碍决赛中,凭借最后一跳的完美发挥获得86.23分,则她六次得分的中位数是　　　    . 题型剖析 题型三、中位数与众数 例4： 解析 ： 根据众数的定义可得这组数据的众数是70分钟. 　 为了落实“双减”政策,某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如表, 则这组数据的众数是　　　    分钟. 作业时 长(分钟) 50 60 70 80 90 人数 2 4 6 2 1   70 题型剖析 题型三、中位数与众数 中位数与众数步骤： 1. 中位数：将数据从小到大排序，取最中间一个数 （数据量为奇数时）或中间两个数的平均值（数据量为偶数时）。 2. 众数：统计每个数据出现的频数，出现次数最多的那个（或那些）数据即为众数。 简单来说：中位数：排好序，找中间。 众数：数次数，找最多（或多个）。 题型剖析 变式： 题型三、中位数与众数 眼睛是心灵的窗户,为保护学生视力,启航中学每学期给学生检查视力, 下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果,这组视力数据中, 中位数是　　　    . 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5 解析 ：将这组数据按从小到大的顺序排列后,位于最中间的 数是4.6,所以中位数是4.6. 4.6 题型剖析 变式：某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测,评测结果绘制如图,每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0~100 km/h的加速时间的中位数是m s,满电续航里程的中位数是n km,相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域).欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内,若以上两组数据的中位数均保持不变,则这两个点可能分别落在(　    ) A.区域①②　　B.区域①③ C.区域①④　　D.区域③④ 题型三、中位数与众数 B 题型剖析 变式： 题型三、中位数与众数 将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点 绘制到平面内,若这两个点分别落在区域①②,则0~100 km/h 的加速时间的中位数将变小,故A不符合题意;若这两个点分 别落在区域①③,则两组数据的中位数可能均保持不变,故B 符合题意;若这两个点分别落在区域①④,则满电续航里程的 中位数将变小,故C不符合题意;若这两个点分别落在区域③ ④,则0~100 km/h的加速时间的中位数将变大,故D不符合题 意.故选B. 题型剖析 题型四、平均数、中位数、众数的区别 例4： 为深入落实“立德树人”的根本任务,坚持德、智、体、美、劳全面发展,某学校积极推进学生综合素质评价改革,某同学在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示,则该同学五项评价得分的众数,中位数,平均数分别为 (　    ) A.8,8,8 B.7,7,7.8 C.8,8,8.6 D.8,8,8.4 D 题型剖析 题型四、平均数、中位数、众数的区别 例4： 　由题图可知该同学五项评价的得分分别为7,8,8,9,10, 出现次数最多的数是8,所以众数为8.将5个数据从小到大排 列后,位于中间位置的数是8,所以中位数是8. 平均数为 =8.4.故选D. 题型剖析 平均数：算总和，除个数；易受极端值影响。 中位数：排顺序，找中间；不受极端值干扰。 众数：数次数，找最多；代表最常见值，可多个。 题型四、平均数、中位数、众数的区别 题型剖析 变式： 题型四、平均数、中位数、众数的区别 为了调动员工的积极性,商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标,对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析. 数据收集(单位:万元): 5.0    9.9    6.0    5.2    8.2    6.2    7.6    9.4    8.2    7.8 5.1    7.5    6.1    6.3    6.7    7.9    8.2    8.5    9.2    9.8 数据整理: 题型剖析 变式： 题型四、平均数、中位数、众数的区别 销售额 x/万元 5≤x<6 6≤x<7 7≤x<8 8≤x<9 9≤x<10 频数 3 5 a 4 4 数据分析: 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 b 题型剖析 变式： 题型四、平均数、中位数、众数的区别 问题解决: (1)填空:a=　　　    ,b=　　　    . (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有　　        名员工获得奖励. (3)经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励.