3.1.2 第一课时　函数的表示法课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）及分段函数，通过自主学习任务单（含教材梳理、微思考、基础小试）衔接函数定义旧知，搭建预习支架，为课堂师生共研函数表示法的选择与应用做铺垫。 其亮点在于“自主-共研-强化”三段式设计，结合售彩电、学生离校等生活实例培养数学建模，通过函数图象分析发展直观想象，创新性题目（如不动点、稳定点）提升数学思维。学生能在实践中养成核心素养，教师可借助完整流程与分层练习高效教学。

3. 1. 2　函数的表示法 明确目标 发展素养 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．理解函数图象的作用 3.通过具体实例，了解分段函数，并能简单应用 1.通过用图象法表示函数，培养直观想象素养 2.通过求函数解析式及分段函数求值，培养数学运算素养 3.利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养 第一课时　函数的表示法 知识点　函数的表示法 (一)教材梳理填空 解析法 用 表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用 表示两个变量之间的对应关系 数学表达式 表格 图象 [微思考]　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 提示：要检验一个图形是否为函数的图象，方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)任何一个函数都可以用列表法表示． (　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　) (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1,5]的图象是 (　　) A．直线　　　　B．射线 C．线段 D．离散的点 解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1,5]，则此时图象为线段．故选C. 答案：C　 4.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为 (0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________. 解析：结合题图可得f(0)＝3， 则f(f(0))＝f(3)＝0. 答案：0 5．已知下面表格表示的是函数w＝g(u)，则g(－1)＝________，g(0)＝________，g(2)＝________.则2________(填“是”或“不是”)这个函数值域中的元素. 答案：4　5　7　不是 u －2 －1 0 1 2 w 3 4 5 6 7 题型一　函数表示法　 【学透用活】 [典例1]　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　①列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． [方法技巧] 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　 【对点练清】 1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 答案：D　 2．将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图3可得函数的值域是[－1,8]． 　 　　 　　 　　 图1　　　　　 图2　　　　　　图3 [方法技巧] 用描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．　　 【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________， 值域是_______． 解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 答案：[－3,3]　[－2,2] 2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y ＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线． 如图2. [方法技巧] 求函数解析式的四种常用方法 【对点练清】 求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 二、应用性——强调学以致用 2．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的函数解析式为________；当物体的质量为10 kg时，y＝________cm.(注：弹簧始终在弹性限度内) 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”；若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}． (1)求证：A⊆B； (2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B. 解：(1)证明：∀x∈A，即f(x)＝x， 则有f(f(x))＝f(x)＝x，x∈B，∴A⊆B. 3．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为 (　　) A．y＝eq \f(1,x) B．y＝－eq \f(1,x) C．y＝eq \f(2,x) D．y＝－eq \f(2,x) 答案：C 解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}． ①解析法：S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－x,4)))2. 将上式整理得S＝eq \f(1,8)x2－eq \f(5,4)x＋eq \f(25,4)，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}． ②列表法： 一段铁丝长x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S/cm2 eq \f(41,8) eq \f(17,4) eq \f(29,8) eq \f(13,4) eq \f(25,8) eq \f(13,4) eq \f(29,8) eq \f(17,4) eq \f(41,8) ③图象法： 题型二　函数图象的作法及应用　 【学透用活】 [典例2]　作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图1可知，其值域为[1,5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，观察图2可知其值域为(0,1]． 题型三　函数解析式的求法　 【学透用活】 [典例3]　求下列函数的解析式： (1)已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)； (2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． [解]　(1)设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x， 联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，)) 消去f(－x)可得f(x)＝eq \f(2,3)x－1. 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 解：(1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6. 于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－6.)) ∴f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6. (3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②，得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立． (1)求f(0)与f(1)的值； (2)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)； (3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值． 解：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0, 得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0. (2)证明：令a＝eq \f(1,x)，b＝x，得f(1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝0， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)． (3)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p. 令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q. 令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q. 解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝eq \f(1,2)，所以所求的函数解析式为y＝eq \f(1,2)x＋12(x≥0)，当x＝10时，y＝17. 答案：y＝eq \f(1,2)x＋12(x≥0)　17 (2)∵f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}， 则方程x2＋ax＋b＝x的两根是－1,3， 即方程x2＋(a－1)x＋b＝0的两根是－1,3， 即－1＋3＝－(a－1)，－1×3＝b， 解得a＝－1，b＝－3，故f(x)＝x2－x－3. 若f(f(x))＝x，即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x， 即x4－2x3－6x2＋6x＋9＝0， 即(x＋1)(x－3)(x2－3)＝0， 解得B＝{－1,3，－eq \r(3)，eq \r(3)}． $$