3.2.2 奇偶性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统涵盖定义、图象特征、判断方法及与单调性的综合应用，通过课前预习任务单梳理偶函数、奇函数定义及定义域特征，结合微思考和基础小试搭建学习支架，帮助学生衔接函数概念，形成知识脉络。 其特色在于以“自主学习—师生共研—强化素养”为主线，注重数学眼光（如利用图象对称性培养直观想象）、数学思维（如通过定义法、性质法判断奇偶性发展逻辑推理）和数学语言（如用分段函数解析式表达奇偶性特征）。例如典例分析中结合奇偶性求参数值，强化数学运算；利用奇偶性与单调性解不等式，提升问题解决能力。学生能深化概念理解，培养探究意识，教师可依托结构化资源实施高效教学。

3. 2. 2　奇偶性 明确目标 发展素养 1.理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征 2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或解析式 3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养 2.借助函数奇偶性的判断方法，培养逻辑推理素养 3.借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理和数学运算素养 知识点　函数的奇偶性 (一)教材梳理填空   偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有 ，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于 对称 关于 对称 定义域特征 关于 对称 奇偶性 如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有_______ －x∈I f(－x)＝f(x) －x∈I f(－x)＝－f(x) y轴 原点 原点 奇偶性 [微思考]　既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)＝0(x∈R)这一函数吗？ 提示：不是只有一个，有无数个，如f(x)＝0(x∈[－1,1])，f(x)＝0(x∈[－2,2])． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． (　　) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数． (　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．下列函数是偶函数的是 (　　) A．y＝x　　 B．y＝3x2 C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1]) 解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数． 答案：B　 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a－1＝0，即a＝1. 答案：C　 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)， 所以f(x)＝－x－1. 答案：－x－1 [解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数，即f(x)既不是奇函数又不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数． 函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图象法： (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．　　 解：(1)函数f(x)的定义域为R. 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (2)函数f(x)的定义域是R. 因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3 ＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． ∴f(x)是R上的奇函数． 题型二　奇函数、偶函数的图象问题　 【学透用活】 [典例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x) 在[－5,5]上的图象关于原点对称． 由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 巧用奇函数、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇函数、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题．　　 题型三　利用函数的奇偶性求解析式　 【学透用活】 [典例3]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.　 1．利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇函数、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解． 2．利用函数奇偶性求函数解析式的三个步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　 【对点练清】 1．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 答案：4 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，　 　① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2, ② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x. 题型四　函数单调性与奇偶性的应用　 [探究发现] (1)如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在区间(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在区间(－b，－a)上的单调性如何？ 提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在区间(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在区间(－b，－a)上单调递增． (2)若偶函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？ 提示：f(－2)>f(3)；若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.　　 [方法技巧] 比较函数值大小问题的求解策略 (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 角度(二)　解不等式问题　 [典例5]　已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，因此我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．　　 【对点练清】 1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 (　　) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 解析：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)． 答案：A　 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是 (　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 解析：因为函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)．又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2. 答案：C　 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象． (2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论，当实数k为何值时，函数g(x)有1个零点？2个零点？3个零点？ (2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k. 结合函数的图象可知： ①当k＜－1或k＞1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点． ②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点． ③当－1＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)有3个交点，即g(x)＝f(x)－k有3个零点． 题型一　函数奇偶性的判断　 【学透用活】 [典例1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.)) eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1). 2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3，x＜0，,0，x＝0，,－x2＋2x－3，x＞0，))试判断函数f(x)的奇偶性． eq \a\vs4\al([方法技巧]) 【对点练清】 如图是函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据． 解：因为f(x)＝eq \f(1,x2＋1)，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝eq \f(1,－x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示． [解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3). 又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. [答案]　(1)eq \f(1,3)　0　(2)0 eq \a\vs4\al([方法技巧]) 2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式． 解：因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．又f(0)＝0，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x，x≥0，,－xx－1，x<0.)) 【分类例析】 角度(一)　比较大小　 [典例4]　若对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则 (　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2) B．f(2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1) C．f(2)<f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2) [解析]：∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴f(2)＝f(－2)． 又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数， 且－2<－eq \f(3,2)<－1， ∴f(2)＝f(－2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，故选B. [答案]　B [解]　因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数． 又f(1－m)<f(m)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).)) 解得－1≤m<eq \f(1,2). 故实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x. 设x＜0可得－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. ∵函数f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. ∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.)) 函数的图象如图所示． 二、创新性——强调创新意识和创新思维 2．阅读下面材料，尝试类比探究函数y＝x2－eq \f(1,x2)的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，作出函数的图象． 阅读材料： 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．” 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子． 对于函数y＝eq \f(1,x)，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如： (1)在函数y＝eq \f(1,x)中，x≠0，可以推测出，函数的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，函数的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交． (2)在函数y＝eq \f(1,x)中，当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，可以推测出，函数的图象只能在第一、三象限． (3)在函数y＝eq \f(1,x)中，若x∈(0，＋∞)，则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，函数的图象越向右越靠近x轴；若x∈(－∞，0)，则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，函数的图象越向左越靠近x轴． (4)由函数y＝eq \f(1,x)可知f(－x)＝－f(x)，即y＝eq \f(1,x)是奇函数，可以推测出，函数的图象关于原点对称． 结合以上性质，逐步推测出函数y＝eq \f(1,x)的图象，如图所示． 在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，又用到了分类讨论的思想；既进行了静态(特殊点)的研究，又进行了动态(趋势性)的思考．让我们享受数学研究的过程并传播数学研究的成果吧！ 解：(1)在y＝x2－eq \f(1,x2)中，x≠0，可以推测出函数的图象不经过y轴，即与y轴不相交． (2)令y＝0，即x2－eq \f(1,x2)＝0，解得x＝±1，可以推测出，函数的图象与x轴相交，交点坐标为(1,0)和(－1,0)． (3)在y＝x2－eq \f(1,x2)中，当0＜x＜1时，eq \f(1,x2)＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，eq \f(1,x2)＜1＜x2，则y＞0，可以推测出函数在区间(0,1)上的图象在x轴的下方，在区间(1，＋∞)上的图象在x轴上的上方． (4)在y＝x2－eq \f(1,x2)中，若x∈(0，＋∞)，则当x逐渐增大时eq \f(1,x2)逐渐减小，x2－eq \f(1,x2)逐渐增大，即y逐渐增大，所以函数在(0，＋∞)上单调递增，可以推测出函数在区间(0，＋∞)上的图象向右的趋势是单调递增的． (5)由函数y＝x2－eq \f(1,x2)可知f(－x)＝f(x)，即该函数为偶函数，可以推测出，函数的图象关于y轴对称． 综上，可以推测出函数y＝x2－eq \f(1,x2)的图象，如图所示． $$