员 工甲找到经理说:“我这个月的销售额是7.5万元,比平均数 7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿 到奖励?”假如你是经理,请你给出合理解释. 题型剖析 解析：　   题型四、平均数、中位数、众数的区别  (1)a=20-3-5-4-4=4, 将20个数据按由小到大的顺序排列如下: 5.0,5.1,5.2,6.0,6.1,6.2,6.3,6.7,7.5,7.6,7.8,7.9,8.2,8.2,8.2,8.5,9.2, 9.4,9.8,9.9,位于中间位置的两个数分别为7.6,7.8, 它们的平均数为 =7.7, ∴这组数据的中位数为7.7,∴b=7.7.故答案为4;7.7. (2)由20个数据可知不低于7万元的个数为12,∴若将月销售 题型剖析 解析：　 题型四、平均数、中位数、众数的区别   额不低于7万元确定为销售目标,则有12名员工获得奖励,故 答案为12. (3)由(1)可知20名员工的销售额的中位数为7.7万元,∴20名 员工的销售额有一半的人,即10人超过7.7万元,公司对一半 的员工进行了奖励,说明销售额在7.7万元及以上的人才能获 得,而员工甲的销售额是7.5万元,低于7.7万元,∴员工甲不能 拿到奖励. 题型剖析 例5： 题型五、极差 解析     若一组数据3,7,9,a,1的平均数是5,中位数是m,极差是n, 则m-n=　　　    . -3 ∵平均数为5, ∴ =5,解得a=5,∴极差n=9- 1=8.∵这组数据按从小到大的顺序排列为1,3,5,7,9, ∴中位数为5,即m=5.∴m-n=5-8=-3. 题型剖析 题型五、极差 极差的步骤： 1. 找出数据中的最大值和最小值。 2. 用最大值减去最小值，得到的差值就是极差。 简单来说： 找到最大和最小，直接相减得极差 题型剖析 题型五、极差 变式： 第19届亚运会在杭州顺利闭幕,我国代表团共获得201金111银71铜,金牌数超越2010年广州亚运会的199枚,再创辉煌!其中,奖牌榜前5的依次为383(中国)、188(日本)、190(韩国)、107(印度)、71(乌兹别克斯坦),则这五个国家奖牌总数的极差是　　　    .  312 解析： 由极差的定义可得383-71=312. 题型剖析 题型六、方差 例6： 解析：这一组数据的平均数为  ×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=8, 故这一组数据的方差为  ×[4×(8-8)2+(6-8)2+2×(7-8)2+2 ×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.故选D. 今年我国小麦大丰收,农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长(单位:cm)分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8,那么这一组数据的方差为 (　    ) A.1.5　　B.1.4　　C.1.3　　D.1.2 D 题型剖析 题型六、方差 方差的步骤 1. 计算每个数据点与平均数的差，然后对这些差进行平方。 2. 将所有平方偏差相加，再除以数据个数减一（n-1）， 题型剖析 题型六、方差 变式： 解析; 某射击运动队进行了五次射击测试,甲、乙两名选手的测试成绩如图所示,甲、乙两名选手成绩的方差分别记为 、 , 则 　     .(填“>”“<”或“=”) > 根据题图可知,甲的波动程度较大,∴甲的方差较大. 故答案为>. 题型剖析 1． D 解析　由题意可知,前10个数的和为10a,后40个数的和为 40b,则50个数的平均数为  .故选D. x1,x2,…,x10的平均数为a,x11,x12,…,x50的平均数为b, 则x1,x2,…,x50的平均数为 (　    ) A.a+b　　 B.  C. 　　 D.  针对训练 2． 解析：∵8-2=6<7,∴x为这组数据的最大值或最小值.当x是 最大值时,x-2=7,∴x=9;当x是最小值时,8-x=7,∴x=1.故选C. C 一组数据2,5,6,8,x的极差是7,则x的值是 (　    ) A.9　　 B.1 C.9或1　　D.9或2 针对训练 3. 解析:这组数据的平均数、众数、方差都与被涂污数字有关,而这组数据的中位数为38与49的平均数,与被涂污数字无关.故选B. 　 某同学对数据27,38,38,49,5■,53进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是(        ) A.平均数　　B.中位数 C.方差　　 D.众数 B 针对训练 4． 