专题01 二次函数图像的性质（专项训练）数学鲁教版五四制九年级上册

专题01 二次函数图像的性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由二次函数图像判定代数式符号与大小关系 1 题型二、二次函数图像与一元二次方程和不等式 9 题型三、二次函数图像的对称性 13 题型四、二次函数图像平移变换 13 题型五、由二次函数图像性质求参数取值范围 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、由二次函数图像判定代数式符号与大小关系 1．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得， （1）抛物线与轴有两个交点，所以，该选项正确，不符合题意； （2）抛物线与轴的交点位于的下方，所以，该选项错误，符合题意； （3）由抛物线对称轴可得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； （4）由图象可知，当时，，该选项正确，不符合题意； ∴错误选项为（2），只有1个， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于，，以下结论错误的是（     ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：A、抛物线开口向下，；对称轴位于轴左侧，符号相同，；抛物线与轴交于正半轴，，所以，该选项正确，不符合题意； B、∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； C、根据抛物线的顶点坐标公式和系数之间的关系得，顶点坐标为，整理得，， ∵， ∴，代入上式得， 顶点坐标为，该选项错误，符合题意； D、∵， ， ∴对于函数，当时的函数值大于当时的函数值， ，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， ， ，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，抛物线过点A、B，已知，点B在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，总成立；⑤关于x的方程没有实数根．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给函数图象，得出a，b，c的正负，再结合二次函数的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】由所给函数图象可知，， ∴．故①错误． ∵抛物线经过点， ∴． 又∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 所以， 则， 所以， 即．故②错误． ∵抛物线与y轴的交点在与点之间， ∴． 又∵， ∴， 整理得，．故③正确． ∵抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值为， ∴抛物线上任意一点（横坐标为m）的纵坐标都不小于， 则， 即．故④错误． 关于x的方程的解可看成函数的图象与的交点的横坐标， ∵抛物线顶点的纵坐标为n，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， 则方程没有实数根．故⑤正确． 故选：B． 4．如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时，，当时，，故①错误，②正确； ∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，， ∴，即，故③正确； 当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大， ∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点， ∴， ∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 5．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 下列结论：（1）；（2）当时，的值随值的增大而减小．（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质进行分析判断即可得解． 【详解】解：①由图表中数据可知，和时，函数值相同，都是3， ∴对称轴为直线， ∵时，， ∴， ∵时，， ∴， ∴，故（1）正确， ②∵， ∴开口向下， ∵抛物线的对称轴， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误， ∵时，，即抛物线经过， ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线经过， 即时，， ∴是方程的一个根； 故（3）正确； 当时，， ∴， ∴， ∴是方程的一个根． ∵时，， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， ∴当时，，故（4）正确． 综上所述，正确的有3个， 故选：C． 6．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象可知： 当时，， 故①错误； 当时，， 故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， 故③正确； ∵对称轴，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有②③． 故答案为：②③． 题型二、二次函数图像与一元二次方程和不等式 7．抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与x轴有两个交点、根的判别式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出k的取值范围，再结合二次函数定义可知即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， 解得：且． 故选：D． 8．老师给出了二次函数的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，解答时，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法确定解析式，灵活处理二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据表格，任选三点，确定抛物线的解析式，根据抛物线的解析式，结合题意，逐一判断即可． 【详解】解：∵和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴结论②错误； 设抛物线的解析式为， 把和分别代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴结论①正确； 令，得， 解得， 当时，， ∴结论③正确； ， ， 解得， ∴是方程 的一个根， ∴结论④正确； ∵，是抛物线上从左到右依次分布的两点， ， ∴结论⑤正确； 故选：A． 9．抛物线（a，b，c为常数，，）经过点，，有下列结论： ①一元二次方程的两个根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据抛物线与横坐标轴的交点，，可得一元二次方程的两个根为，，该选项正确，符合题意； ②由点，得，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； ③由题意得，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴当时，， ∴对于任意实数，总有，即， 该选项正确，符合题意； ④由①得， ∴， ∴， 解得，该选项正确，符合题意； ∴正确选项为：①③④， 故选：C． 10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用对称轴 得 ，由点 在图象上得 ，依据图象开口向下确定 ，结合代入法简化不等式、基于距离对称轴的位置比较函数值、分析二次方程根的范围，逐一进行判断即可． 