专题23.1 图形的旋转（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共62题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题23.1 图形的旋转 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共62题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转的定义 2 知识点梳理02：旋转的性质 2 知识点梳理03：旋转作图 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断生活中的旋转现象 3 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 4 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 6 考点4：求旋转中心的个数 9 考点5：旋转中的规律性问题 10 考点6：根据旋转的性质求解 11 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 14 考点8：旋转的性质及辨析 17 考点9：画旋转图形 22 考点10：利用旋转设计图案 24 考点11：求绕原点旋转90度的点的坐标 25 考点12：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 28 考点13：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 30 考点14：坐标与旋转规律问题 33 考点15：线段问题（旋转综合题） 35 考点16：面积问题（旋转综合题） 39 考点17：角度问题（旋转综合题） 43 考点18：其他问题（旋转综合题） 47 考点19：坐标系中的旋转 52 中考真题 实战演练 54 难度分层 拔尖冲刺 63 基础夯实 63 培优拔高 73 知识点梳理01：旋转的定义 （1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角 如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度. （2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。 （3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 知识点梳理02：旋转的性质 旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置 知识点梳理03：旋转作图 旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点 作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转 考点1：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【答案】C 【思路引导】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【规范解答】解：（分钟）． 所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点． 故选C． 【考点剖析】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键． 【变式训练】如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 【答案】 轴对称 旋转 平移 【思路引导】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【规范解答】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移. 【考点剖析】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【思路引导】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【规范解答】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】利用等边三角形的定义可得：，由同位角相等可得：，可判断①；先证明，则，根据外角的性质得：，可判断②；根据，得出，可判断③；根据，且，由旋转的概念可判定④． 【规范解答】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，故①正确； ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，且， ∴可以看作是绕点B顺时针能转而成的，故④正确； ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【考点剖析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的图形的识别，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． 【规范解答】（1）解：∵将顺时针旋转后得到 ∴旋转中心是点，旋转角的度数是； （2）解：延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 【答案】(1)图见解析；图见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据平移的性质作图即可． （2）分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． （2）解：分别连接，，，相交于点，则绕点旋转可以得到， ∴旋转中心M的坐标为． 考点4：求旋转中心的个数 【典例精讲】如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【思路引导】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【规范解答】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【考点剖析】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【变式训练】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【规范解答】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【规范解答】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020， 的坐标是， 故答案为． 【考点剖析】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 考点6：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）由旋转的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 【规范解答】（1）证明：， ，即． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． ，， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到． (1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用证明，得，由点、、三点共线，得，即可解决问题； （2）过作于，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：当点、、三点共线，如图， 将绕点逆时针方向旋转，使与重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 点、、三点共线， ， ； （2）解：过作于，如图， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ， ， ， ， ∵ ． 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析 【思路引导】（）由旋转的性质可得，，，即得四边形是矩形，进而由即可求证； （）过点作于点，可证，得到，又由（）可知：，即可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）过点作于点，可得，又由（）可知：，四边形是正方形，即得，由等腰三角形的性质得，即得，得到，即可求证． 