专题01 一元二次方程重难点题型专训（2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 化成一元二次方程的一般式 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练三 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程各部分的名称定义，解决此题的关键是正确的识记相关概念，根据常项的定义即可解决。 【详解】解：是一般形式的一元二次方程， ∴常数项为， 故选：C 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，，求解即可．此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，注意二次项系数不为0． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是为常数，．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：方程的常数项是， 故答案为： 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意． 故选：C． 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意； B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若是关于x的一元二次方程，求a，b的值． 【答案】，或，或，或，或， 【分析】本题考查一元二次方程的定义及解二元一次方程组．根据一元二次方程的定义分类讨论a，b的值即可解答． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， 当时，原方程为，符合题意， 即，两式相加得：，解得， 将代入得：，解得：； 当时，原方程为，符合题意， 即，两式相加得：，解得， 将代入得：，解得：； 当时，原方程为，符合题意， 即，两式相加得：，解得， 将代入得：，解得：； 当时，原方程为，符合题意， 即，两式相加得：，解得， 将代入得：，解得：； 当时，原方程为，符合题意， 即，两式相加得：，解得， 将代入得：，解得：； 综上，，或，或，或，或，时，是关于x的一元二次方程． 【经典例题二 判断是否是一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 1．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2，常数项为； 故选D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川简阳·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 【经典例题四 化成一元二次方程的一般式】 【例4】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 移项，把等号右边化为0，即可． 【详解】解：， 移项，得， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的建立，根据题目中“共有78种组队可能”建立方程，再转化为一般形式的一元二次方程． 【详解】解：设八6班参加的学生有人 可列方程：， 化为一般形式：． 故答案为： 4．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25九年级上·四川眉山·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键． 把代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴，解得：． 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 则 ， 故答案为：2023． 4．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【详解】解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（2025·贵州贵阳·模拟预测）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与， ∴一元二次方程的一个解的范围是： ， 故选：C． 2．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·四川宜宾·课后作业）根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，代入求解即可； 【详解】由题意可知：， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，关键是根据已知条件找出x，y的关系． 1．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程即可求出答案． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， 故答案为： 2．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 4．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)两个实数根分别是，4； 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，得，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴； 故选D． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 2．（2025·四川内江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）关于x的方程（m，b为常数，且）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】将，分别代入中，得到关于的二元一次方程组，求解出代入求解即可． 【详解】解：将，分别代入中得， ， 解得：， 将代入中得， ， 整理得：， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的基本步骤及理解方程的解能使等式两边相等． 4．（2025·四川内江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用、配方法的应用，正确求得a、b值是解答的关键．根据“同族二次方程”的定义，第二个方程可表示为，展开后与题目给出的方程比较系数，求出和的值，再利用配方法求代数式的最小值． 【详解】解：由题意，方程可表示为，展开得：， 则，，， 解得，，， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式取得最小值， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）定义：如果关于x的方程 是常数)与 是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）方程的“对称方程”为 （2）若关于的方程与互为“对称方程”，则的解为 【答案】 ， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“对称方程”是； （2）由，移项可得：， ∵关于的方程与互为“对称方程”， ，， 解得：，， 化为， ， ， 故答案为：；， 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 【拓展训练二 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值； 【答案】(1)是 (2)0或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得，， ∴方程是“邻根方程” 故答案为：是； （2）解： ， 解得：，， ∵方程（是常数）是“邻根方程”， ∴， 解得，． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下面一段文字是关于一元二次方程的全新解法． 关于的方程，我们知道如果这个方程有两个实数根，那么这两个根的积是，这两个根的和是，它们的平均值是，两个根和平均值的差应该是一样的，设这个差值为，那么这两个根分别可以表示为，，就有，即，所以，这时这两个根可以表示为． 例如对于方程，两根和是，则两根的平均值是，两根分别可设为；．，解得，所以两个根分别是；请根据上述解法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题中的算法，则，两根和是，平均值为，设两根为，；根据，求出，即可求得方程的根； （2）根据题中的算法，则，两根和是，平均值为，设两根为，，根据，求出，即可求得方程的根． 【详解】（1）根据题意 ∵，两根和是，平均值为，设两根为，， ∴， ∴， ∴；． ∴方程的解为：或． （2）∵，两根和是，平均值为，设两根为，， ∴， ∴， ∴，． ∴方程的解为：或． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握题意的解法，对方程进行求解． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ， ， ， ， (1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． (2)方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． (3)请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征． 【答案】(1)描述见解析 (2)是，求解及判断过程见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断是否互为相反数，公式法解一元二次方程等知识点，通过观察表格信息发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过观察表格信息即可发现并得出一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征； （2）根据一元二次方程和关联方程的系数特征进行判断即可；利用公式法求解两个方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可； （3）利用公式法解一元二次方程及其关联方程，并判断两个方程的根是否符合根的关系特征即可． 【详解】（1）解：一元二次方程和关联方程的系数特征是：二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数， 一元二次方程和关联方程的根的关系特征是：对应根互为相反数； （2）解：方程和是关联方程，理由如下： 方程和的二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合（1）中描述的特征，故它们是关联方程； 方程的根是：，， 方程的根是：，， 它们的两个根对应互为相反数，符合根的关系特征； （3）证明：一元二次方程（，）的根是：， 它的关联方程的根是：， 它们的两个根对应互为相反数． 