【详解】解：图象过点，对称轴为直线， 关于的对称点为，， ，， 正确； 由图像可知，当时，， 当时，，即， 正确； ，消得， ， ， 抛物线开口向下，， ， 错误； 关于的对称点的坐标为， ，且，并对称轴的左侧随的增大而增大， ， 错误； 是抛物线与轴的交点， 抛物线与轴两交点的横坐标是一元二次方程的两根，如图， 即方程的两根为，而的两根为， ， 正确； 综上，， 故选：． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，涉及对称轴公式、函数过点的条件、系数关系推导、函数值大小比较、二次方程根与图象的关系等知识．根据图像的性质到代数推理的转化是解题的关键． 11．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 题型三、二次函数图像的对称性 12．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如表：当时，则x的取值范围是（   ） x 0 1 2 y 13 8 2 0 2 A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时与时的函数值相同，可得抛物线对称轴为，观察表格发现∶当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，结合对称性找到对应的另一个值，从而确定时的取值范围． 【详解】解：根据表格可知抛物线经过点， 对称轴为， 当时，． 根据对称轴为直线，其中距离对称轴个单位，故时． 观察表格发现：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∴抛物线开口向上，当x在和4之间时，． 当时，x的取值范围是． 故选：A． 13．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 14．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 15．（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 将代入，可得，由图象即可判断①；根据抛物线的对称性即可求解抛物线与轴的另一个交点，即可判断②；根据点和距离抛物线对称轴的远近即可判断③；根据时，函数有最大值，故，再整理即可判断④． 【详解】解：对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得，由图象可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故④正确； 故选：C． 16．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线与系数的关系，顶点坐标，对称轴，对称性，增减性，是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的．判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上， 故①符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 故②符合题意； 当或时， ， 故m的值为0， 故③不符合题意； ∵图象过原点，对称轴为直线，抛物线的开口向上 ∴图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限； 故④符合题意； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的． 故⑤不符合题意． ∴符合题意的有①②④ 故选：A． 17．抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（   ） x 0 1 y … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】ABD 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，符合题意； 根据对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，符合题意； 所以，当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； 根据对称轴是直线可知顶点为故D正确，符合题意； 故选：ABD． 18.已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项C错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选D． 19．如图，已知顶点为的抛物线经过点则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若点 在抛物线上，则 D．关于x的一元二次方程 的两根为和 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性、抛物线与x轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键． 根据抛物线与x轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误； 【详解】 解：A、抛物线与轴有两个交点，， ，结论正确，故本选项不符合题意； B、∵抛物线顶点坐标为，开口向上， ∴，结论正确，故本选项不符合题意； C、， ∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大， ∴，本选项结论正确，故本选项不符合题意； D、抛物线经过点， ∴关于的一元二次方程的一个根为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴另一个根为，本选项错误，故本选项符合题意； 故选：D． 题型四、二次函数图像平移变换 20．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的平移规律； 根据左加右减，上加下减的平移规律可得答案． 【详解】解：将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 21．抛物线可由抛物线平移得到，下列平移过程正确的是（    ） A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线， 故选：B． 22．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减求出新的函数解析式，进而求出顶点坐标即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：， 故顶点坐标为：； 故选C． 23．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行解题即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得到． 故选：C． 24.抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是， 故选：B． 题型五、由二次函数图像性质求参数取值范围 25．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，因为，故建立方程组，再解得，即可作答． （2）先整理得对称轴为直线，结合，说明关于对称轴对称，得，解得：； （3）把点代入得，则对称轴，整理得，因为当时，y随x的增大而增大，得且，解得：，即可作答． 【详解】（1）解：把点代入到二次函数的表达式中， 得 化简得：， 依题意联立方程组：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴． ∵， 说明关于对称轴对称， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点在此二次函数图象上， ∴，对称轴， ∵， ∴ ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴且， ∴ ∴ 解得：， ∴ ∵ ∴． 26．