精品解析：山东省聊城市高唐县第一实验中学2024-2025学年九年级下学期数学开学测试试题

初三数学假期作业检查反馈 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3a2﹣4a2=a2 B. a2•a3=a6 C. a10÷a5=a2 D. （a2）3=a6 3. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A 30° B. 25° C. 20° D. 15° 4. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2 5. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（   ） A. 8                      B. 8和10               C. 10                         D. 8 或10 7. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比的平方 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C. 相似图形一定是位似图形，位似图形不一定是相似图形 D. 三角形的外心不一定在三角形内 9. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 10. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. （1）因式分解：___________． （2）计算的结果是___________． 12. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 13. 解不等式组并写出它的正整数解． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为_____． 15. 如图，是外接圆，已知平分交于点，交于点，若，，则的长为______． 16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 . 三、解答题：（本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （1）计算：． （2）先化简代数式，并从，0，1，3中选取一个合适的代入求值． 18. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 19. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树高度，制定了如下的测量方案． 课题 测量人工湖岸边一棵树的高度 成员 组长：瑛瑛 组员：小明、小华、小晴 测量工具 测角仪、皮尺 测量示意图及测量数据 说明：线段表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内． 实施说明 测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计） 请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树高度．（结果精确到．参考数据：） 20. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的半径． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． （1）求抛物线表达式； （2）点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； （3）抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 22. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F． （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）； （2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学假期作业检查反馈 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3a2﹣4a2=a2 B. a2•a3=a6 C. a10÷a5=a2 D. （a2）3=a6 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘的运算法则，同底数幂除法的运算法则，积的乘方的运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、3a2﹣4a2=﹣a2，错误； B、a2•a3=a5，错误； C、a10÷a5=a5，错误； D、（a2）3=a6，正确， 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方等运算，熟记各运算的运算法则是解题的关键. 3. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 4. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据中位数、众数的定义以及平均数、方差的计算公式，求出中位数、众数、平均数和方差，即可得出结论． 【详解】解：A. 这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，则这组数据的中位数为2；故此选项正确； B.这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；故此选项错误； C.这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=1.98（册）；故此选项错误； D.方差是： ；故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，熟练掌握各知识点的计算方法是解题的关键． 5. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 6. 三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（   ） A. 8                      B. 8和10               C. 10                         D. 8 或10 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可． 【详解】x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论： ①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； ②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合的所有情况是解答此题的关键． 7. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比的平方 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C. 相似图形一定是位似图形，位似图形不一定是相似图形 D. 三角形的外心不一定在三角形内 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形与位似图形、垂径定理的推论，三角形的外心，正确掌握相关定义与性质是解题关键．直接利用相似图形与位似图形、垂径定理的推论，三角形的外心分别分析得出答案． 【详解】解：A．如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比，故此选项错误； B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项错误； C．相似图形不一定位似图形，故此选项错误； D．三角形外心不一定在三角形内，比如钝角三角形的外心在三角形的外部，故此选项正确． 故选：D． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 10. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由对称轴即可判断； ②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断； ③根据图象所体现的最大值即可判断； ④根据图象的最值结合对称轴即可判断． 【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确； ②由①知，所以时，； 因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时， 又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误； ③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确； ④由图可知：，即， 又且，所以=， 所以，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. （1）因式分解：___________． （2）计算的结果是___________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解及平方差公式，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）运用完全平方公式因式分解即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）； （2） 故答案为：（1）；（2）1． 12. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可． 【详解】解：由数轴可得：0＜a＜2， 则a+ =a+ =a+（2﹣a） =2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是正确得出a的取值范围． 13. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，根据不等式组的解集即可确定正整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的正整数解是1，2． 【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出不等式组的解集是关键． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， 在中， ， 故答案：． 15. 如图，是的外接圆，已知平分交于点，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，同弧所对的圆周角相等等知识，由角平分线的定义可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出， 即可证明，由相似三角形的性质可得出， 即可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 . 【答案】. 【解析】 【详解】试题解析：连接OE、AE， ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE= ∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE） = = =． 三、解答题：（本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）先化简代数式，并从，0，1，3中选取一个合适的代入求值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．也考查了实数的运算． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算，再取绝对值，然后化简后合并即可； （2）先把除法运算化为乘法运算，再约分，接着通分后进行同分母的减法运算得到原式，然后根据分式有意义的把代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵且且且， ∴x可以取3， 当时，原式． 18. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0） 【解析】 【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式； （2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞解集为x＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标． 详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=； （2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1； （3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b， ∴b=， ∴y2=x+， 令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP=BC=，或BP=BC= ∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=， ∴P（﹣，0）或（，0）． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 19. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案． 课题 测量人工湖岸边一棵树的高度 成员 组长：瑛瑛 组员：小明、小华、小晴 测量工具 测角仪、皮尺 测量示意图及测量数据 说明：线段表示所要测量树高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内． 实施说明 测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计） 请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】这棵树的高度大约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活利用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意得：，，，，利用三角函数分别求出，，即可求出的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意得：，，，， 在中，， ， 在中，， 解得：， ， 即这棵树的高度大约为． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证； （2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 又为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 连接，则：， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． （1）求抛物线表达式； （2）点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； （3）抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，的最大值为点的坐标为； （3）点的坐标为 或 ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）直接利用待定系数法即可求解析式； （2）先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解． 【小问1详解】 解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得： 解得： ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵、， 又∵， ， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， 又∵， ， ， ∴当 时，的最大值为 ∴点的坐标为． 【小问3详解】 (3)如图，当点在的下方时，设与轴的交点为， ∵， ∴点 设直线的解析式为： 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 ， 故点； 当点在的上方时，设与轴的交点为， ∴点 设直线的解析式为： 把代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 故点 综上所述：点的坐标为 或 ． 22. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F． （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）； （2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以说明． 【答案】（1）120°，90°，180°-α；（2）∠AFB=180°-α，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，先根据SAS证明△BCD≌△ECA，从而得到∠EAC=∠BDC，再根据三角形外角性质求出其度数．如图2，先根据HL证明△ACE≌△DCB，从而得到∠AEC=∠DBC，进而得出∠AFB的度数．如图3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，从而求得∠AFB； （2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再根据SAS证明△ACE≌△DCB，从而得到∠CBD=∠CEA，再根据三角形内角和定理得到结论． 详解】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， ∴△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴∠EAC=∠BDC． 又∵∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB（HL）． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α． （2）∠AFB=180°-α；理由如下： 证明：∵∠ACD=∠BCE=α， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ∵ ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴∠CBD=∠CEA， ∴∠EFB=∠ECB=α． ∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α． 【点睛】考查了全等三角形的判定及其性质和三角形内角和定理，综合性较强，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$