3.3 幂函数课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数，系统涵盖概念、五个幂函数的图象与性质、解析式求解及单调性应用。课前通过填空梳理概念，课堂从定义辨析到性质探究再到综合应用，搭建自主学习到师生共研的递进式学习支架。 其特色在于以“微思考”引导观察图象象限分布培养数学眼光，通过对比性质、分类讨论单调性发展数学思维，用表格归纳和规范解析强化数学语言。如性质对比表助学生系统梳理，比较大小方法总结提升解题能力，能帮学生构建知识体系，也为教师提供完整教学流程和分层素材。

3. 3　幂函数 知识点　幂函数 (一)教材梳理填空 1．幂函数的概念： 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．五个幂函数的图象与性质： y＝xα 定义域 ___ ___ ___ _________ ________ 值域 ___ __________ ___ _________ ________ 奇偶性 函数 函数 函数 ————函数 函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0]上单调 ，在(0，＋∞)上单调_____ 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在[0，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0)上单调 ，在(0，＋∞)上单调____ 定点 ______ 续表 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 递增 递减 递增 递增 递增 递减 递减 (1,1) [微思考]　通过对五个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2. 答案：B　 4．已知f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________. 解析：∵函数f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数， ∴m－1＝1，即m＝2. 答案：2 求幂函数解析式的依据和常用方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　 2．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为 (　　) A．1或3 B．3 C．2 D．1 解析：由函数f(x)为幂函数，得m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又幂函数f(x)单调递增，则m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1. 答案：D　 题型二　幂函数的图象及应用　 【学透用活】 (1)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 解决幂函数图象问题的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．　　 2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 (　　) A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c 题型三　利用幂函数的单调性比较大小　 [探究发现] 如何判断幂函数y＝xα的单调性？ 提示：①幂函数y＝xα的单调性主要通过α的正负判断，并且在第一象限内单调性的规律体现得比较明显． ②α＞0时，幂函数y＝xα在第一象限内单调递增；α＜0 时，幂函数y＝xα在第一象限内单调递减． 【学透用活】 [典例3]　比较下列各组数中两个数的大小： [方法技巧] 1．比较幂的大小的三种基本方法 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 中间 量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 2．利用幂函数单调性比较大小时的注意点 比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．　　 【对点练清】 1．(多选)下列不等式在a＜b＜0的条件下能成立的是 (　　) [解]　(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， ∴m与m＋1中必定有一个为偶数， ∴该函数的定义域为[0，＋∞)， 由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增． 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象所过定点、单调性、奇偶性等． (2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论思想、数形结合思想．　　 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求实数m的值； (2)请画出f(x)的大致图象； (3)若f(2a－1)＞f(a)，a∈R成立，求a的取值范围． 二、应用性——强调学以致用 2．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式的加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是什么？ 明确目标 发展素养 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x ，y＝x3的图象，理解它们的变换规律 2.掌握五个幂函数的图象与性质 3.会画幂函数的图象，并能概括出它们的共性 1.结合幂函数的图象，培养直观想象素养 2.借助幂函数的性质，培养逻辑推理素养 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝xeq \f(1,2) y＝eq \f(1,x) 图象 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)． (　　) (2)幂函数的图象都不过第二、四象限． (　　) (3)当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数． (　　) (4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为 (　　) A．y＝x＋2　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝eq \r(x) D．y＝x3 3．在下列四个图形中，y＝x 的大致图象是 (　　) 解析：函数y＝x 的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D. 答案：D　 5．已知幂函数f(x)＝xα图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________. 解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))， ∴2α＝eq \f(\r(2),2)，∴α＝－eq \f(1,2). 即f(x)＝x ，∴f(4)＝4 ＝eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) 题型一　幂函数的概念　 【学透用活】 [典例1]　(1)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm在(0，＋∞)上为减函数，则f(3)等于 (　　) A.eq \f(1,9)　　　 B．9　　　　C.eq \f(1,3)　　　　D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________. [解析]　(1)由f(x)为幂函数得m2－3＝1，m＝±2，又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数， ∴m＝－2，故f(x)＝x－2，f(3)＝eq \f(1,9). (2)∵f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数， ∴m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. [答案]　(1)A　(2)5或－1 eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 1．在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1 的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数． 答案：B　 [典例2]　若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，当x为何值时：(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)? [解]　设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得： (1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 1．函数y＝x －1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　　) 解析：y＝x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x －1的图象可看作由y＝x 的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x －1的图象关于x轴对称后即为选项B. 答案：B　 解析：令a＝2，b＝eq \f(1,2)，c＝－eq \f(1,3)，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B. 答案：B　 [解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又eq \f(2,5)>eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5. (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1. 答案：ABC　 题型四　幂函数性质的综合应用　 【学透用活】 [典例4]　已知函数． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数图象经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． (2)∵该函数图象过点(2，eq \r(2))， ， ∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)． 由f(2－a)>f(a－1)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a＞a－1，)) 解得1≤a<eq \f(3,2). 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数． (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值； (2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值． 解：(1)函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为幂函数， ∴m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3. 当m＝2时，f(x)＝x－3，不是偶函数，舍去； 当m＝3时，f(x)＝x－4，为偶函数，满足题意． ∴f(x)＝x－4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝16. (2)由f(2a＋1)＝f(a)，可得(2a＋1)－4＝a－4， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋1＝±a，,2a＋1≠0，,a≠0，))解得a＝－1或a＝－eq \f(1,3). 解：(1)由函数f(x)是幂函数， 则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1. 又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＝－2. (2)由(1)知，f(x)＝x－2， 则f(x)的大致图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上递减， 则由f(2a－1)＞f(a)， 得|2a－1|＜|a|，即(2a－1)2＜a2， 可得(a－1)(3a－1)＜0， 解得eq \f(1,3)＜a＜1.又a≠eq \f(1,2)， 所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 解：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝eq \f(1,2)，则y＝xeq \f(1,2).由xeq \f(1,2)＝3，得x＝9.即解密后得到的明文是9. 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图． (1)参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的性质． (2)试探究函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的性质，并画出它的简图． 解：(1)①定义域：∵x≠0， ∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}． ②值域：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． ③奇偶性：∵f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数． ④单调性：由函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的图象可知， 函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,0)，(0,1)上单调递减． (2)①定义域：{x|x≠0}． ②值域：(－∞，－2eq \r(a)]∪[2eq \r(a)，＋∞)． ③奇偶性：奇函数． ④单调性：函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)上为增函数，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上为减函数． 证明：任取x1，x2∈(0，eq \r(a)]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(a,x1)－x2－eq \f(a,x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x1x2))). ∵0<x1<x2≤ eq \r(a)，∴x1－x2<0,0<x1x2<a， ∴eq \f(a,x1x2)>1，∴1－eq \f(a,x1x2)<0，∴f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(0，eq \r(a)]上为减函数． 任取x1，x2∈(eq \r(a)，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x1x2))). ∵x1－x2<0，x1x2>a， ∴eq \f(a,x1x2)<1，∴1－eq \f(a,x1x2)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在(eq \r(a)，＋∞)上为增函数． 同理，f(x)在(－∞，－eq \r(a))上为增函数，在(－eq \r(a)，0)上为减函数． 其图象如图所示． $$