【规范解答】（）证明：∵是由逆时针旋转而得到， ∴，，， ∵是的延长线， ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （）如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴的面积； （）如图②，过点作于点， 由（）可知：， ∴， 由（）可知：，四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练】（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 【规范解答】（1）证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                         在和中， ， ∴； （2）解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 考点8：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【思路引导】（1）将，代入求出解析式即可； （2）（i）设点，分类讨论当点在x轴的正半轴和负半轴的情况，根据即可求解；（ii）作轴，交轴于点，证、即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得： 解得： ∴ 当时， ∴ （2）解：设点 （i）①当点在x轴的正半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ ②当点在x轴的负半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ 综上所述：或 （ii）作轴，交轴于点，如图所示：    ∵轴 ∴ ， ∵将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ 【考点剖析】本题考查了一次函数与几何综合问题．正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 【变式训练】如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【思路引导】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【规范解答】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【考点剖析】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 考点9：画旋转图形 【典例精讲】（24-25九年级上·海南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，将绕原点O逆时针方向旋转得到．请作出，写出各顶点的坐标，并计算的面积． 【答案】作图见解析；点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的面积是 【思路引导】本题主要考查作图-旋转变换、三角形的面积公式，利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点；然后写出各顶点的坐标，利用三角形面积公式计算的面积． 【规范解答】解：如图，即为所作； 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，， 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； 由图可得，点Q的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 考点10：利用旋转设计图案 【典例精讲】下列对下图的形成过程叙述正确的是（        ） A．它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转，，形成的 B．它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转形成的 C．它可以看作是相邻两只小狗绕图案的某条对称轴翻折而成的 D．它可以看作是左侧和上方的小狗分别向右侧和下方平移得到的 【答案】D 【思路引导】根据图形结合选项,采用排除法判定正确答案. 【规范解答】观察图形可知:从小狗的头部方向看,上边的小狗与下方的方向相等，左边的与右边的方向相同，只有D符合，所以答案选D. 【考点剖析】本题考查了平移的性质，平移后的图形能够重合，注意结合图形解题的思想是解题的关键. 【变式训练】如图，将甲图经图形变换变到乙图，下列说法错误的是（ ） A．可以通过旋转和平移实现 B．可以通过旋转和轴对称实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 【答案】D 【思路引导】结合图形特点可得甲图形变为乙图形可以经过旋转、平移或旋转、轴对称实现，从而可得出答案． 【规范解答】甲图形变为乙图形必须通过旋转变换， 所以D选项错误， 故选D． 【考点剖析】本题考查了几何变换的类型，属于基础题，掌握各几何变换的特点是解答本题的关键． 考点11：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 【规范解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标； (3)若直接旋转得到，则旋转中心点M的坐标是 ． 【答案】(1)见解析； (2)，点的坐标为； (3)． 【思路引导】（1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）由图可直接得出，的坐标．设经旋转后点P的对应点为，由旋转的性质可得点的坐标为，再由平移的性质可得点的坐标为 （3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点M，则绕点M逆时针旋转得到，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，和即为所求； （2）解：由图可得，， 设经旋转后点P的对应点为， ∴点的坐标为， ∴平移后点的坐标为 （3）解：连接，分别作线段的垂直平分线，交于点M， 则绕点M逆时针旋转得到， ∴旋转点M的坐标是． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查作图——旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 考点12：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，在平面直角坐标系中，点的坐标为，请在平面直角坐标系中画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的新图形，并写出、的坐标． 【答案】作图见解析，点的坐标是，点的坐标是 【思路引导】本题考查了作图—旋转变换，根据网格结构特点找出点A、B、C绕点P顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可得到，根据图形位置即可写出点的坐标． 【规范解答】解：如图所示， 根据上图可得，点的坐标是，点的坐标是． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了旋转变换作图，也考查了平移变换作图，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键， （1）利用中心对称的点的坐标特征得到、、，再顺次连接即可；利用点与点的坐标特征得到平移的方式是先向右平移3个单位，再向下平移6个单位，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接即可； （2）连接、、交于一点，这点即为旋转中心，即可解答； 【规范解答】（1）解：如图所示：为所求，为所求； （2）解：∵， ∴， ∴旋转中心坐标为． 考点13：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）抛物线的图像经过的点如下表： x 0 1 2 3 4 y 8 3 0 0 3 (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线交轴于点A，交轴于点B、C，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的长度最小，请求出点P的坐标； (3)如图2．将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点，连结、、，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的形状为等腰直角三角形，理由见解答 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于对称轴的对称点为点C，则，则为最小，即可求解； （3）将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点N，则点E是的中点，即可求解． 【规范解答】（1）解：从表格看，抛物线过点、， 则抛物线的表达式为：， 把代入，得 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：点B关于对称轴的对称点为点C，则， 则为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 而抛物线的对称轴为直线， 当时，， 则点； （3）解：将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点N， 则点E是的中点， 由中点坐标公式得：， 由点A、M、N的坐标得，，同理可得：，， 即且， 故的形状为等腰直角三角形． 【考点剖析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、图象的旋转、点的对称性等，确定点N的坐标是本题解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为．    (1)将绕点D旋转得到，画出； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【思路引导】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求．    （2）由图可得， （3）的面积为． 考点14：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期中）一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出的解析式是解题的关键． 求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到，，，，求出，，，的解析式，然后找到规律，求出的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可得解． 【规范解答】解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点； ∴，，， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为，的解析式为， ∵ ∴的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，与旋转有关的点的坐标规律探索，根据题意可得每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合，那么与的位置重合，进而可得的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置，过点作x轴的垂线，垂足为D，证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点就与旋转前点A的位置重合， ∵， ∴与的位置重合， ∵是点A绕点O顺时针旋转得到的， ∴的位置与点A绕点O顺时针旋转后点C对应点的位置相同，即的位置， 如图所示，过点作x轴的垂线，垂足为D， 由旋转的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 考点15：线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【思路引导】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式训练】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【思路引导】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【规范解答】解：过点A作于M，    是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 考点16：面积问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【思路引导】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【规范解答】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 【变式训练】（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【思路引导】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）连接，，    四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【考点剖析】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 考点17：角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【思路引导】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【规范解答】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式训练】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 【规范解答】（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【考点剖析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 考点18：其他问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或，见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又 ， ， ， 在和中 ， （）， ， 又 ， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，    ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 【变式训练】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)1或7 【思路引导】（1）根据，，推出，，根据旋转的性质得出，则，即可得出，最后根据即可求证； （2）用和（1）相同的方法证明，得出即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据（1）（2）得出的结论进行分类讨论即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，如图②： ∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图③： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； （3）解：由（1）可知，当点E在线段上，时，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由②可知：或， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 或(不符合题意，舍去)， 或， 综上：或7． 故答案为：1或7． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等． 考点19：坐标系中的旋转 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】分别求出的坐标，从点A开始，后面每点的横坐标都加4，得到规律即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作于点D， ∵是等边三角形，且边长为4， ∴， ∴， ∴； 根据旋转和等边三角形的性质可得， 即与轴平行， ∵点A向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，向右平移4个单位得点，……， ∴点的横坐标依次加4，纵坐标不变， 即A横坐标为2，点横坐标为，点横坐标为，点横坐标为，……，点横坐标为， ∴； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，找到规律是解题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正方形性质、坐标与图形旋转变换等知识点，掌握正方形的性质是解题的关键． 做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【规范解答】解：如图：以点为旋转中心，把顺时针旋转， ∵， ∴正方形的边长为3， ∴， ∵四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， ∴在x轴上， ∴． 故选：A． 1．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【规范解答】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【思路引导】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【规范解答】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 4．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【规范解答】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【思路引导】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【规范解答】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【思路引导】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵在平面内绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，绕点逆时针旋转后得到，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【规范解答】解：根据旋转的性质，可得， ． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 5．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 【答案】30 【思路引导】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据直角三角尺得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形完全相等及找到旋转角是解本题关键． 【规范解答】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：30． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查旋转的性质，三角形的外角，根据三角形的外角的性质，得到，旋转得到，即可得出结果． 【规范解答】解：∵旋转， ∴， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴是的一个外角， ∴， ∴； 故答案为： 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【规范解答】在中，， ∴． 又因为是绕点旋转后得到的， 所以，且，，三点共线， 所以． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，详见解析 (2)，详见解析 【思路引导】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）先证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）过点D作于H，结合正方形性质证明 ，得出，根据即可证明结论． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴ （）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见详解② (3) 【思路引导】本题考查了以下核心知识点：正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定以及线段取值范围的确定，对这些概念的理解程度是解题的关键． （1）先通过勾股定理求正方形的边长，再结合正方形对角线性质求，最后利用旋转后的性质，通过线段差计算． （2）①由旋转得且，结合已知推出四边形有三个直角，先判定为矩形，再通过邻边相等判定为正方形． ②通过作垂线构造直角三角形，利用“同角的余角相等”找到全等条件，证明，得到对应边长度，再用勾股定理求． （3）将A视为定点，为定长，则的轨迹是以A为圆心、为半径的圆；结合为定长，通过“点C到圆上点E'的距离范围确定取值范围． 【规范解答】（1）解：在中，因为，，， 所以， 由于四边形是正方形， 所以，， 那么， 由旋转性质可知， 所以． （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得，， 因为， 又因为， 所以四边形是正方形． ②过点作于点，则， 因为， 所以， 在和中， ， 可得， 所以，， 则， 在中，根据勾股定理． （3）解：因为的轨迹是以A为圆心、为半径的圆， 点到圆心的距离为， 所以最短为， 当落在的延长线上时，，， 最长为， 所以线段的取值范围是． 10．（24-25九年级上·吉林·期末）问题情境 四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为点、．旋转角为． 观察思考 （1）如图①，连接，当点第一次落在对角线上时，_______________； 探究证明 （2）如图②，当，且时，与交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸 （3）如图③，连接，在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）的长为 【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）由菱形的性质得，再由旋转的性质得，，然后证四边形是平行四边形，结合，即可得出结果； （3）当时，则，证、、三点共线，即可得出的长． 【规范解答】解：（1）如图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是菱形， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）如图③，当时，则， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， ． 的长为． 培优拔高 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：由旋转得：，， 是等边三角形， ， 故选：B． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质得，，从而，然后由三角形内角和求出的度数即可． 【规范解答】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 13．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 【答案】D 【思路引导】本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解. 【规范解答】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ， ∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点重合， ， 是等边三角形， ∴∠，， ∴， ∴平移的距离为， 故选：D. 14．（24-25九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【思路引导】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键．首先利用平移的性质得出点的坐标，再分点绕原点顺时针和逆时针旋转讨论，结合旋转的性质画图求解即可． 【规范解答】解∶ ∵把点向右平移8个单位得到点， ∴点的坐标为：， 如图所示： 将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：， 将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：， 综上， 故符合题意的点的坐标为或， 故答案为∶或． 15．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为 ． 【答案】3或4或8 【思路引导】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据旋转的性质解答即可． 【规范解答】解：如图： ①如图1，当点落在点时，此时； ②如图2，当点落在边上时，此时； ③如图3，当点落在边上时，此时． 故答案为：或或． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，点D为边上一点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转，点C的对应点为E，连接，若，则的面积的最大值为 ． 【答案】4 【思路引导】过点C作于点，于点，根据证得，得出，然后解直角三角形求得，得到，设，则，根据三角形面积公式得到，根据二次函数的性质即可求得． 【规范解答】解：过点C作于点，于点， ， ， 由旋转得：， ， ， ， 在和中， ， ()， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∴当时，随x的增大而增大， ∵， 当时，有最大值为， 即：当时，有最大值为4， 故答案为：4． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质等，得到三角形的面积关于的函数解析式是解题的关键． 17．（24-25九年级上·吉林·期末）在中，，．点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图，当点在线段上时，写出线段和线段的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出中结论是否成立，不必说明理由． (3)连接，若，的面积等于，直接写出的长． 【答案】(1)且； (2)仍然成立； (3)或或． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、图形的旋转、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据旋转的性质找到边、角的关系，利用边、角的关系证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明结果． 利用可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可得：，，根据等腰直角三角形的性质可证； 仿照可证，根据全等三角形的性质可证中的结论仍然成立； 设，根据三角形的面积公式可以列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的长度，注意本题中需要分两种情况讨论：第一种情况是点在线段上时；第二种情况是点在线段延长线上时． 