专题23.3 课题学习 图案设计（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题23.3 课题学习 图案设计 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用轴对称设计图案 1 知识点梳理02：利用平移设计图案 1 知识点梳理03：作图-旋转变换 2 知识点梳理04：利用旋转设计图案 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：分析图案的形成过程 2 考点2：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 5 考点3：旋转对称图形的识别 10 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 12 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 24 知识点梳理01：利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点梳理02：利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点梳理03：作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点梳理04：利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 考点1：分析图案的形成过程 【典例精讲】（20-21七年级上·重庆南岸·期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形． 【规范解答】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形． 故选A． 【考点剖析】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力． 【变式训练1】（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【答案】见解析． 【思路引导】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明． 【规范解答】解：如图，标注三角形的一个顶点如下， 先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°； ：向下平移1个单位长度； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一） 【考点剖析】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键． 【变式训练2】如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    【答案】（1）9，7；（2）22；（3）不能等于30，见解析；（4） 【思路引导】（1）长为，宽为的矩形，当=1时，（2+1）=3，得3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等，进而求解； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可得=5+4，b=5+2，进而求解； （3）不能等于30，根据=5+4当=30，可求5+4=30，进而得的值即可判断； （4）结合（1）（2）可得． 【规范解答】（1）长为，宽为的矩形， 当=1时，（2+1）=3， 3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成， 其中小圆的直径与小矩形的宽相等， ∴=3+3+1+1+1=9 =3+1+1+1+1=7 故答案为9，7； （2）结合（1）并观察图形的变化规律可知： =5+4，b=5+2 ∴当=24时，5=20， ∴=22； （3）不能等于30，理由如下： ∵=5+4 若=30，则5+4=30，= ∵是正整数， ∴不能等于30； （4）结合（1）（2）可知： ， 所以与的数量关系为：． 【考点剖析】此题主要考查图形类变化规律，解题关键是理解题意，找出关系式. 【变式训练3】如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 【答案】 平移 【思路引导】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心. 【规范解答】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A. 故填平移；A. 【考点剖析】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心. 考点2：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 【答案】C 【思路引导】本题考查图形设计，根据长方形、等腰直角三角形、平行四边形性质设计图形即可得到答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 【规范解答】解：A、用四个相同的等腰直角三角形可以组成长方形，如图所示：    B、用四个相同的等腰直角三角形可以组成三角形，如图所示：    C、用四个相同的等腰直角三角形不可以组成梯形，符合题意； D、用四个相同的等腰直角三角形可以组成平行四边形，如图所示：    故选：C． 【变式训练1】（2023九年级上·江苏·专题练习）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；和 (2)见解析 【思路引导】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 【规范解答】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【考点剖析】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【规范解答】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【考点剖析】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 【变式训练3】（2023·吉林·一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【思路引导】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点、，连接、、即可． 【规范解答】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接， ∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上， 则即为所作； （2）取格点、，连接、、， ∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形， 则四边形即为所作； （3）取格点、，连接、、即可， ∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形， 则四边形即为所作． 【考点剖析】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 考点3：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质、旋转的性质，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【规范解答】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项不符合题意； B、图形只能通过旋转变换得到，所以B选项不符合题意； C、图形可以通过上下翻折、左右翻折得到，也可以通过旋转变换得到，所以C选项符合题意； D、图形可以通过左右翻折得到，但不能通过旋转变换得到，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案.以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据旋转的性质与特点判断即可． 【规范解答】解：A、图中利用的是对称，错误； B、图中利用的是旋转，正确； C、图中利用的位似，错误； D、图中利用的是平移，错误； 故选：B． 【考点剖析】此题考查旋转问题，关键是根据旋转、对称、平移、位似的特点解答． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题主要是轴对称图形与旋转对称图形的判定问题，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重叠，旋转对称图形关键是寻找旋转中心，旋转固定角后两部分重合；运用上述的结论，结合选项中所给的图形即可求解． 【规范解答】解：①是旋转对称图形，不是轴对称图形； ②③④既是旋转对称图形，也是轴对称图形； 故选C． 【变式训练3】（2025八年级下·全国·专题练习）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【规范解答】解：A、不能通过平移得到，故本选项不符合题意； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项不符合题意； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项故符合题意； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)270 (4)2 【思路引导】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转—次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【规范解答】（1）解：如图，图2，图3即为所求； （2）解：观察图形可知，旋转—次循环， ， 所以风叶①到达了图4中位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转 270 度（旋转一周内），风叶（1）也能到达第（2）问中位置． 故答案为： 270 ； （4）解：由如图5可知，最少翻折 2 次，也能到达第（ 2 ）问中位置． 故答案为： 2 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 【答案】 【思路引导】本题主要考查旋转图形，熟练掌握旋转图形的旋转角是解题的关键．根据正三角形的内角是以及旋转角即可得到答案． 【规范解答】解：正三角形的内角是， 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是． 故答案为：． 