专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，使用是解决本题的关键． 根据二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数，常数项， 根据二次方程根与系数的关系，两根的乘积为， 因此，的值为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·课后作业）若关于x的方程的一个根为2，则另一个根为 【答案】5 【分析】已知一元二次方程中的二次项系数和一次项系数，利用根与系数的关系，就可以求出另一个根 【详解】由题意， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系即可解决问题 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则 ． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论； （1）等腰三角形的性质得出或，根据一元二次方程根与系数的关系得出或，，即可求解； （2）此等腰三角形腰长不为，则，进而根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 故答案为：． （2）当时， 是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程，如果满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． (1)判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 【答案】(1)是和谐方程，理由见解析 (2) 【分析】（1），先明确方程中、、的值，再将其代入计算，根据结果判断是否为和谐方程． （2）先把已知根代入方程得到一个等式，再结合和谐方程的条件得到另一个等式，联立求解出、的值，进而得到方程，最后求解方程得到另一个根． 本题主要考查了新定义下一元二次方程的相关知识，熟练掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和谐方程 理由：∵， ， 故此方程为和谐方程． （2）解：将代入方程，得① ∵方程为和谐方程， ∴， 由①②得， ∴这个和谐方程为， 解得， ∴这个方程的另一个根为 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）设，，且，则代数式的值为（    ） A．5 B．3 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据已知得出，是一元二次方程的两根，则，，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，，且， ∴，可以看作是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于的一元二次方程的两个根是，，若，则代数式的值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：， ∵， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的根与因式分解以及代数式求值，解题的关键是利用已知根求出代数式的系数、． 因为和时，代数式的值为0，所以可将代数式因式分解为，进而求出、，再代入求值． 【详解】将分别代入， 得， 解得， ∴代数式为， 当时， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）如果是两个不相等的实数，且满足 ，那么代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到代入求解即可． 【详解】 是两个不相等的实数 是的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系，可得： 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 【答案】(1)36   (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先把，代入，可得，再代入原方程，再利用因式分解法，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，再利用完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程为， ∴ ， 解得：； （2）∵于的方程为常数）有两个实数根， ∵ （3）∵于的方程为常数）有两个实数根， 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（  ） A． B．2015 C． D．2017 【答案】D 【分析】、是方程的两个实数根，则，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 是方程的两个实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，是方程的两根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，代入计算即可求解． 【详解】∵，是方程的两根， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根与系数的关系以及一元二次方程的根的含义等知识，根据题意得出，，是解答本题的关键． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将待求式子提取公因式后整体代入求值． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由题意可得m，n是方程的两个不相等的实数根，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·四川简阳·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)15 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】 （24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）已知m､n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．9 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，，由，整体代入求解即可． 【详解】解：∵m､n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于x的一元二次方程的解为，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系可得，，求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ，， 解得：，， ∴， 故答案为： 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，整式的混合运算，解题的关键是牢记两根之和等于、两根之积等于． 根据先将整式化简，，是方程的两个根，求得，，代入即可求解； 【详解】解： ，是方程的两个根， ，， 将，代入 可得： 故答案为： 4．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式的求值，掌握“利用根与系数的关系构建整体，再代入求值”是解本题的关键． （1）将代入方程即可求出； （2）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到，即，代入代数式化简即可求出答案． 【详解】（1）解：是方程的一个根，代入方程得：， 即， ； （2）解： a与（）分别是关于x的方程的两个根， ，， 与都是整数， 与同为整数， ， ， ， ， 将代入， 原式， ， ． 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）已知，是方程的两个根，则值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意易得，然后把所求代数式进行适当变形，进而代值求解即可． 【详解】解：由，是方程的两个根，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】方程含有绝对值，先化简原方程为两个方程，再利用一元二次方程有两个不等实数根时，根的判别式，建立关于的不等式，结合根与系数的关系，即可求得的取值范围． 【详解】设，则原方程为：即， ∵方程有个互不相等的实数根， ∴方程有个互不相等的正实数根， 设与是方程的两个根， ∴， 解得，故、、符合题意，不符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根．注意方程中含有绝对值时，要把方程化为两个方程后分析求解． 2．（2025·福建厦门·模拟预测）若关于x的一元二次方程两根，且则m值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入求解即可． 【详解】解：解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求值． 解：因为一元二次方程的两个实数根分别为m，n， 所以， 所以． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则________，________． (2)类比应用：若一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． (3)思维拓展：若一元二次方程的两个根为，利用以上关系及所学知识，求代数式的最值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，配方法的应用， （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，然后代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程：的两个根为， ， ， 故答案为：； （2）一元二次方程：的两根分别为m，n， ， （3）由题意可得 ∴代数式的最小值为． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（2025·四川遂宁·模拟预测）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据嘉嘉及琪琪的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和， ∴两根之和， ∴当时，； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和6， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于的方程的一个根是， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（2025·四川宜宾·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若，则方程一定有两不相等的实数根；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；④若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当时，，则根据根的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；若，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；可对③进行判断；若，计算出，方程没有实数根，据此对④进行判断． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②当， 若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根， 若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； ③∵若方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴此时方程若，则一也一定有两个不相等实数根，若，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；故③不准确； ④若， ， ∴方程没有的实数根，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②．共2个。 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系，整式的乘法，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元三次方程有三个实数根，，， ∴， ∴ ， ∴，，， ∵的三个实数根为，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值等知识点， 根据根与系数的关系进行求解即可； 根据根与系数的关系可得：,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 可把与看作是方程的两个实数根，则有,再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 熟练掌握两根之和等于,两根之积等于是解决此题的关键． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为, , ； （3）解：实数满足,且， 是一元二次方程的两个实数根， ． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（2025·福建厦门·模拟预测）定义运算：a⋆b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆a-(b+1)⋆b的值为（    ） A．0 B．2 C．4m D．-4m 【答案】A 【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a⋆b=2ab对式子(a+1)⋆a-(b+1)⋆b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可． 【详解】∵a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根， ∴a+b=-1， ∵定义运算：a⋆b=2ab， ∴(a+1)⋆a-(b+1)⋆b =2a(a+1)-2b(b+1) =2a2+2a-2b2-2b =2(a+b)(a-b)+2(a-b) =-2(a-b)+2(a-b)=0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键． 1．（24-25九年级上·遂宁·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 2．（2025·四川宜宾·模拟预测）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．（2025·四川内江·模拟预测）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（24-25九年级上·四川简阳·期末）对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 【详解】解：①若，则是方程的根，故判别式，正确； ②方程有不相等实根，则，则方程的判别式，则必有两个不相等实根，正确； ③将代入方程得，因式分解为，当时，不一定为0，故不一定成立，错误； ④原方程根为4和，则，，得，，新方程化简为，根为5和，与题目所述3和不符，错误； 综上，正确结论为①和②，共2个， 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程的两根，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若，要使得成立，则n至少为4． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键． ①先化简，根据根与系数的关系得，，即可求解；②对于整数x、y，若为偶数，则x、y同为偶数或同为奇数，为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先计算，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解． 【详解】解：①x、y为方程的两根， ∴，， ∴ 故说法错误； ②对于整数x、y，若为偶数， 则x、y同为偶数或同为奇数， ∴为偶数或奇数， ∴的结果可能为奇数或偶数， ∴得到的一定为偶数说法错误； ③若，则 ， 然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算， 则 ， ， ∵ ∴要使得成立，则n至少为4，说法正确， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④． 【详解】解：若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确； 由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误； 若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确． 若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c）， 而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2 =4a[-（bm+c）]+4abm+b2 =4abm-4abm-4ac+b2 =b2-4ac．故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵ ， ∴④不正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知，满足，，求的值； (3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______． 【答案】(1)，，，6 (2)或2 (3)4 【分析】（1）如果关于的方程的两个根是，，那么可得出，，根据这一结论，可以得出答案． （2）分和两种情况讨论． （3）由已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，可把、看作方程的两个根，再利用判别式的意义得，解不等式即可． 【详解】（1），； ，； （2）由题意，、是方程的解， ①若，则，， ∴， ∴， ②若，则； （3）∵， ∴， 把、看作方程的两个根， ∵， ∴，且是正整数， ∴的最小值是4 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，；也考查了判别式的意义． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意； 是一元二次方程的根， ， ， ，故B说法正确，不符合题意； 方程两根为，且满足， ，， ，， 方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． 则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． 【答案】①③ 【分析】本题考查绝对值的分类讨论，根与系数的关系，根的判别式等知识点，根据绝对值的性质，根与系数的关系，根的判别式解题即可．（1）根据根与系数的关系即可判断①，（2）分为和两种情况，分别将，表示出来，相加即可判断②，（3）由得出的范围，由二次函数图象的性质可得，，时y的值，即可判断③，（4）利用根与系数的关系将等量关系化为关于b，c的式子，即可判断④； 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴，， 当时， ， ， 当时， ， ， 故②错误； ，，， ， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故④错误； 故答案为：①③； 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系： ①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）． 解决问题： (1)验证关系： 给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； (2)应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________； (3)能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：和是关于x的方程的两个实数根， ∵，，又∵，∴， 则，即，解得，． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【答案】(1)是； (2)（答案不唯一）； (3)小秦同学的解法不正确，理由见详解． 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系和根的判别式． （1）根据求根公式求出的两个根，再根据题意求出和即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据题意得出，解答即可． 