专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（5个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 因式分解法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 解分式方程（化为一元二次） 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型九 配方法的应用 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 换元法综合 拓展训练四 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）一元二次方程的根为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则 ． 知识点二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）用配方法将方程变形为，则的值是 ． 知识点三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）方程x2-6x+4=0的根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用公式法解方程 ，其中 ． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）一元二次方程的两个根为（　　） A．x1=0，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=-2 D．x1=1，x2=-2 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如果那么 ； 知识点五、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）一元二次方程的根的判别式的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D．8 2．（24-25九年级上·甘肃·期末）方程的实数根为 ． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的解正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）若对于任意实数a，b，c，d，定义   ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若，则x的所有可能值之和是 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的根x1＝ ，x2＝ ． 4．（24-25九年级上·四川雅安·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【经典例题二 因式分解法解一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若实数，满足，则的值为（   ） A． B．或4 C．4 D．1或 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 3．（24-25九年级上·上海·期末）如图，在中，，，于，如果，那么 ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）解下列方程． (1)； (2)； 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）一元二次方程 配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程的部分步骤如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期末）将一元二次方程变形为的形式为 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期中）把方程化为的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h，k为常数，那么本题中的值是 ． 4．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）在实数范围内分解因式： ． 3．（24-25九年级上·四川自贡·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是 ．（只填写番号） ①； ②若，则； ③是一元二次方程； ④方程有一个解是． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【经典例题五 换元法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·重庆江津·期中）已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2﹣9＝0，则a2+b2的值为（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知：，则的值为(     ) A．-2或5 B．-2 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知x为实数，且满足，那么的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于x的一元二次方程的解是 ． 4．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【经典例题六 解分式方程（化为一元二次）】 【例6】（24-25九年级上·四川资阳·期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·山东威海·模拟预测）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25九年级上·四川简阳·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 3．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为， ，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则__________，_____． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 3．（2025·四川巴中·模拟预测）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【经典例题八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例8】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）已知整式，其中，，，，均为正整数，记，下列说法①若，，则满足条件的不同的整式共有6种；②若时，关于的方程有两个不同的实数解；③若且，当为整数时，满足条件的的最大值为42．正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）关于的一元二次方程：①若，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是 ． 3．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则它有一根为－1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的 ． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，当时，求m的值； (2)当时，请判断方程根的情况． 【经典例题九 配方法的应用】 【例9】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，，则的值 （     ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 1．（24-25九年级上·江西上饶·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设为整数，且，方程有两个不相等的整数根，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期末）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． (1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． (2)求多项式的最小值． 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1 参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 3．（24-25八年级·广东韶关·期末）阅读下面的解答过程： 求的最小值 解： ，即的最小值为0， 的最小值为4． 即的最小值是4． 根据上面的解答过程，回答下列问题： (1)式子有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）． (2)求的最小值． (3)求的最大值． 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)定义：，解方程（根用i表示）． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 【拓展训练三 换元法综合】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 【拓展训练四 一元二次方程解法与几何问题】 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 2．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（    ） A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．③ ④ D．④ 4．（2025·河南漯河·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 5．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）甲，乙两名同学对问题“求代数式的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成，所以代数式的最小值为”．乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”．你认为(　　) A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 6．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）方程的根是 ． 7．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）在实数范围内因式分解： ． 8．（2025·四川眉山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·河北承德·期中）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 10．（2025·福建厦门·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的 ， ． 11．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 12．（2024-2025学年贵州省遵义市校联考九年级上学期月考（一）数学试题）在下列三个一元二次方程中，请你自行选择两个方程并分别采用不同的方法求出两个方程的解． 可供选择的方程：①    ②        ③．   13．（2025·四川简阳·模拟预测）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市决定降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (2)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）阅读下列材料： 若设关于的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，，，． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于的二次三项式能用上面方法分解因式，求的取值范围； (3)若关于的方程的两个根为，，请直接写出关于的方程的两个根（用含，的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训 （5个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 因式分解法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 解分式方程（化为一元二次） 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型九 配方法的应用 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 换元法综合 拓展训练四 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）一元二次方程的根为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查接一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键 . 【详解】解： 开平方得：， 故选A . 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，是解题的关键． 知识点二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的方法求解即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程配方后可变形为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期末）用配方法将方程变形为，则的值是 ． 【答案】5 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-4x-1=0， 移项得：x2-4x=1， 配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5， 所以m=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可； （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 知识点三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）方程x2-6x+4=0的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的公式法求解即可得． 【详解】解：，其中，，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的公式法，熟练掌握运用公式法求解是解题关键． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）用公式法解方程 ，其中 ． 【答案】 【分析】将a，b，c的值代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记根的判别式是解题的关键． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）一元二次方程的两个根为（　　） A．x1=0，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=-2 D．x1=1，x2=-2 【答案】A 【分析】用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 可得或， 解得：，． 故选：A． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征进行因式分解． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如果那么 ； 【答案】或1/1或0 【分析】先把方程左边分解因式，再把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键． 知识点五、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）一元二次方程的根的判别式的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D．8 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据题意利用即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴根的判别式的值：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃·期末）方程的实数根为 ． 【答案】 【分析】原方程化成两个方程和，分别计算即可求得其实数根． 【详解】 即或， 当时，， 当时， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根， ∴原方程的实数根为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程、方程实数根的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）方程的解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， 或， 解得，， 故选：C． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）若对于任意实数a，b，c，d，定义   ＝ad－bc，按照定义，若 ＝0，则x的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据新定义可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：由题意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1）， 整理得：x2=3， 两边直接开平方得：x=±， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若，则x的所有可能值之和是 ． 【答案】2 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解： （x-1）2=9 x-1=±3 x=1±3， ∴x1=4，x2=-2， ∴x的所有可能值之和是4-2=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法，正确掌握解一元二次方程的方法及能根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的根x1＝ ，x2＝ ． 【答案】 4 -2 【分析】开方，得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：4，-2． 【点睛】本题考查解一元二次方程，能把一元二次方程转化为一元一次方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川雅安·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程； （3）先化简，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ， ，； （3）解： ， ，． 【经典例题二 因式分解法解一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若实数，满足，则的值为（   ） A． B．或4 C．4 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看作一个整体先得到，再利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或（偶次方的结果都为正，则方程左边恒为正数，舍去） ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海·期末）如图，在中，，，于，如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，设，则，，进而得到，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：（舍去）或； ∴； 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）解下列方程． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 即或， 解得． （2）， ， 或， 解得． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）一元二次方程 配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的基本步骤，熟练掌握配方的基本要领是解题的关键． 【详解】， ， ， ， 故选B． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程的部分步骤如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解法、求代数式的值，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川内江·期末）将一元二次方程变形为的形式为 ． 【答案】 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】解： 移项得 ， 配方得 即 故答案为： 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期中）把方程化为的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h，k为常数，那么本题中的值是 ． 【答案】3 【分析】首先把常数项移到等号右边，经配方，h和k即可求得，进而通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，移项得， 配方得：，即， ∴， ∴ 故答案是：3． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解． 4．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即， 解得，，即， ∴，即， 解得，，， ∴方程一定有实数根， 故选：B． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 2．（24-25九年级上·四川乐山·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川自贡·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．根据这个法则，下列结论中错误的是 ．（只填写番号） ①； ②若，则； ③是一元二次方程； ④方程有一个解是． 【答案】①③④ 【分析】根据运算法则为，一一判断即可． 【详解】解：①，故①符合题意； ②若，则，∴， ， ∴，故②不符合题意； ③ ，是一元一次方程，故③符合题意； ④方程，即， 整理得，由于， ∴， 方程无实数解，故④符合题意； 综上，①③④符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． (1)若，，求的长． (2)设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】(1)的长为． (2)线段的长是方程的一个根，理由见解析； 的值为． 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的求根公式，解题的关键是正确理解作图过程． （1）用勾股定理解直角三角形即可； （2）根据勾股定理，用和表示线段的长，用求根公式写出一元二次方程的解，对比即可；由作图过程结合已知条件得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列方程，化简整理即可得的值． 【详解】（1）解：由作图过程可知， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 答：的长为． （2）解：线段的长是方程的一个根， 理由： ∵，，，， ∴， 由得，， ∴， ∴线段的长是方程的一个根． 由作图过程可知，，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 【经典例题五 换元法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·重庆江津·期中）已知a、b为实数，且满足（a2+b2）2﹣9＝0，则a2+b2的值为（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】B 【分析】设t=a2+b2（t≥0）．由原方程得到t2-9=0求得t的值即可． 【详解】设t＝a2+b2（t≥0）．由原方程得到t2﹣9＝0求得t的值即可． 解：设t＝a2+b2（t≥0）．由原方程得到t2﹣9＝0． 所以t2＝9 所以t＝3或t＝﹣3（舍去） 即a2+b2的值为3． 故选：B． 【点睛】考查了换元法解一元二次方程，解题关键是利用换元法设t＝a2+b2（t≥0），把原方程化为t2﹣9＝0，求得t的值，进而求得a2+b2的值. 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知：，则的值为(     ) A．-2或5 B．-2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】令=m,将原方程变形为一元二次方程，求出符合条件的解即可. 【详解】解：令=m，则m≥0，原方程可变为: m(m-3)=10 (m+2)(m-5)=0 解得: 所以的值为5. 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的一元二次方程解法有开平方法，配方法，公式法，因式分解法等，也有部分一元二次方程可以用特殊的解法，运用换元法解此题比较简便. 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知x为实数，且满足，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】首先利用换元思想，把看作一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可． 【详解】解：另，则，即， 解得：或， 当时，即， ，此时方程无解， 当时，即， ，此时方程有解， ， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了用换元法解一元二次方程，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是换元的整体． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可求得y的值，从而求得x的值．   【详解】解：令y=x+3，代入a(x−h+3)2+k=0 可得： a(y−h)2+k=0， 由已知可得：y1=-2或y2=1， ∵x=y-3， ∴x1=−5， x2=−2， 故答案为x1=−5， x2=−2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．　 4．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）【阅读材料】请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，．当时，，，此方程无实数根． 原方程的根为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请用上述方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤． （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． （2）解：设，则原方程化为，即， 解此方程得， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为． 【经典例题六 解分式方程（化为一元二次）】 【例6】（24-25九年级上·四川资阳·期中）用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 1．（2025·山东威海·模拟预测）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川简阳·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，正确进行计算是解题关键． 设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】设，则：， ∴原方程化为：， ∴去分母转化为整式方程可得： ， 故答案为：． 3．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数满足方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴ 即 解得：（舍去） ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为， ，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则__________，_____． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)1；3 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的定义、分式方程的解． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，由十字分式方程的两个解分别为，，从而，，再将分式变形为，代入计算可以得解； （3）由，变形得，再根据十字分式方程的定义得，，则，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴，， 故答案为：1；3； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵关于x的十字分式方程的两个解分别为为，（，）， ∴，， ∴，， ∴ ． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式列方程求解是解题的关键．因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解方程即得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得或． 故选：C． 1．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根 解得且 故答案为：且 3．（2025·四川巴中·模拟预测）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，， 化简得：． 