【变式训练2】如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查旋转对称图形，根据题意，得到，根据周角的定义，求出的度数，进而得到旋转角的度数为的度数的整数倍时，满足题意，判断即可。 【规范解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点， 由题意，得：， 所以旋转后与原图形重合． 故选C． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 【答案】(1)见详解 (2)4条对称轴，这个整体图形至少旋转90度才能与自身重合 【思路引导】本题考查了轴对称图形，作轴对称图形，数掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法即可完成解答； （2）根据轴对称图形的性质和旋转对称图形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：补充成旋转对称图形如下： （2）解：整体图形对称轴的条数为4条；这个整体图形至少旋转90度后才能与自身重合． 1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 2．（2020·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）． 【规范解答】解：（1）轴对称图形如图1所示． （2）中心对称图形如图2所示．    【考点剖析】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．     （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．   （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【思路引导】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【规范解答】（1）解：画出下列其中一种即可 （2）解：画出下列其中一种即可 【考点剖析】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键． 4．（2023·福建漳州·中考真题）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形到不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查利用旋转或轴对称设计图案，解题的关键是理解中心对称和轴对称的概念，根据要求分别设计两个图案即可． 【规范解答】解：如图， 5．（2023·湖北·中考真题）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影． （1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【思路引导】（1）根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可． （2）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可． 【规范解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示； 【考点剖析】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案． 基础夯实 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案． 【规范解答】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故符合题意； D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）下面的图形能拼成正方形的是（    ）． A．  B．  C．   【答案】C 【思路引导】根据正方形的特点可知，两个直角边不相等的直角三角形不能拼成正方形；两个完全一样的正方形不能拼成正方形；选项C的图形可以拼成正方形．据此选择． 【规范解答】能拼成正方形的是：    故选：C． 【考点剖析】本题主要考查图形的拼组，关键掌握正方形的特征． 3．（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的(   )    A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换 【答案】C 【思路引导】图案旋转变换具备三个要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【规范解答】根据观察可知，图案（1）变成图案（2）是由旋转变换而成的． 故选 C． 【考点剖析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 4．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【思路引导】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【规范解答】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【考点剖析】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 【答案】 【思路引导】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【答案】72 【思路引导】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质． 【规范解答】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合， ∴， 故答案为：72． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【思路引导】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【规范解答】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 8．（22-23九年级·全国·单元测试）如图所示，图形（1）经过 变换成图形（2），图形（2）经过 变换成图形（3），图形（3）经过 变换成图形（4）． 【答案】 轴对称 平移 旋转 【思路引导】图（2）是由图（1）沿对应点连线所在的垂直平分线翻折得到的； 图（3）是由图（2）向右平移一定距离得到的； 图（4）是由图（3）绕一对对应点连线的中点旋转得到的． 【规范解答】解：图形（1）经过轴对称变换成图形（2）， 图形（2）经过平移变换成图形（3）， 图形（3）经过旋转变换成图形（4）； 故答案为：①轴对称；②平移；③旋转． 【考点剖析】题目主要考查平移及旋转、轴对称的性质，熟练掌握三者的定义是解题关键，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 9．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 【答案】(1)中心，轴 (2)见解析 【思路引导】本题考查中心对称图形，利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． （1）观察三个图形，利用中心对称和轴对称的性质即可解答； （2）根据中心对称的性质设计图案即可． 【规范解答】（1）图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示：答案不唯一（或面积是4的平行四边形、正方形等）， ． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查轴对称和中心对称图形的定义． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【规范解答】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 培优拔高 11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【规范解答】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【思路引导】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【规范解答】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 【答案】C 【思路引导】根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可． 【规范解答】将图甲顺时针先旋转一个小的角度，使得图形甲完全竖直，再进行翻折（轴对称变换）即可得到图形乙， 故选：C． 【考点剖析】本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键． 15．（17-18九年级下·全国·单元测试）以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是 ．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 【答案】① 【思路引导】本题考查旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质，根据旋转变换的性质、轴对称变换的性质、平移变换的性质进行逐一判断即可． 【规范解答】解：如图，将图1只向右平移1个单位长度不能得到图2，故①符合题意； 将图1先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度能得到图2，故②不符合题意； 将图1先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度能得到图2，故③不符合题意； 将图1绕着的中点旋转能得到图2，故④不符合题意； 故答案为：①． 16．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，将正方形以点B为旋转中心顺时针旋转得到正方形于O，若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【思路引导】作BE⊥OD于点E，可以设出对角线长是x，则A′F＝x，根据FO＝A′F＋A′O，即可得到一个关于x的方程，从而求得对角线长，则边长即可求得． 【规范解答】解：作BE⊥OD于点E． 设BD＝x，则A′C′＝x，A′F＝x， ∵BD′⊥OC′，OD⊥OC′， ∴BD′∥OD， ∴∠BDO＝180°−∠DBD′＝180°−120°＝60°， ∴∠DBE＝30°， ∴DE＝BD=x， ∴OF=BE=， x＋（−1）＝x， 解得：x＝2， ∴边长是：x＝． 故答案是：． