2.7 弧长及扇形的面积（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.7 弧长及扇形的面积 题型一 弧长公式的应用——求扇形的弧长 1．（2024秋•秦淮区期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为75°，则该圆弧的长是（　　） A．5π B．10π C．15π D．30π 2．（2025•连云港一模）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．cm B．2πcm C．cm D．3πcm 3．（2025•盐城一模）时钟分针长6厘米，从早上9点到9点40分针尖所走过的路程是（　　） A．3π厘米 B．6π厘米 C．8π厘米 D．12π厘米 4．（2025·苏州·中考）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　　m．（结果保留π） 题型二 弧长公式的应用——圆中构造辅助线求弧长 1．（2024·宿迁·模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 2．（2025·金湖县·一模）如图，点A，B，C 在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·涟水县·模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（　　） A．4π B．8π C．9π D．18π 4．（2024·建邺区·二模）如图，点A，B，C在半径为4的⊙O上，AC∥OB．若∠AOB＝130°，则长为　　． 题型三 弧长公式的应用——已知弧长求圆心角 1．（2025·南京·三模）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（　　） A．（）° B．（）° C．（）° D．（）° 2．（2024·溧阳市·一模）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　　°． 3．（2024·泗阳县·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为　　． 4．（2024·句容市·期末）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　　． 题型四 弧长公式的应用——已知弧长求半径 1．（2025·响水县·一模）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为　　． 2．（2025·淮安区·一模）一个扇形的圆心角是120°，弧长是，则扇形的半径是　　cm． 3．（2025·钟楼区·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为120°的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料40π厘米，则此圆弧所在圆的半径为　　厘米． 4．（2025·盐都区·模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，点C为半径OA上一点，现以点O为圆心，OC长为半径作弧，该弧交半径OB于点D，记的长为m，BD的长度为d，则的长为　　．（用含m，d的式子表示） 题型五 扇形面积公式的应用 1．（2025·苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为160°，则该扇形的面积是（　　） A．3π B．8π C．24π D．36π 2．（2024·沭阳·月考）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　） A．16πm2 B．12πm2 C．24πm2 D．48πm2 3．（2024·阜宁县·期末）如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD、BC于E、F两点，则扇形OEF的面积为　　． 4．（2025·工业园区·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝108°，已知OA＝100cm，OB＝40cm，则该砖雕的面积为　　cm2．（结果保留π） 题型六 求阴影部分的面积——和差法 1．（2025·通州区·二模）如图，矩形ABCD中，，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π D．π 2．（2024·江都区·期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图）．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则此“莱洛三角形”的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·海陵区·期中）如图A、B、C、D分别是长方形的四个顶点长AD＝4cm，宽DC＝3cm，以点C为圆心3cm为半径画圆弧，再以AD为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为S1和S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．1.75πcm2 B．（4.25π﹣12）cm2 C．（4π﹣12）cm2 D．0.5πcm2 4．（2024·泗阳县·期末）如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝90°，点C在上且CD垂直平分线段OA，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E，则阴影部分面积＝　　． 题型七 求阴影部分的面积——割补法 1．（2025·宜兴市·模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·梁溪区·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 3．（2023·东台市·期中）如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为　　． 4．（2025·灌南县·一模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，以OA为直径在扇形OAB内部作半圆，圆心为点E，C为的中点，连接OC交半圆于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为　　． 题型一 与弧长有关的综合题 1．（2024·江都区·月考）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝5，半径为2的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是　　． 