【详解】（1）解：， 则， 即，， ∴， ； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， ∴设一元二次方程的一般式是， ∴， 解得：， ∴这个一元二次方程的一般形式为； （3）解：小秦同学的解法不正确， 理由：， ∴，， 又∵， ∴， 则，即， 解得：，， 又∵，解得：， ∴． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程；有两个不相等的实数根，则，列出关于k的不等式求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，再根据得到． 【详解】（1）解：，   ∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴．     ∴． 解得，． 又∵， ∴． 2．（24-25九年级上·四川陕西汉中·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出的值，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为，， 则：，； （2）解：∵一元二次方程 的两个根为，， ∴，， ∴； （3）解：∵，是关于x的方程的两个实数根 ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， 解得：， ∴不符合题意，. 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 2．（2025·四川宜宾·模拟预测）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 【答案】，，，，，r 【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到，最后得到根与系数关系，，即可； 【详解】解：根据材料提示得， ， ， ， ， ， ， ，，； 故答案为：，，，，，-r． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经市场调研发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为600个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是10000元？ (2)这种背包的销售利润有可能达到13000元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)50元 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”． （1）设这种背包销售单价为x元，则每个的销售利润为元，月均销量为个，根据总利润=每个的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，求出x的值，结合要减少库存，即可得出答案； （2）这种背包的销售利润不可能达到13000元，设这种背包销售单价为y元，则每个的销售利润为元，月均销量为个，根据总利润=每个的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即这种背包的销售利润不可能达到13000元． 【详解】（1）解：设这种背包销售单价为x元，则每个的销售利润为元， 月均销量为个， 由题意得： 整理得：， 解得：， 又∵要减少库存， ∴， 答：当这种背包销售单价为50元时，销售利润是10000元； （2）解：这种背包的销售利润不可能达到13000元，理由如下： 设这种背包销售单价为y元，则每个的销售利润为元，月均销量为个， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即这种背包的销售利润不可能达到13000元． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的最大值为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根则；当方程有两个相等的实数根则；当方程没有实数根则，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）根据根与系数的关系进行求解即可； （）根据根与系数的关系可得，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （）由 ，，将看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ，， ∵， ∴原式； （3）解：∵ ，， ∴将看作是方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2），，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； （3）， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． 1．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，， 即的两个根分别是，， 则，， 解得， 故，， 故， 解得 故选：A． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·开学考试）如图，背面图案，形状大小都相同的四张卡片的正面分别写有关于的方程的四个说法．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，求概率，先根据判别式判断根的个数，结合根与系数之间的关系判断说法正确的卡片的数量，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 若是原方程的两个根，则：， ∴说法正确的卡片有2张， ∴随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是； 故选B． 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 6．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）已知实数，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根之积求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系进行列式计算 根据两根之积等于进行列式计算． 【详解】解：方程的两个根分别为，， ， 故答案为：． 8．（2025·四川简阳·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，，求出和，即可求解另一个根与的乘积． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意得，，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 11．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】b的值为，方程的另一个根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根是， ∴， 解得：， 即b的值为，方程的另一个根为． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，， （1）先利用根与系数的关系得到，，则，，从而可判断与相等； （2）先把代入所求的代数式中，然后进行分式的化简即可． 【详解】（1）根据根与系数的关系得，， ，， ； （2）， 13．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)方程是“差根方程” (4)48 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，新定义“差根方程”，二次函数的性质． （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将m，n看作方程的两个根，结合韦达定理求得，，再将所求式子变形得，最后代入求值即可； （3）设，是方程的两个根，根据韦达定理求得，，再由，代入可求出的值，再根据“差根方程”的定义判断即可； （4）设，是方程的两个实数根，则，，再根据差根方程的定义得，进而得，代入得，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：可以将m，n看作方程的两个根， 则，， ∴ 故答案为：； （3）解：设，是方程的两个根， 则，， ∴， ∴， ∴方程是“差根方程”； （4）解：设，是方程的两个实数根， 则，， ∵关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的最大值为48． 15．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，解决本题的关键是掌握用换元法构造一元二次方程． （1）此题可以利用方程组的知识建立起与之间的关系，根据非负数的性质解答； （2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答． 【详解】（1）解：由已知等式消去，得， 即， ， 故，， 于是由，得， 故，； （2）证明：由已知得① ② 将①代入②得， ③ 由①③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ， 化简得， 而， ． 将代入④， 解得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 利用根与系数的关系求参数的值 题型五 利用根与系数的关系判断根的情况 题型六 根的代入与根与系数的关系结合问题 题型七 根与系数的关系中新定义问题 题型八 根与系数关系的多结论判断问题 拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合 拓展训练二 利用根与系数关系求参综合 拓展训练三 根与系数关系的新考法 拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2025·四川遂宁·模拟预测）方程的根是，，则的值为（    ） A．2 B． C． D．24 2．（24-25九年级上·四川宜宾·课后作业）若关于x的方程的一个根为2，则另一个根为 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则 ． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为 ． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程，如果满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． (1)判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）设，，且，则代数式的值为（    ） A．