3.3 一元一次方程的解法&应用技巧专题 解一元一次方程的八种应用类型-【学海风暴】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第4课时去分母 1.D2.D3.C 4.6020x-12(2x1)=15(3x+4)-60等式的基本性 5.C6.A 7.解：(1)去分母，得2(2x-1)-(3x十1)=4， 去括号，得4x-2-3x-1=4, 移页，得4x-3x=4十2十1， 合并同类项，得x=7, (2)去分母，得5(3x一1)=2(4x十2)-10， 去括号，得15x-5=8x十4-10， 移项，得15x一8x=4-10十5， 合并同类项，得7x=一1， 1 两边都除以7，得工=一7 8.解：从第①步开始出错，去分母时一2泥乘6. 正确的变形过程如下： 去分母，得3(x一7)=2(1十x)一12， 去括号，得3x一21=2十2x-12, 移项，得3x-2x=2-12+21, 合并同类项，得x=11. 9.A10.A11.-1 12.解：(1)去分母，得3(x一3)=4一(1十2x), 去括号，得3x一9=4一1一2x, 移项，得3x十2x=4一1十9， 合并同类项，得5x=12, 两边都降5，得三号 @深为程可变形为2一业-150” 25 去分母，得25(2-10x)-112.5=3(10-30x), 去括号，得50一250x一112.5=30一90z, 移项，得一250z十90x=30-50十112.5， 合并同类项，得一160x=92.5, 两边都幸以一10，得x一一器 13.解：方法一： 去分每，得4(15x十1)-6(10x-1)=3x, 去括号，得60x十4一60x十6=3x, 移项，得60x一60x一3x=-6一4， 合并同类项，得一3z=一10， 10 两边都除以一3，得工=了 方法二： 原方程可化为5红+行一（x一）兰 去括号，得5x十-5x十-宁， 移项，得5红一5红一-一 合并同类项，得-气=一音 5 两边都家以一名得4一号 因为方法二计算快捷，所以我认为方法二更简便.（答 唯一) 14.解：1方程=1-音去分母，得3c-1=12-2。 去括号，得3x一3=12-2x, 移项，得3x十2x=12十3， 合并同类项，得5x=15, 两边都除以5，得x=3. 质2 把x=3代入2(x十3)=4k,得12=4k,所以k=3. (2)由方程x一2(x一m)=4,得x=2m一4.把x=2m一4 代人十-三-1，得2m一，4十_m二4-1， 2 5 2 5 去分母，得5(3m-4)-2(2m-4)=10, 去括号，得15m一20-4m十8=10， 移项、合并同类项，得11m=22, 两边都除以11，得m=2. ◆一题多解法◆ 解：日方程分--音去分号，得36-1》=12-2x 去括号，得3x-3=12-2x,移项，得3z十2x=12十3， 合并同类项，得5x=15, 两边都除以5，得x=3. 由方程2（红十3）=4，得x=2k-3, 所以2k一3=3，所以虑=3. (2)由方程x一2(x一m)=4,得x=2m一4， 方程查”-言-1去分号，得5红十m)一2红=10，去 括号，得5z十5m-2z=10,移项，得5z-2x=10 5m,合并同类项，得3z=10一5m,两边都除以3，得x 10-5m所以10二5m=2m一4.方程0.0 3 3 =2m 4去分母，得10一5m■3(2m一4)，去括号，得10一5m =6m一12，移项，得-5m-6m=-12-10,合并同类 项，得-11m=一22，两边都除以-11，得m=2. 33一元一次方程的解法 1.D 2.解：(1)移项，得5x一2x=-3十9， 合并同类项，得3x=6, 两边都除以3，得x=2, (2)去括号，得2x一6=1-3x一3， 移项，得2x+3z=1一3十6， 合并同类项，得5x=4, 两边都除以5，得x=了 4 3据：由题点，得号+牛7-0， 3 去分母，得15x-5(x-1)十3(x十3)-105=0， 去括号，得15x-5x十5十3x十9-1050， 移项，得15x一5x十3x■一5-9十105， 合并同类项，得13x=91, 两边都除以13，得x一7 故当x=7时，x一 3的值与乙十3 -1 5 7的值互为相反数。 