【规范解答】（1）解：且， 理由如下： ，， ，， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：仍然成立， 理由如下： ，， ，， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）解：如下图所示，当点在线段上时，连接， 由可知，， 设，则， 的面积等于， ， ， 解得：或， 或； 如下图所示，当点在线段延长线上时，连接， 设，则， 的面积等于， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长为， 综上所述，的长为或或． 18．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，只用无刻度直尺在给定网格中按要求画图． (1)在图中，将图中阴影部分绕点顺时针旋转后得到的新图形涂上阴影． (2)在图中，找到一个格点，连接，使． (3)在图中，找到一个格点，连接，使． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【思路引导】本题考查了网格画图，旋转的性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转性质即可画图； （）通过网格特点即可求解； （）通过网格特点即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，阴影部分绕点顺时针旋转， （2）解：如图，即为所求， 理由：连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （3）解：如图，即为所求． 19．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 【答案】(1)正方形 (2) (3)，证明见解析 (4)或8 【思路引导】（1）可推出，，从而得四边形是正方形； （2）作于，可推出，从而，根据勾股定理得出，求得，进一步得出结果； （3）利用证明即可； （4）设，则，根据旋转的性质得：，分为：当点E在上时，根据勾股定理可得：，当点在的延长线上时，设，则，可得：，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图①， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转 得到线段，过点E作， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， 故答案为：正方形； （2）解：如答题图①，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明如下： 由已知可得， 在和中， ， ； （4）解：， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， ， 当点在线段上时，如答题图② 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当点在的延长线上时，如答题图③， 同理， 设，则， ， 解得：， 综上所述，或8． 【考点剖析】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图1，在等腰中，，，点为中点．点为边上一动点，点为边上一动点，连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接． (1)当点与点重合时，根据题意在图1中完成作图；判断与的位置关系并证明． (2)当点为中点时，如图2，连接，若是等腰三角形，求的长． (3)连接，写出一个的值，使得对于任意的点总有，并证明． 【答案】(1)，作图和证明见解析 (2)的长为或 (3)当时，总有 【思路引导】（1）根据要求画出图形即可；证明，推出，即可解决问题； （2）连接、、，证明，即可得到点在直线上运动，再根据是等腰三角形，分三种情况讨论，画出符合题意的图形，进而求解即可； （3）作于，作，并使得，连接，延长交于，连接，，通过计算证明，利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可. 【规范解答】（1）解：作图如图， ，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在等腰中，， ， 又∵M是的中点， ，， 连接、、，则，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴点在线段上移动， ①当时， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ； ②当时， 此时点和点重合，点和点重合， ； ③当时，此时点在垂直平分线上， 又因为点在垂直平分线上，所以这种情况不存在； 综上，的长为或； （3）解：当时，总有， 证明：如图中，作于，作，并使得，连接，延长交于，连接，. ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ， ∴是的垂直平分线， ． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.1 图形的旋转 （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共62题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：旋转的定义 2 知识点梳理02：旋转的性质 2 知识点梳理03：旋转作图 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断生活中的旋转现象 3 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 4 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 5 考点4：求旋转中心的个数 6 考点5：旋转中的规律性问题 6 考点6：根据旋转的性质求解 7 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 8 考点8：旋转的性质及辨析 9 考点9：画旋转图形 10 考点10：利用旋转设计图案 11 考点11：求绕原点旋转90度的点的坐标 11 考点12：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 12 考点13：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 14 考点14：坐标与旋转规律问题 15 考点15：线段问题（旋转综合题） 16 考点16：面积问题（旋转综合题） 17 考点17：角度问题（旋转综合题） 19 考点18：其他问题（旋转综合题） 20 考点19：坐标系中的旋转 21 中考真题 实战演练 22 难度分层 拔尖冲刺 24 基础夯实 24 培优拔高 29 知识点梳理01：旋转的定义 （1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角 如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度. （2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。 （3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 知识点梳理02：旋转的性质 旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置 知识点梳理03：旋转作图 旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点 作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转 考点1：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【变式训练】如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)． 考点2：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【变式训练】（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点3：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形中，点E为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)操作与实践： ①步骤一：将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； ②步骤二：平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)应用与求解： 将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心M的坐标． 考点4：求旋转中心的个数 【典例精讲】如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【变式训练】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 考点5：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 考点6：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到． (1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数； (2)若，，，求的长． 