2．（2025·无锡·开学）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2⋯叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，、、、，…的圆心依次按A、B、C、D循环，当AB＝1时，则的长是　　． 3．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为　　． 4．（2025·泰州·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠BAC＝50°，点D是边BC上的一个动点，点C关于AD的对称点是点C′．动点D从点C运动到点B时，点C′的路径长为　　． 题型二 求阴影部分的面积——和差法（升级版） 1．（2024·姜堰区·期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，若，则，CE，DE围成的图形的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·海安市·级月考）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A′B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 题型三 与扇形面积有关的综合题 1．（2025·大丰区·月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE． （1）求直径BD的长； （2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积． 2．（2025·宜兴市·二模）如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 3．（2025·邗江区·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，∠EAC＝30°，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 4．（2025·金湖县·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 1．（2025·雨花台区·月考）阅读下列材料，完成相应的任务： 巧算不规则图形的面积 古希腊哲学家、数学家、力学家、天文学家阿基米德，被誉为“数学之神、力学之父”．他在《定理汇编》中曾给出一个关于面积的论断：如图1，点Q和点R是线段PS上的两点，并且PQ＝RS，点O是线段PS的中点，分别以线段PQ，QR，RS，PS为直径向不同方向画半圆，构成一个轴对称图形，其中，点M在半圆QR上，点N在半圆PS上，MN所在直线为该图形的对称轴，将图1中阴影部分面积记为S1，阿基米德通过构图巧秒地将其转化成一个圆的面积，即在图1的基础上以线段MN为直径作圆如图2所示，该圆的面积记为S2，那么S1＝S2．并从数的角度用代数推理的方式给出验证．下面是代数推理验证的一部分： 设PQ＝RS＝a，QR＝b，用含a，b的代数式分别表示S1与S2． S1＝S半圆PS+S半圆QR﹣S半圆PQ﹣S半圆RS； ＝… S2＝π ＝… 任务： （1）请将材料中验证过程补充完整； （2）如图3，点Q是线段PR上的一点，分别以PQ，QR，PR为直径在线段PR的上方作半圆，一些数学家利用阿基米德的这种巧算不规则面积的方法，在图3的基础上过点Q作QS⊥PR，与半圆PR交于点S，以SQ为直径作圆得到图4，经过验证得到图3，图4中的阴影部分的面积相等．请你利用面积相等得出的线段间的数量关系，直接写出当PQ＝4，QR＝9时SQ的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 弧长及扇形的面积 题型一 弧长公式的应用——求扇形的弧长 1．（2024秋•秦淮区期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为75°，则该圆弧的长是（　　） A．5π B．10π C．15π D．30π 【详解】解：由弧长公式可知：5π． 故选：A． 2．（2025•连云港一模）如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．cm B．2πcm C．cm D．3πcm 【详解】解：重物上升了2π（cm）． 故选：B． 3．（2025•盐城一模）时钟分针长6厘米，从早上9点到9点40分针尖所走过的路程是（　　） A．3π厘米 B．6π厘米 C．8π厘米 D．12π厘米 【详解】解：∵从早上9点到9点40分针转过的圆心角＝240°， ∴从早上9点到9点40分针尖所走过的路程8π（厘米）． 故选：C． 4．（2025·苏州·中考）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　　m．（结果保留π） 【详解】解：由题意可得：∠AOB＝360°120°， 圆O的半径为128﹣68＝60（m）， ∴该轿厢所经过的路径（即）长度为40π（m）． 故答案为：40π． 题型二 弧长公式的应用——圆中构造辅助线求弧长 1．（2024·宿迁·模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【详解】解：如图，连接OA、OC， ∵AB⊥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°， 由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∴的长为：4π． 故选：C． 2．（2025·金湖县·一模）如图，点A，B，C 在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，的长为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接OC， ∵∠AOB＝70°，AO∥BC， ∴∠AOB＝∠OBC＝70°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝40°， ∵AO＝3， ∴的长为：． 故选：A． 3．（2025·涟水县·模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（　　） A．4π B．8π C．9π D．18π 【详解】解：如图，连接OD，OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝130°， ∴∠ADC＝50°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝50°， ∴∠DAC＝80°， ∴∠DOC＝2∠DAC＝160°， ∴的长8π． 