5 B．3 C．9 D．11 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于的一元二次方程的两个根是，，若，则代数式的值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知：当，时，代数式的值都是0，则当时，代数式的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）如果是两个不相等的实数，且满足 ，那么代数式 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知关于的方程为常数）有两个实数根． (1)若，则的值是______，方程的解是______； (2)若，求的值； (3)请用含的代数式表示． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（  ） A． B．2015 C． D．2017 1．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，是方程的两根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式： ． 4．（2025·四川简阳·模拟预测）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】 （24-25九年级上·四川宜宾·期中）若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）已知m､n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．9 D．不能确定 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于x的一元二次方程的解为，，则代数式的值为 ． 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 4．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】 【例4】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）已知，是方程的两个根，则值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）方程有四个互不相等的实数根，则下列值中不满足要求的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2025·福建厦门·模拟预测）若关于x的一元二次方程两根，且则m值 ． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式值为 ． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求值． 解：因为一元二次方程的两个实数根分别为m，n， 所以， 所以． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则________，________． (2)类比应用：若一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． (3)思维拓展：若一元二次方程的两个根为，利用以上关系及所学知识，求代数式的最值． 【经典例题五 利用根与系数的关系判断根的情况】 【例5】（2025·四川遂宁·模拟预测）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【经典例题六 根的代入与根与系数的关系结合问题】 【例6】（2025·四川宜宾·模拟预测）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若，则方程一定有两不相等的实数根；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；④若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．（24-25九年级上·四川乐山·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程在时的两根分别可表示为，．那么可推得，，这是一元二次方程根与系数的关系．． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，_______． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【经典例题七 根与系数的关系中新定义问题】 【例7】（2025·福建厦门·模拟预测）定义运算：a⋆b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆a-(b+1)⋆b的值为（    ） A．0 B．2 C．4m D．-4m 1．（24-25九年级上·遂宁·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 2．（2025·四川宜宾·模拟预测）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 4．（2025·四川内江·模拟预测）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【经典例题八 根与系数关系的多结论判断问题】 【例8】（24-25九年级上·四川简阳·期末）对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知两个实数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程的两根，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若，要使得成立，则n至少为4． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知，满足，，求的值； (3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______． 【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 1．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． 则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数a、b、c之间存在以下关系： ①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（）． 解决问题： (1)验证关系： 给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； (2)应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式______________________； (3)能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于x的方程的两个实数根，且，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：和是关于x的方程的两个实数根， ∵，，又∵，∴， 则，即，解得，． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 2．（24-25九年级上·四川陕西汉中·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【拓展训练三 根与系数关系的新考法】 1．（2025·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．           2．（2025·四川宜宾·模拟预测）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经市场调研发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为600个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是10000元？ (2)这种背包的销售利润有可能达到13000元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 1．（24-25九年级上·四川攀枝花·期末）关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·开学考试）如图，背面图案，形状大小都相同的四张卡片的正面分别写有关于的方程的四个说法．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）已知实数，是方程的两根，则 ． 7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知、是方程的两个根，则 ． 8．（2025·四川简阳·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 9．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ． 10．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 11．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知方程的两个根是，，其中 (1)比较与的大小； (2)求的值． 13．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 15．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列范例，按要求解答问题． 例：已知实数、、满足，，求、、的值． 解法1：由已知得，①．② 将①代入②，整理得．③ 由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根． ，即．而，，， 将代入④，得．，即．，． 解法2：，、设，．① ，．② 将①代入②，得． 整理，得，即．，． 将、的值同时代入①，得，．，． 以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解． 以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决． 下面给出两个问题，解答其中任意一题： (1)用另一种方法解答范例中的问题． (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数、、满足，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$