考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 【变式训练】（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点8：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 【变式训练】如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 考点9：画旋转图形 【典例精讲】（24-25九年级上·海南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，将绕原点O逆时针方向旋转得到．请作出，写出各顶点的坐标，并计算的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 考点10：利用旋转设计图案 【典例精讲】下列对下图的形成过程叙述正确的是（        ） A．它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转，，形成的 B．它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转形成的 C．它可以看作是相邻两只小狗绕图案的某条对称轴翻折而成的 D．它可以看作是左侧和上方的小狗分别向右侧和下方平移得到的 【变式训练】如图，将甲图经图形变换变到乙图，下列说法错误的是（ ） A．可以通过旋转和平移实现 B．可以通过旋转和轴对称实现 C．必须通过旋转才能实现 D．不必通过旋转就能实现 考点11：求绕原点旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标； (3)若直接旋转得到，则旋转中心点M的坐标是 ． 考点12：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，在平面直角坐标系中，点的坐标为，请在平面直角坐标系中画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的新图形，并写出、的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 考点13：求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）抛物线的图像经过的点如下表： x 0 1 2 3 4 y 8 3 0 0 3 (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线交轴于点A，交轴于点B、C，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的长度最小，请求出点P的坐标； (3)如图2．将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点，连结、、，请判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为．    (1)将绕点D旋转得到，画出； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 考点14：坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山东济宁·期中）一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得；交x轴于点；…若是其中某段抛物线上一点，则 ． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 考点15：线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【变式训练】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    考点16：面积问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【变式训练】（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    考点17：角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式训练】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 考点18：其他问题（旋转综合题） 【典例精讲】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【变式训练】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 考点19：坐标系中的旋转 【典例精讲】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得到，将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，请回答：的坐标为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 3．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 4．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 基础夯实 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，绕点逆时针旋转后得到，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ． 5．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 9．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 10．（24-25九年级上·吉林·期末）问题情境 四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为点、．旋转角为． 观察思考 （1）如图①，连接，当点第一次落在对角线上时，_______________； 探究证明 （2）如图②，当，且时，与交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸 （3）如图③，连接，在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长． 培优拔高 11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，以点A为中心，把逆时针旋转，得到，连接，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（   ） A．4， B．2， C．1， D．3， 14．（24-25九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移8个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是 ． 15．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上…依次操作下去，若经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，点D为边上一点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转，点C的对应点为E，连接，若，则的面积的最大值为 ． 17．（24-25九年级上·吉林·期末）在中，，．点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图，当点在线段上时，写出线段和线段的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出中结论是否成立，不必说明理由． (3)连接，若，的面积等于，直接写出的长． 18．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，只用无刻度直尺在给定网格中按要求画图． (1)在图中，将图中阴影部分绕点顺时针旋转后得到的新图形涂上阴影． (2)在图中，找到一个格点，连接，使． (3)在图中，找到一个格点，连接，使． 19．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图1，在等腰中，，，点为中点．点为边上一动点，点为边上一动点，连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接． (1)当点与点重合时，根据题意在图1中完成作图；判断与的位置关系并证明． (2)当点为中点时，如图2，连接，若是等腰三角形，求的长． (3)连接，写出一个的值，使得对于任意的点总有，并证明． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$