【经典例题八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例8】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）已知整式，其中，，，，均为正整数，记，下列说法①若，，则满足条件的不同的整式共有6种；②若时，关于的方程有两个不同的实数解；③若且，当为整数时，满足条件的的最大值为42．正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识，正确理解题意是解题关键．当，时，可有，易知，，可能的值为6种，即可判断说法①；若，即有，整理可得，结合一元二次方程的根的判别式，即可判断说法②；若且，则有，设（为整数），易得要使的值最大，分情况讨论即可判断说法③． 【详解】解：若，，则，且，，均为正整数， ∴，，可能的值为1、1、3；1、2、2；1、3、1；2、1、2；2、2、1；3、1、1， 共计6种，故说法①正确； 若，则， 整理可得， ∴， ∵，均为正整数 ∴， ∴关于的方程有两个不同的实数解，故说法②正确； 若且， 则， 设（为整数）， 则，要使的值最大，可令， ∴，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， 当时，可有，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， …… 即值越大，值越小， ∴此时，的最大值为6， 当时，，则， ∴，即， ∵为 整数， ∴为6的倍数， 设，则， ∴为整数， ∴或2或3或4或7， ∴最大为42，故说法③正确． 综上所述，说法正确的为①②③，共计3个． 故选：D． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据“快乐”方程的定义可知，即，再根据可得，即可计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解： 是“快乐”方程， ， ， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）关于的一元二次方程：①若，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是 ． 【答案】② 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：①，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误； ①，则方程必有两个不相等的实数根，故②正确． 故答案为②． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根． 3．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）对于一元二次方程（），下列说法： ①若，则它有一根为－1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的 ． 【答案】①②④ 【分析】利用因式分解法解方程可对①进行判断；根据根的判别式的意义，由方程有两个不相等的实根得到，则可判断，于是可对②进行判断；由c是方程的一个根得到，只有当时，，则可对③进行判断；利用计算根的判别式得到，则根据根的判别式的意义可对④进行判断． 【详解】解：若时，则， ∴原方程为， ∴， 解得，故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴方程的根的判别式， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ∵c是方程的一个根， ∴， 当时，，故③错误； 若， 则 ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，当时，求m的值； (2)当时，请判断方程根的情况． 【答案】(1)或； (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）先化成，再根据根的判别式，然后解方程即可； （2）原方程变为，再根据根的判别式，据此即可判断． 【详解】（1）解：当时，方程为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或； （2）解：当，即时 原方程变为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【经典例题九 配方法的应用】 【例9】（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，，则的值 （     ） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】将M-N整理成-（x-3）2-（y+2）2-2，从而说明M-N的值为负数． 【详解】∵M-N=8x2-y2+6x-2-（9x2+4y+13） =-x2+6x-y2-4y-15 =-[（x2-6x+9）+（y2+4y+4）+2] =-（x-3）2-（y+2）2-2， ∴M-N的值为负数， 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1．（24-25九年级上·江西上饶·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值． 解：x2+6x﹣1 ＝x2+2•3•x+32﹣32﹣1 ＝（x+3）2﹣10， ∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣10≥﹣10即x2+6x﹣1的最小值是﹣10． 即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式x2﹣4x+5的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】D 【分析】利用配方法将多项式进行化简，即可得到最值． 【详解】解：x2﹣4x+5， ＝x2﹣4x+4﹣4+5， ＝（x﹣2）2+1， ∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+1≥1， 即无论x取何实数，二次三项式x2﹣4x+5有最小值是1， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设为整数，且，方程有两个不相等的整数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】将方程化为，根据为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 为整数，且方程有两个不相等的整数根， 当时，符合题意， 解得：； 故答案：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期末）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为 ． 【答案】36 【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． (1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)，最小值； (2)2 【分析】此题考查的是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式． （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值2． 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1 参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 3．（24-25八年级·广东韶关·期末）阅读下面的解答过程： 求的最小值 解： ，即的最小值为0， 的最小值为4． 即的最小值是4． 根据上面的解答过程，回答下列问题： (1)式子有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）． (2)求的最小值． (3)求的最大值． 【答案】(1)小，1 (2) (3)5 【分析】（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可； （2）原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可； （3）原式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质确定出最大值即可． 【详解】（1）式子，有最小值，此最值为1； 故答案为：小，1； （2）原式， 当，即时，原式有最小值，最小值为； （3）原式， 当，即时，原式有最大值，最大值为5． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）对于实数，我们定义一种运算“”为： 化简：； 解关于的方程 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题目定义的运算利用乘法公式化简原式； （2）列出方程，用配方法解一元二次方程． 【详解】解：（1）∵， ； （2）， ， ， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方法的方法． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)定义：，解方程（根用i表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （3）求出判别式的值，再根据，结合公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 【答案】是，见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键．先根据直接开平方法和因式分解法分别解两个方程，再根据定义比较即可得出答案． 【详解】解：① 或 ， ② 或 ， 两个方程有且只有一个相同的实数根 这两个方程是“同伴方程”． 【拓展训练三 换元法综合】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法求解一元二次方程的方法，换元法就是把多项式看作一个整体把原式化简成一个一元二次方程，然后再求解看作整体的多项式即可解题． （1）阅读题干中给出方程的求解方法，我们可以把当作一个整体，设，则原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题； （2）可以把当作一个整体，设，则，原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题． 