河南省开封高级中学2024-2025学年高二下学期数学期末练习试卷

26届高二数学下学期期末练习卷 一、单选题 1．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（    ） A．0.03 B．0.04 C．0.06 D．0.05 3．从4名男生和3名女生中选出1男1女共2人参加一项创新大赛，那么不同的选法种数为（    ） A．7 B．9 C．12 D．16 4．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 5．已知函数有极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且，数列满足，且的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 10．已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，过且与轴平行的直线与抛物线和准线分别交于，两点.则（    ） A．当时，直线的倾斜角为或 B．是线段的中点 C． D．过点与抛物线相切的直线与直线平行 11．计算机使用二进制对数据进行记录和运算.现用计算机随机生成一个位字符串，则被记录为：.现有如下定义：在位字符串中，与的计算机差值记为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 位字符串共有个 B. 若，则表示与相同 C. 从位字符串中任取两个不同的字符串，则其计算机差值的概率为 D. 从位字符串中任取两个不同的字符串，记随机变量，则 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和为.若，则公比的取值范围为 . 14．已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知数列为等差数列，且公差，其前项的和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，． （1）证明：AD⊥PC； （2）若，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值． 17．抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. (1)若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； (2)已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 18．已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 19．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程 (2)若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围 试卷第2页，共5页 26届高二数学下学期期末练习卷 参考答案 1．C【详解】由，可知其对称轴为：，又， 所以，由对称性可知： 2．D【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为.故选：D. 3．C【详解】从4名男生选出1男有4种方法，从3名女生中选出1女有3种方法， 所以共有种，故选：C 4．C【详解】原圆方程配方得，所以圆心为，半径， 因为直线，所以直线过定点，因为定点和圆心的距， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为.故选：C. 5．D【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，在上单调递增，则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为.故选：D 6．A【详解】由题意可知，，渐近线方程为， 因，不妨设点在第一象限，则由，得，即， 因，则，结合，得.故选：A 7．B【详解】是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足，可得， 令，则， ∴函数在（0，+∞）上单调递增．∴，∴．故选B． 8．C【详解】当时，，解得， 当时，由，得， 两式相减得，，即， 所以，所以，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以 ，若恒成立，则. 所以实数的最小值为.故选：C. 9．ABD【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，故D正确. 10．BCD【详解】由抛物线，可得，准线为， 设过点的直线方程为，代入抛物线 ，得， 所以，则：，， 由，得， 所以中点的坐标为， 过且与轴平行的直线线的方程为， 代入抛物线可得，的坐标为， 与准线 的交点 ，因为， 又， 所以，又， 所以，解得，所以，所以，， 由题设直线的倾斜角为，，所以，故A错误； 因为，所以 的中点坐标为， 这与 相同，故B正确； 又，所以，所以，故C正确； 设过点与抛物线相切的直线方程为， 与抛物线方程联立可得，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以， 解得，所以过点与抛物线相切的直线方程为，即 所以过点与抛物线相切的直线与直线 平行，故D正确. 11．【答案】BCD 【详解】由题意得，每个字符有种，位字符串共有个，故A错误； 若，则，即，，⋯，，与相同，所以B正确； 从位字符串中任取两个不同的字符串，则其计算机差值的概率为，故C正确； 从位字符串中任取两个不同的字符串，记随机变量，则的分布列为（），故的期望为， 12．【详解】依题意，，故. 13．【详解】由可得，即， 所以，解得，故公比的取值范围为. 14．【详解】由， 可得， 即 因为函数在上单调递增， 所以，即对恒成立， 当时，恒成立，故对恒成立，显然不可能， 故，由，可得或， 为使对恒成立，则， 所以，令，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为. 15．【小问1详解】 已知数列的公差为，由，，成等比数列得：， 即，∴， ∴，∴或， ∵，∴， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】由（1）得，， ∴， ∴， ∴ ，∴． 16．【详解】（1）证明：取AD的中点O，连接OP， 因为PA＝PD，所以OP⊥AD，在直角梯形ABCD中，2AB＝2BC＝AD＝7， 所以四边形ABCO是矩形，所以OC⊥AD，又OP∩OC＝O，OP， 所以AD⊥平面OPC，因为PC⊂平面OPC，所以AD⊥PC． （2）解：由AD＝2，，知PA8+PD2＝AD2，即PA⊥PD， 所以OP＝AD＝1，又，OC＝AB＝1， 所以OP2+OC2＝PC2，即OP⊥OC，所以OA⊥OC， 故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，2，1），0，8），1，0），8，0），0，6），，）， 所以＝（1，6，＝（﹣2，0，＝（﹣2，，）， 设平面AMD的法向量为＝（x，y，则， 取y＝8，则x＝0，所以，1，﹣6），设PB与平面AMD所成角为θ， 则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝， 故PB与平面AMD所成角的正弦值为． 17．【详解】（1）记小张分别操作，，抓娃娃机能中奖为事件A，B，C， 则，，，，，． 因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作，，抓娃娃机能中奖的概率为：． （2）选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，， ， ，所以， 所以 若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则， ，，， 因为，所以选择方案一和方案二一样． 18． 【详解】（1）依题意有，由及椭圆的定义得 由余弦定理得 即 ，又，故椭圆的方程为. （2）联立，可得， 则①又 由，可得， ，，满足① 设原点到直线的距离为，， 为定值. 19．【详解】（1）函数，求导得， 令，得，则，，显然， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）由（1）知，，，求导得， 当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，. 令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，则， 因此， 显然函数在上单调递增，函数值集合为， 从而函数在上的函数值集合为， 函数在上恰有两个不同的零点，则当且仅当，解得，所以实数的取值范围是. 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$