故选：B． 4．（2024·建邺区·二模）如图，点A，B，C在半径为4的⊙O上，AC∥OB．若∠AOB＝130°，则长为　　． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AC∥OB， ∴∠A+∠AOB＝180°，∠C＝∠BOC， ∵∠AOB＝130°， ∴∠A＝50°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠C＝50°， ∴∠COB＝50°， ∴的长为π． 故答案为：π． 题型三 弧长公式的应用——已知弧长求圆心角 1．（2025·南京·三模）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（　　） A．（）° B．（）° C．（）° D．（）° 【详解】解：设∠ABC的度数大小由60变为n， 则AC，由AC＝AB，解得：n． 故选：D． 2．（2024·溧阳市·一模）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　　°． 【详解】解：如图，连接OA、OB， 设∠AOB＝n°， ∵弧AB的长为2π， ∴2π，解得：n＝40， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°． 故答案为：20． 3．（2024·泗阳县·期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为　　． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为n°， 由题意可知：点A转过的弧长为4πcm， ∴，解得：n＝60， ∴滑轮上点A转过的度数为60°． 故答案为：60°． 4．（2024·句容市·期末）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动2周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　　． 【详解】解：∵⊙M的周长为2πcm， ∴⊙M顺时针转动2周时，点P移动的弧长为4πcm， ∴4π，解得：n＝72． 故答案为：72． 题型四 弧长公式的应用——已知弧长求半径 1．（2025·响水县·一模）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为　　． 【详解】解：设扇形的半径为r， 由题意可得：2π，解得：r＝6． 故答案为：6． 2．（2025·淮安区·一模）一个扇形的圆心角是120°，弧长是，则扇形的半径是　　cm． 【详解】解：设扇形的半径是r cm， 由题意可得：π，解得：r＝2， ∴扇形的半径是2cm． 故答案为：2． 3．（2025·钟楼区·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为120°的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料40π厘米，则此圆弧所在圆的半径为　　厘米． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为R厘米， 由弧长公式可得：40π，解得：R＝60， ∴此圆弧所在圆的半径为60厘米． 故答案为：60． 4．（2025·盐都区·模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，点C为半径OA上一点，现以点O为圆心，OC长为半径作弧，该弧交半径OB于点D，记的长为m，BD的长度为d，则的长为　　．（用含m，d的式子表示） 【详解】解：由题意可得：，解得：OB， ∵BD＝d， ∴OD， ∴的长为：． 故答案为：． 题型五 扇形面积公式的应用 1．（2025·苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为160°，则该扇形的面积是（　　） A．3π B．8π C．24π D．36π 【详解】解：这个扇形的面积36π． 故选：D． 2．（2024·沭阳·月考）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　） A．16πm2 B．12πm2 C．24πm2 D．48πm2 【详解】解：该五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴扇形区域总面积是． 故选：C． 3．（2024·阜宁县·期末）如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD、BC于E、F两点，则扇形OEF的面积为　　． 【详解】解：由题意可知：OM＝AD＝OE＝OF＝4，OA＝OB， 在Rt△AOE中，∠A＝90°，， ∴∠AEO＝30°，∠AOE＝90°﹣30°＝60°， 同理可得：∠BOF＝60°， ∴∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴S扇形OEF． 故答案为：． 4．（2025·工业园区·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝108°，已知OA＝100cm，OB＝40cm，则该砖雕的面积为　　cm2．（结果保留π） 【详解】解：由题意可得：扇形OAD的面积为：（cm2）， 扇形OBC的面积为：（cm2）， ∴砖雕的面积为：2520π（cm2）． 故答案为：2520π． 题型六 求阴影部分的面积——和差法 1．（2025·通州区·二模）如图，矩形ABCD中，，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π D．π 【详解】解：如图，连接OM，ON，过点M、点N分别作AB的垂线，垂足为P，Q， 则MP＝NQ＝AD＝2，OM＝ONAB＝2， 在Rt△OMP中，PM＝2，OM＝2， ∴OP2＝MP， ∴∠POM＝∠OMP＝45°， 同理可得：∠NOQ＝45°， ∴∠MON＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴S弓形MN＝S扇形OMN﹣S△MON 22 ＝2π﹣4． 故选：B． 2．（2024·江都区·期末）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图）．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2，则此“莱洛三角形”的面积为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为2， ∴AB＝AC＝BC＝2， 如图，过点A作BC的垂线，垂足为M， 由△ABC是等边三角形可得：∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠BAM∠BAC＝30°，， ∴BM， ∴AM， ∴， ∴“莱洛三角形”的面积为：3S扇形ABC﹣2S△ABC． 