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质，先作出辅助线转化为解直角三角形，最终转化为方程问题是解题的基本思路． 17．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 【答案】，，． 【思路引导】通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。 【规范解答】解：将逆时针旋转，得到， ∵，是等边三角形，且旋转角相等，则, ∴是等边三角形. 则 又∵ ∴ 故以线段三边构成的三角形为 所以 故答案为： . 【考点剖析】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键. 18．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．    【答案】见解析 【思路引导】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的性质和中心对称，由于平行四边形和圆都是中心对称图形，于是连接平行四边形的对角线的交点和圆心的直线可把纸片分成分成面积相等的两部分，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，    直线即为所求． 19．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了利用旋转性质设计图案，利用轴对称设计图案，熟练掌握特殊四边形的轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出平行四边形即可； （2）根据特殊四边形的轴对称和中心对称的性质，以及已知点位置作出等腰梯形即可． 【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：如图，四边形即为所求． 20．（2019·四川广安·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【答案】见解析. 【思路引导】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得． 【规范解答】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【考点剖析】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.3 课题学习 图案设计 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用轴对称设计图案 1 知识点梳理02：利用平移设计图案 1 知识点梳理03：作图-旋转变换 2 知识点梳理04：利用旋转设计图案 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：分析图案的形成过程 2 考点2：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 5 考点3：旋转对称图形的识别 10 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 12 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 24 知识点梳理01：利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点梳理02：利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点梳理03：作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点梳理04：利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 考点1：分析图案的形成过程 【典例精讲】（20-21七年级上·重庆南岸·期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（      ） A． B． C． D． 【变式训练1】（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【变式训练2】如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等． （1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　； （2）当a＝24时，求b的值； （3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由； （4）直接写出a与b的数量关系．    【变式训练3】如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”） 考点2：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【典例精讲】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 【变式训练1】（2023九年级上·江苏·专题练习）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【变式训练3】（2023·吉林·一模）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 考点3：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案.以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练3】（2025八年级下·全国·专题练习）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（    ） A． B． C． D． 考点4：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是 度． 【变式训练2】如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）    3．（2023·浙江宁波·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．     （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．   （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 4．（2023·福建漳州·中考真题）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们． 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形到不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 5．（2023·湖北·中考真题）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影． （1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形； （2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． 基础夯实 1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林长春·开学考试）下面的图形能拼成正方形的是（    ）． A．  B．  C．   3．（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的(   )    A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换 4．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 6．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 7．（2022·北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 8．（22-23九年级·全国·单元测试）如图所示，图形（1）经过 变换成图形（2），图形（2）经过 变换成图形（3），图形（3）经过 变换成图形（4）． 9．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题： (1)图（1）中的三个图案都具有以下共同特征：都是 对称图形，都不是 对称图形．（选填“轴”或“中心”） (2)请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同，并将所画图案涂上阴影． 10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 培优拔高 11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果将其中的甲图变成乙图，那么经过的变换正确的是（    ）    A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．旋转、轴对称 D．旋转 15．以图①（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换，其中不能得到图②的是 ．（填序号） ①只向右平移1个单位长度； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转，再向右平移1个单位长度； ④绕着的中点旋转． 【答案】① 16．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，将正方形以点B为旋转中心顺时针旋转得到正方形于O，若，则正方形的边长为 ． 17．（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 18．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分．    19．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知方格纸中有A、B、C三个格点，求作一个以A、  B、C为顶点的格点四边形． (1)在图1中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形． (2)在图2中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形． 20．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$