【拓展训练三 一元二次方程的新定义问题】 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程的一个根是，设另一个根为，则有： 解得， 故选：C 【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣１，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ． 【答案】i 【分析】根据题意可知，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可． 【详解】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， ∵＝505…1， ∴i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021＝i， 故答案为：i． 【点睛】本题考查了规律型数字的变化和一元二次方程的根，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)4或16 【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定； （2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下： 由方程， 解得，， ， 方程是倍根方程； （2）解：由方程， 解得，， 方程是倍根方程， 或， 得或， 故或， 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 4．（24-25九年级上·四川内江·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 6．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，进行作答即可． 【详解】解：由题意，可得方程为：； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 11．（24-25九年级·四川眉山·阶段练习）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． （2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． 【详解】（1）整理原方程，得 ， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． （2）整理原方程，得 ， 所以． 整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程． 【点睛】本题考查了等式的性质和一元二次方程的定义，识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键． （1）方程化为：，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解； （2）根据题意可得是整数的平方，再根据结合（1）中，进行逐一判断即可求解． 【详解】（1）解：方程化为：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的取值范围：． （2）解：方程的根都是整数， 是整数的平方， ， 取，， 由（1）知， ∴． 13．（24-25九年级上·四川简阳·期中）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 14．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 15．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 化成一元二次方程的一般式 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练三 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）方程的常数项是 ． 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ． 3．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 4．（24-25九年级上·四川遂宁·单元测试）若是关于x的一元二次方程，求a，b的值． 【经典例题二 判断是否是一元二次方程】 【例2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（   ）． A．2，5 B．2， C．2，3 D．2， 2．（24-25九年级上·四川内江·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）方程的二次项系数是 ． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 1．（24-25九年级上·四川简阳·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【经典例题四 化成一元二次方程的一般式】 【例4】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）把一元二次方程：，化成一般式是 ． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校6月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八6班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有78种组队可能．如果设八6班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式： ． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25九年级上·四川眉山·期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 4．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（2025·贵州贵阳·模拟预测）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·四川遂宁·专题练习）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 3．（25-26九年级上·四川宜宾·课后作业）根据下表可知，方程的一个近似解为 （结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）若 代入的一个根，则 m的值为 ． 2．（2025九年级上·四川宜宾·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 4．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【经典例题八 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例8】（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川内江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）关于x的方程（m，b为常数，且）的解是，，则关于x的方程的解是 ． 4．（2025·四川内江·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 2．（24-25九年级上·四川宜宾·单元测试）定义：如果关于x的方程 是常数)与 是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）方程的“对称方程”为 （2）若关于的方程与互为“对称方程”，则的解为 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【拓展训练二 两个一元二次方程解的关联性综合】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值； 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下面一段文字是关于一元二次方程的全新解法． 关于的方程，我们知道如果这个方程有两个实数根，那么这两个根的积是，这两个根的和是，它们的平均值是，两个根和平均值的差应该是一样的，设这个差值为，那么这两个根分别可以表示为，，就有，即，所以，这时这两个根可以表示为． 例如对于方程，两根和是，则两根的平均值是，两根分别可设为；．，解得，所以两个根分别是；请根据上述解法解方程： (1)； (2) 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）阅读与思考 观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题： 方程及其根 方程及其根 方程及其关联方程 方程的根 方程及其关联方程 方程的根 ， ， ， ， (1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征． (2)方程和是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征． (3)请以一元二次方程（，）为例证明关联方程根的关系特征． 【拓展训练三 一元二次方程的新定义问题】 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣１，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川内江·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 1．（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川内江·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（24-25九年级上·四川内江·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 7．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是 ． 8．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）写出一个二次项系数为1，一次项系数为，常数项为的一元二次方程是 ．（用一般形式表示） 9．（24-25九年级上·四川内江·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 11．（24-25九年级·四川眉山·阶段练习）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 12．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，且k和方程的根都是整数，则_________． 13．（24-25九年级上·四川简阳·期中）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 14．（24-25九年级上·四川巴中·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$