故选：D． 3．（2024·海陵区·期中）如图A、B、C、D分别是长方形的四个顶点长AD＝4cm，宽DC＝3cm，以点C为圆心3cm为半径画圆弧，再以AD为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为S1和S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．1.75πcm2 B．（4.25π﹣12）cm2 C．（4π﹣12）cm2 D．0.5πcm2 【详解】解：如图， ∵扇形CDE的面积π×32＝2.25π（cm2）， 长方形ABCD的面积＝3×4＝12（cm2）， 半圆的面积π×22＝2π（cm2）， ∴S1﹣S2＝扇形CDE的面积﹣（长方形ABCD的面积﹣半圆的面积） ＝2.25π﹣（12﹣2π）＝（4.25π﹣12）cm2． 故选：B． 4．（2024·泗阳县·期末）如图，在扇形AOB中，OA＝2，∠AOB＝90°，点C在上且CD垂直平分线段OA，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E，则阴影部分面积＝　　． 【详解】解：如图，连接OC， ∵CD是OA的中垂线， ∴∠ODC＝90°，ODOAOC＝1， ∴∠OCD＝30°＝∠BOC，CD， ∴S阴影＝S扇形OBC+S△OCD﹣S扇形ODE 1 π． 故答案为：π． 题型七 求阴影部分的面积——割补法 1．（2025·宜兴市·模拟）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接AC，CO， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°， 又∵∠AOB＝120°， ∴∠CAO+∠AOB＝180°， ∴AC∥OB， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴． 故选：B． 2．（2023·梁溪区·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【详解】解：如图，连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE，即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2023·东台市·期中）如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为　　． 【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N， ∵点O是正方形ABCD的中心，OM⊥AB，ON⊥AD， ∴OM＝ON， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°，即∠EOM+∠MOF＝90°， ∵∠A＝∠AMO＝∠ANO＝90°， ∴∠MON＝90°，即∠FON+∠MOF＝90°， ∴∠EOM＝∠FON， ∴△EOM≌△FON（ASA）， ∴S△EOM＝S△FON， ∴S四边形AEOF＝S正方形AMON， ∴． 故答案为：9﹣π． 4．（2025·灌南县·一模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，以OA为直径在扇形OAB内部作半圆，圆心为点E，C为的中点，连接OC交半圆于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为　　． 【详解】解：如图，连接AD， ∵∠AOB＝90°，点C是的中点， ∴∠BOC＝∠AOC＝45°， ∵OA是⊙E的直径， ∴∠ADO＝90°， ∴∠DOA＝∠DAO＝45°， ∴OD＝AD， ∴S弓形OD＝S弓形AD， ∴S阴影部分＝S扇形OAC﹣S△AOD 2×1 π﹣1 ． 故答案为：． 题型一 与弧长有关的综合题 1．（2024·江都区·月考）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝5，半径为2的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是　　． 【详解】解：圆心O运动路径如图： ∵OO1＝AB＝8，弧O1O2的长度为，O2O3＝BC＝5， ∴圆心O运动的路程是8+π+5＝13+π． 故答案为：13+π． 2．（2025·无锡·开学）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2⋯叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，、、、，…的圆心依次按A、B、C、D循环，当AB＝1时，则的长是　　． 【详解】解：由图可知：AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，CC1＝CB+BB1＝3， DD1＝DC+CC1＝4，AD1＝AD+DD1＝AA2＝5， ……， 以此类推，半径每次比前一段弧半径加1， ∴ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝4（n﹣1）+2， ∴BA2025＝4×（2025﹣1）+2＝8098， ∴． 故答案为：4049π． 3．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为　　． 【详解】解：如图，连接BD，AD，PB． 由图可知：B是A关于OC的对称点， AP+PD的最小值就是BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC⊥AB，2， ∴的度数是90°，的度数是60°， ∴∠AOD＝60°，∠ABD＝30°， ∴的长， ∵AB＝2， ∴BD， ∴AP+PD的最小值是， ∴阴影部分的周长的最小值为． 故答案为：． 4．（2025·泰州·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠BAC＝50°，点D是边BC上的一个动点，点C关于AD的对称点是点C′．动点D从点C运动到点B时，点C′的路径长为　　． 【详解】解：如图，连接AC′，CC′，DC′，设AD，CC′交于点E， ∵点C关于AD的对称点是点C′， ∴AD垂直平分CC′， ∴AC＝AC′＝3，∠CAD＝∠C′AD， 当动点D从点C运动到点B时，保持AC＝AC′，则点C′在以点A圆心，以AC为半径的圆弧上运动，点D与点B重合时，点C′到达如图所在的位置： ∴∠DAC＝∠BAC＝50°＝∠C′AD， ∴∠CAC′＝∠CAB+∠BAC′＝100°， ∴点C′的路径长为． 故答案为：． 题型二 求阴影部分的面积——和差法（升级版） 1．