【详解】（1）解：设，则原方程变形为： 所以 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以，． （2）解：设，则原方程变形为： 所以，解得，， 当时，即，不合题意，舍去， 当时，即，解得， 所以， 2．（24-25九年级上·四川攀枝花·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务． 利用均值换元法解一类一元二次方程 解方程： 第一步： 原方程可变形为：； 第二步：令 第三步： 第一步的方程可变形为； 第四步： ……； 根据t的值可以求出 方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ； A． 分类讨论思想       B． 数形结合思想       C． 整体代换思想      D． 类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)根据材料内容，利用均值换元法解方程： 【答案】(1)C (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程： （1）根据题意可得体现的数学思想是整体代换思想； （2）根据平方差公式去括号得到，解得，则或，据此可得答案； （3）先整理原方程得到，再令，则原方程为，仿照（2）解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想， 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴或， 解得； （3）解： 整理得：， 令，则原方程为， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【拓展训练四 一元二次方程解法与几何问题】 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力和运算能力． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可求解； （2）利用长方形的面积公式列式即可； （3）根据，得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【详解】（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； （2）解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 3．（24-25九年级上·四川内江·期中）【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． （）根据材料信息即可求解； （）仿照材料例题即可求解． 【详解】（1）解：在图的三个构图中，能体现方程的解法的是， 故答案为：； （2）解：， ， ，． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可． 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程的方法和步骤，掌握配方法的一般步骤是解决问题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤判断即可． 【详解】解：小思的解答开始出错的步骤是第一步，因为在处理二次项系数化1时，等号右边没有除以2， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）小虎同学在一次测验中解答的填空题：①若，则；② 方程的解为；③ 若，令，则或-1；④ 经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，．则其中答案完全正确的是（    ） A．① ③ ④ B．② ③ ④ C．③ ④ D．④ 【答案】D 【分析】对各个方程一一计算看是否是所给答案，由此判断即可． 【详解】①，故①错误； ②，即 ，或 ，故②错误； ③若，令 或 ，故③错误； ④=（）（）=0 或，故④正确， 故选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4．（2025·河南漯河·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B， 5．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）甲，乙两名同学对问题“求代数式的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成，所以代数式的最小值为”．乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”．你认为(　　) A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】B 【分析】先用配方法得到和，再根据x和一定同号判断出正确的解析式． 【详解】．因为x和一定同号，不可能出现的情况． 所以 ．故甲错误． 当时，，此时的最小值是2，所以乙正确． 故选B． 【点睛】本题考查了配方法的应用．此题注意x和的关系：互为倒数，显然它们的平方和只有在都是1或－1时，有最小值． 6．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，把方程变形为，提公因式x，得出，进一步即可求解． 【详解】解： ． ， ， 或， ∴，， 故答案为：，. 7．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】求得方程的两个根，即可求解． 【详解】解： ，，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 8．（2025·四川眉山·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，再由判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 9．（24-25九年级上·河北承德·期中）对于实数，我们用符号表示两数中较小的数，如，因此， ； ；若，则x= ． 【答案】 0 2或/或2 【分析】根据题目所给的信息，结合实数的大小比较，配方法的应用进行大小比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或或， 当时，， 当时，， ∴或， 故答案为：，，2或． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，配方法的应用，直接开方法解一元二次方程，读懂题意，理解题目给出的新定义是解本题的关键． 10．（2025·福建厦门·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的 ， ． 【答案】 或 或 【分析】由题目可知，取得近似值，根据近似公式，可得，求解即可．本题考查的是估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，熟练掌握上述近似公式的求解方法是解题的关键． 【详解】解：取得近似值， 根据近似公式，可得， 解得：或， 或，或， 故答案为：或，或． 11．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是关键. 先将一元二次方程化为一般形式,再因式分解得,由此求出方程的解. 原方程展开得，整理得，方程两边同除以3，得,再因式分解得，由此求出方程的解. 【详解】（1）解：整理得:， , 或, . （2）解：原方程展开得， 整理得， 方程两边同除以， 得， 因式分解得:, 或, . 12．（2024-2025学年贵州省遵义市校联考九年级上学期月考（一）数学试题）在下列三个一元二次方程中，请你自行选择两个方程并分别采用不同的方法求出两个方程的解． 可供选择的方程：①    ②        ③． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，选取①采用直接开平方法，②采用配方法，③采用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：可供选择的方程：①    ②      ③ 解方程①：， ， ， ； 解方程②：， ， ， ，； 解方程③：， ， ，． 13．（2025·四川简阳·模拟预测）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市决定降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (2)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)每箱应降价5元 (2)不能使每天销售该饮料获利达到1500元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每箱应降价x元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，根据使每天销售该饮料获利1400元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每箱应降价y元，则每天销售量为箱，每箱利润为元，根据使每天销售该饮料获利1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）设每箱应降价x元，则每天销售量为箱，每箱利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每箱应降价5元； （2）不能使每天销售该饮料获利达到1500元，理由如下： 设每箱应降价y元，则每天销售量为箱，每箱利润为元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 15．（24-25九年级上·四川内江·期中）阅读下列材料： 若设关于的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，，，． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于的二次三项式能用上面方法分解因式，求的取值范围； (3)若关于的方程的两个根为，，请直接写出关于的方程的两个根（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)且； (3)，． 【分析】()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． 【详解】（1）令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 学科网（北京）股份有限公司 $$