4.解：设a=2红十，原方程可转化为。-（行4+5）门-1， 去括号，得4a-2a-20=1, 不 移项，得4a一2a=1十20， 合并同类项，得2a=21, 两边都保以2，得a一碧 所议2红十4-21， 4 上册参考答案 177 应用技巧专题解一元一次方程的 八种应用类型 1解：1去中搭号，得（分-）-6受， 去小指号，得宁x-是-6x, 1 3 25 移项、合并同类项，得一x=了， 两达同降以-1，将=一空 1 1 171 (2)法小括号，得x一工一立十玄」一 1 111 去中指号，得x一x+一 移项，合并同类项，得之x=0, 两边司乘2，得x■0. 2解：分母化为整数，得红二红_10+20-0.6， 5 3 去分母，得3(4x一21)=5(10十20x)一9， 去括号，得12z一63=50十100x一9， 移项、合并问类项，得一88z=104, 两达同降以一85，得=一是 3.解：由题意，得m2-1=0,且m十1≠0， 所以州=1。 把m=1代入关系武受+号-A-4,得受 1 +3 =n一4： 去分母，得3n十2=6m一24， 移项、合并同类项，得一3m=一26， 26 两边同除以一3，得n=3 4.解：(1)把x=4代人方程3(2x一1)=+2x, 得3(2×4-1)=k+2×4,解得k=13. 把k=13代入方程二克-x十2， 2 得13-工十26，解得x=一65。 2 (2)解方程3(2x-1)=k十2x,解得x-+3 4 解方程号-x十2，部得二一政. 因为方程32x-1)=友+2z和，2-z+2张的解相同， 2 听生 1 一5k,侧得及=一 5.解：(1)因为去分母时，漏掉了左边的“十1”， 所以2-中4 4 将x=4代人，得X4二4-+2 3 4 去分母，得4(8-a)=3(4十2a), 去括号，得32-4a=12+6a, 移项.合并同类项，得一10a=一20 两边同除以一10，得a=2. 2当4=2时，原方程可化为。+1-牛兰 4 去分母，得4(2x一2)十12=3(x十4)， 去括号，得8x一8十12=3x十12， 178 七年级数学XJ版 移项、合并同类项，得5x=8, 8 两边同除以5，得x=百 6族：a空 8 ②设y=9虹+2，测原方程可化为若-兰-号-是， 去分母，得3y-5y=6y-8, 移项，得3y一5y一6y=一8， 合并同类项，得-8y=-8, 两边同除以一8，得y=1,所以9x十2=1， 、1 解得x=一g 7.解：(1)当2x十1≥0时，原方程可化为2x十1=7， 解得x=3: 当2x十1<0时，原方程可化为2x十1=一7， 解得x=一4 故原方程的解是x一3或一4 (2)①m<1②1③m>1 (3)①当x一2≥>0，即x≥2时，原方程可化为x一2十x一1= 5,即2x=8,解得x=4: ②当x一1≤0，即x≤1时，原方程可化为2-x十1一x=5, 即-2x=2,解得x=-1: ③当1<x<2时，原方程可化为2-x十x一1一5，此时方程 无解 放原方程的解为x=4或一1， 8解：)由题意，得子*3=子·32+2·子3+子=4红，所 以4x=x-3,解得x=一1. 2油题意，得（安）（一》=生×(-3十2·中 (-3+生=2y+2,则2y+2*=2y+2(2）】 +2+20+y+2-+2 所以学十号=y十4，每得y=一 3.4一元一次方程的应用 第1课时列一元一次方程解决行程问题 1.A2.3 3.解：设两人相遇的次数为x 依题意，得00X2 x=60×X2, 5+4 27 解得x=行 又因为x为整数，所以x取5. 故起跑后2min内，两人相遇5次 4.2.9x+20)=3.1(x-20) 5.解：设A,B两港口之间的路程是xkm 根据意，得音-5=号+5，解得x=15。 放A,B两港口之间的路程是175km, 6.解，设小明步行的时间为xh. 48min=0.8h. 