（2024·姜堰区·期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，，AD，BC相交于点E，若，则，CE，DE围成的图形的阴影面积为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接OC交AD于F点， ∵， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，OC⊥AD， ∴∠A＝∠B＝30°，AF＝DF， 在Rt△AOF中，∵∠A＝30°， ∴OFOA， ∴AFOF3， ∴DF＝3，CF＝OC﹣OF＝2， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝30°， 在Rt△CEF中，∵∠FCE＝30°， ∴EFCF1， ∵S△ODF3，S△CEF1，S扇形COD2π， ∴，CE，DE围成的图形的阴影面积＝S扇形COD﹣S△ODF﹣S△CEF＝2π2π﹣2． 故选：C． 2．（2025·海安市·级月考）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A′B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，作点O关于BC的对称点O′，连接CO′，BO′，OO′，BC与OO′交于点D， ∵OD＝O′DOO′OB， ∴∠OBC＝30°， ∴OCOB＝1， ∴阴影部分的面积＝S扇AOB﹣2S△COB21π． 故选：C． 题型三 与扇形面积有关的综合题 1．（2025·大丰区·月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE． （1）求直径BD的长； （2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积． 【详解】解：（1）∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°． ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝45°， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， 又∵CD＝2， ∴BD； （2）如图，连接OC， ∵∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴CB＝CD， ∴， ∴点C为的中点， ∴阴影部分的面积可转化为△CDE的面积， ∵BE＝5，BC＝CD＝2， ∴CE＝3， ∴， ∴阴影部分的面积为3． 2．（2025·宜兴市·二模）如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OAAB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S3×3π． 3．（2025·邗江区·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，∠EAC＝30°，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 【详解】（1）证明：如图，连接OE，BE， ∵EF∥BC， ∴∠CBE＝∠BEF， ∵点D是△ABC的内心， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠CBE＝∠CAE， ∴∠BEF＝∠BAE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠BEF+∠OEB＝90°，即OE⊥FE， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵∠EAC＝30°， ∴∠BAE＝30°， ∴∠BOE＝2∠BAE＝60°， ∴△OBE是等边三角形， ∴OE＝OB＝4， ∴EF， ∴， 又∵， ∴阴影部分的面积为． 4．（2025·金湖县·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 【详解】解：（1）如图，连接AD， ∵以腰AB为直径画半圆O， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB， ∵A、B、D、E四点共圆， ∴∠DEC＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACB， ∴CD＝DE， ∴BD＝DE； （2）如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝1， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OE， ∴△AOE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°，OA＝AE＝1，OF， ∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE． 1．（2025·雨花台区·月考）阅读下列材料，完成相应的任务： 巧算不规则图形的面积 古希腊哲学家、数学家、力学家、天文学家阿基米德，被誉为“数学之神、力学之父”．他在《定理汇编》中曾给出一个关于面积的论断：如图1，点Q和点R是线段PS上的两点，并且PQ＝RS，点O是线段PS的中点，分别以线段PQ，QR，RS，PS为直径向不同方向画半圆，构成一个轴对称图形，其中，点M在半圆QR上，点N在半圆PS上，MN所在直线为该图形的对称轴，将图1中阴影部分面积记为S1，阿基米德通过构图巧秒地将其转化成一个圆的面积，即在图1的基础上以线段MN为直径作圆如图2所示，该圆的面积记为S2，那么S1＝S2．并从数的角度用代数推理的方式给出验证．下面是代数推理验证的一部分： 设PQ＝RS＝a，QR＝b，用含a，b的代数式分别表示S1与S2． S1＝S半圆PS+S半圆QR﹣S半圆PQ﹣S半圆RS； ＝… S2＝π ＝… 任务： （1）请将材料中验证过程补充完整； （2）如图3，点Q是线段PR上的一点，分别以PQ，QR，PR为直径在线段PR的上方作半圆，一些数学家利用阿基米德的这种巧算不规则面积的方法，在图3的基础上过点Q作QS⊥PR，与半圆PR交于点S，以SQ为直径作圆得到图4，经过验证得到图3，图4中的阴影部分的面积相等．请你利用面积相等得出的线段间的数量关系，直接写出当PQ＝4，QR＝9时SQ的长度． 【详解】（1）证明：设PQ＝RS＝a，QR＝b，用含a，b的代数式分别表示S1与S2， S1＝S半圆PS+S半圆QR﹣S半圆PQ﹣S半圆RS π•π•π•π• ， 由题意可得：MNa+b， ∴S2＝ππ， ∴S1＝S2； （2）解：设图3中的阴影部分面积为S3，图4中的阴影部分面积为S4， 由题意可得：S3＝S半圆PR﹣S半圆PQ﹣S半圆QR πππ ， S4＝π， ∵S3＝S4， ∴， ∴SQ2＝PQ•QR， 当PQ＝4，QR＝9时，SQ2＝4×9＝36， ∴SQ＝6或SQ＝﹣6（舍去）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$