解析：由题意得 解得 则这两组数据为3,3,1,5和3,4,2,将这两组数合并成一组新数据后,出现次数最多的是3,因此众数是3; 平均数为 ×(3+3+1+5+3+4+2)=3,∴平均数不变,仍然是3;将这组新数据从小到大 排列为1、2、3、3、3、4、5,∴中位数是3;方差为 ×[(1-3)2 +(2-3)2+3×(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=  .∴说法错误的是D.故选D. 　 数据3,a,b,5与a,4,2b的平均数都是3.若将这两组数据合并 为一组新数据,下列说法错误的是 (　    ) A.平均数仍是3　　B.众数是3 C.中位数是3　　 D.方差是1   D 针对训练 5． 自双减以来,同学们的课后延时服务活动丰富多彩,某学校在新的学期举办“篮球特色班”,大量热爱篮球的同学踊跃报名,但由 于名额有限,所以需要考核选拔,考核的最终评价成绩由篮球 知识、身体素质、篮球技能三项构成,下表是对甲、乙两名 同学成绩的记录. 针对训练 5． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩,计算说明 谁将获胜; (2)根据实际需要,将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成 绩按1∶4∶5的比例确定最终评价成绩,计算说明谁将获胜. 针对训练 5． 解析：  (1)甲的成绩为 =92(分), 乙的成绩为 =91(分), ∵91<92,∴甲将获胜. (2)甲的最终评价成绩为 =91.4(分), 乙的最终评价成绩为 =92.3(分), ∵91.4<92.3,∴乙将获胜. 针对训练 6． 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租,每辆车每天的费用分别为300元、380元、500元.阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天,往返行程为210 km,为了选择合适的型号,通过网络调查,获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示. 针对训练 6． 观察统计图回答下列问题: (1)这5年甲种家电产量的中位数为　　　    万台. (2)若将这5年家电产量按年份绘制成5个扇形统计图,每个统 计图只反映该年这3种家电产量占比,其中有一个扇形统计 图的某种家电产量占比对应扇形的圆心角大于180°,这个扇 形统计图对应的年份是　　　    年. (3)小明认为:某种家电产量的方差越小,说明该种家电发展 趋势越好.你同意他的观点吗?请结合图中乙、丙两种家电 产量变化情况说明理由. 针对训练 6． 解析： (1)935. (2)由题图可知,2020年,甲种家电产量和丙种家电产量之和小于 乙种家电产量,∴2020年乙种家电产量占比对应扇形的圆心角大于180°. 故答案为2020. (3)不同意.理由:因为方差只是反映一组数据的离散程度,方差越小说明数据波动越小,越稳定.根据乙、丙两种家电产量的变化情况来看,丙种家电产量较为稳定,即方差较小,乙种家电产量波动较大,即方差较大,但是从2018年起丙种家电的产量在逐年降低,而乙种家电的产量在逐年提高,所以乙种家电发展趋势更好,即某种家电产量的方差越小,不能说明该种家电发展趋势越好. 针对训练 7． 神舟十六号载人飞船成功发射,为大力弘扬航天精神,普及航天知识, 激发学生探索和创新热情,某初中在全校开展航天知识竞赛活动.现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析,绘制成下列图表. 学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表 竞赛 成绩x x<75(A) 75≤x<80(B) 80≤x<85(C) 85≤x<90(D) 90≤x<95(E) 95≤x≤100(F) 频数 21 96 a 57 b 6 针对训练 7． 学生参加航天知识竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 82.73 82 81 八年级 81.84 82 82 九年级 81.31 83 80 针对训练 7． 学生参加航天知识竞赛成绩扇形统计图   请根据图表提供的信息,解答下列问题. (1)a=　　　    ,m=　　　    %; (2)请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞 赛中3个年级的总体情况作出评价,并说明理由. 针对训练 7．  (1)∵抽取的总人数为21÷7%=300,∴a=300×30%=90, m=100%-7%-32%-30%-19%-2%=10%.故答案为90;10. (2)七年级的成绩好一些.理由:因为七年级成绩的平均数最 高,所以七年级的成绩要好一些.(答案不唯一) 解析： 针对训练 ✅ 知识构建：数据的集中趋势和离散程度 平均数→中位数→众数→极差 →方程 ✅ 思想方法： 数感、转化思想、分类讨论、建模思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$