根据题意可得，4x十36×(0.8一x)=22.4,解得x=0.2, 则步行的距离为4×0.2=0.8(km),0.2h=12min. 故小明步行的时间为12min,距离为0,8km.3.3一元一次方程的解法 恋 要圆提园 1,对于只含有未知数x的一元一次方程，可以通过去分母、去将号、移项、会并同典项，然后吾除以未知数 的系数，从而将其化为工一4的形式。这实质上是求方程的解的过程。 2.京方程的解的过程叫作解分程。 @课内基础练 已课外拓展练 知识点解一元一次方程 3.当x为何值时，x一 号己的值与-7的 1.在解方程3x十1_2工5 =1时，步骤如下： 值互为相反数？ 解：3(3x十1)-(2x-5)=6,① 9x+3-2x+5=6,②@ 9x-2x=6-3-5,③ 7x=-2,④ x= 2 ⑤ 下列选项中，步骤与其依据搭配错误的是 A.①去分母等式的基本性质2 4.在解决数学问题时，可以将某个式子看作一 B.②去括号乘法分配律 C.③移项等式的基本性质1 个整体，用一个字母去代替它，从而使问题 D.⑤系数化为1等式的基本性质1 得到简化，这样的方法叫作换元法.换元法 2.解下列方程： 的关键是设元.例如，在解方程3{2x一1 (1)5x-9=2x-3. [3(2x-1)+3]}=5时，把2x-1看作一个 整体.设a=2x一1，原方程可转化为3[a (3a+3)]=5,解得a=- 3,所以2x-1 3,解得x=- 2 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 42(c+2)-[号(2x+40+5]}=1. (2)2(x-3)=1-3(x+1). 64 七年级数学X版 应用技巧专题 解一元一次方程的八种应用类型 题型① 解方程在解含多重括号的方程中的应用 题型④ 解方程在涉及一元一次方程的解 1.解方程：①[分-)-8- 中的应用 4.已知关于x的两个方程3(2x一1)-k+2x ②x-]--明 和 =x十2k. (1)若方程3(2x一1)=k十2x的解为x=4, 求方程-x十2张的架 2-x+ (2)若方程3(2x-1）=+2x和2 2k的解相同，求k的值. 题型② 解方程在解分母为小数的方程中的 应用 2.解方程 0.4x-2.1_0.1+0.2x-0.6. 0.5 0.03 题型⑤ 解方程在错解问题中的应用 8小明第方程2。+1-十时，由于粗心 3 大意，去分母时，漏掉了左边的“十1”，由此 求得的解为x=4, (1)试求a的值， 题型③解方程在一元一次方程定义中的应用 (2)请你正确地解出原方程. 3.已知(m2-1)x2-(m十1)x十8=0是关于 x的一元一次方程，且清足关系式号十罗 =n一4.求n的值 上册第3章 5△ 题型⑥整体求解法在解方程中的应用 ③若方程有两个解，则m的取值范围是 6李老师在课堂上，提出这样一个问题： (3)解方程：lx-2+1x-1=5. 解方程：号(2x+5)-1=4号2x+5). 小亮认为本题可设y=2x十5，因而原方程 可化为，-1-4-，只要求出y的值， 即可求出x的值 (1)根据小亮的思路，求得y= 进而求得x= 9x+2_9x+2 (2)利用上述方法解方程：5 3 18x+48 5 15 题型⑧解方程在新定义问题中的应用 8.用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b,规定a*b=ab2十2ab+a.如：13=1 ×32+2×1×3+1=16. 1)若行*3=x-3,求x的值。 2若（生）(-3]+号-y+4,求y的 题型⑦解方程在含绝对值问题中的应用 值 7.先阅读下列解题过程，然后解答问题。 解方程：|x-5-2. 解：①当x-5≥0时，原方程可化为x-5= 2,解得x=7: ②当x一5<0时，原方程可化为x一5= 一2，解得x=3, 故原方程的解是x=7或3. (1)解方程：2x十1=7. (2)已知关于x的方程x十3=m一1： ①若方程无解，则m的取值范围是 ②若方程只有一个解，则m的值为 66 七年级数学X版