已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； （3）当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 27．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 28．已知，二次函数． (1)若该图象过点，求a的值； (2)点，是该函数图象上的两个不同点， ①若时，有，求a的值； ②当时，恒有，试求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征． （1）直接将点代入即可解得a的值； （2）①利用题意，由，求解a； ②由已知当，恒有，根据开口方向和增减性分别求解即可． 【详解】（1）解：∵函数图象过点， ∴将点代入，得， 解得， 即a的值为； （2）解：①函数的对称轴是直线， ∵，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则， ∴， ∴； ②函数的对称轴是直线， ∵，恒有， 当，时，； ∴； 当时，不符合题意舍去； 综上，a的取值范围为． 29．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 30．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)函数值与解析式中的系数有关，理由见解析． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点与点关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，，得到两点，关于对称轴直线对称，从而得，当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为． ∴当时，的取值范围为或； （2）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ， ∴， ∵点关于直线的对称点为 当时，函数的值，即当时，二次函数的值为； （3）解：函数值与解析式中的系数有关，理由如下： ∵两点，纵坐标相等，且在抛物线上， ∴，关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 31．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，和时，y值相等，即可求解； （3），可得，而时，，则时，，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：在函数的图象上， ， ， 对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：由（1）得，， 当时，；当时，． 根据对称性，和时，值相等， ． （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，，即， 解得：． 1．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 2．抛物线经过两点，对称轴为直线，则的值为（  ） A．等于1 B．等于2 C．等于c D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质， 根据抛物线上的两个点的函数值相等，可知两点关于对称轴对称，即可得，进而得出答案． 【详解】∵抛物线经过点， ∴点A，B关于对称轴对称， ∴， 即． 故选：B． 3．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（    ） A．该函数图象与轴的交点坐标是 B．当时，的值随值的增大而减小 C．当取1和3时，所得到的的值相同 D．将的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题根据二次函数解析式可得开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质及图象的平移可进行求解． 【详解】解：A、当时，则有，所以该函数图象与y轴的交点坐标为；故原说法错误； B、由二次函数解析式可知：对称轴为直线，开口向上，所以当时，的值随值的增大而增大；故原说法错误； C、因为二次函数的对称轴为直线，且，所以当取1和3时，所得到的的值相同，故原说法正确； D、该二次函数是由的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象，故原说法错误； 故选C． 4．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 5．已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度． 由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】如图，根据题意可知，该二次函数开口向下 对称轴为， ， 与点相比，点更靠近对称轴， 即，整理得， 当时，有， 解得， 当时，有， 解得， 综上，或． 故选：． 6．已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2025·湖北·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，x的取值范围为或．下列四个数中可能为k的值是（   ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征． 由当时，的取值范围为或可得抛物线的对称轴为直线，从而可得与的关系，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解． 【详解】解：当时，x的取值范围为或． 为抛物线上的点，， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线， ， ， ∴， ， 根据题意可得， 解得：， 将代入解析式得， ， ， ∴ ， 四个值中有可能为的是5， 故选：D． 8．（2025·山东威海·二模）如图，点，，在抛物线上，轴，，． (1)直接写出点的坐标 ；（用含，的式子表示） (2)将的面积记为． 求与之间的关系式； 若，当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)；的值为或 【分析】本题考查了二次函数的性质以及对称性，解一元二次方程，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线的解析式求出纵坐标即可； （2）过点作，交的延长线于点，由等角对等边求出，设，则，可求得点的坐标为，由点在抛物线上，得，解得解得：（舍），，再根据即可求解； 由，得，解出，得到抛物线的解析式，然后分三种情况进行讨论：1.当，即时；2.当，即时；3.当，即时；综上即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为，，轴， 关于对称轴对称， 点的横坐标为， 点在抛物线上， 将代入抛物线解析式，得， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 设，则， 可求得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得：（舍），， ； 由，得， 解得：， 抛物线的解析式为， 分三种情况考虑： 1.当，即时，， 整理得：， 解得：（舍），（舍）； 2.当，即时，， 解得：； 3.当，即时，， 整理得：， 解得：（舍），； 综上所述，的值为或． 9．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上任意三点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，；当时，；当时，； ①求，的值； ②若，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的值，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①，； ②或 【分析】（1）将，代入抛物线解析式中，求得后即可根据抛物线的对称轴为直线得解； （2）①结合二次函数的图象和性质推得抛物线的对称轴为，顶点为，且抛物线过点，结合抛物线的对称轴求得，将，代入抛物线解析式即可得到，的值； ②二次函数解析式为，分三种情况分析：当，即时；当，即时；当时，结合二次函数的图象和性质找出不同情况下最大值与最小值，从而求出的值． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式中， 得， ， 抛物线的对称轴为直线， 故． （2）解：①抛物线中， 该抛物线图象开口向上，有最小值，当时，取最小值， 则结合题意可得，抛物线的对称轴为，顶点为，且抛物线过点， 即， ， 将，代入抛物线解析式可得， ， 即， 解得． ②或． 结合①得，二次函数解析式为， 当时，二次函数取最小值， 当，即时， 内，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍）； 当，即时， ，即时，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍去），； ，即时，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得，（舍）； 当时， ，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍）； 综上或． 【点睛】本题考查的知识点是的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、的最值，解题关键是熟练掌握的图象与性质． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数图像的性质（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由二次函数图像判定代数式符号与大小关系 1 题型二、二次函数图像与一元二次方程和不等式 3 题型三、二次函数图像的对称性 5 题型四、二次函数图像平移变换 5 题型五、由二次函数图像性质求参数取值范围 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、由二次函数图像判定代数式符号与大小关系 1．如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于，，以下结论错误的是（     ） A． B． C．抛物线的顶点坐标为 D．若，则 3．如图，抛物线过点A、B，已知，点B在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，总成立；⑤关于x的方程没有实数根．其中结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 5．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 下列结论：（1）；（2）当时，的值随值的增大而减小．（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 题型二、二次函数图像与一元二次方程和不等式 7．抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．老师给出了二次函数的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当 时，；④是方程 的一个根；⑤若，是抛物线上从左到右依次分布的两点，则．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤ 9．抛物线（a，b，c为常数，，）经过点，，有下列结论： ①一元二次方程的两个根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 题型三、二次函数图像的对称性 12．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如表：当时，则x的取值范围是（   ） x 0 1 2 y 13 8 2 0 2 A． B． C．或 D．或 13．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2025·山东聊城·三模）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（   ） ①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 16．（2025·山东滨州·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： 0 1 2 3 3 0 m 3 ①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 17．抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（   ） x 0 1 y … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 18.已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 19．如图，已知顶点为的抛物线经过点则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．若点 在抛物线上，则 D．关于x的一元二次方程 的两根为和 题型四、二次函数图像平移变换 20．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 21．抛物线可由抛物线平移得到，下列平移过程正确的是（    ） A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 22．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 23．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 24.抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D．． 题型五、由二次函数图像性质求参数取值范围 25．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 26．已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 27．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 28．已知，二次函数． (1)若该图象过点，求a的值； (2)点，是该函数图象上的两个不同点， ①若时，有，求a的值； ②当时，恒有，试求a的取值范围． 29．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 30．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 31．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 1．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线经过两点，对称轴为直线，则的值为（  ） A．等于1 B．等于2 C．等于c D．不能确定 3．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（    ） A．该函数图象与轴的交点坐标是 B．当时，的值随值的增大而减小 C．当取1和3时，所得到的的值相同 D．将的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象 4．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 5．已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图像经过点，两点，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 6．已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，x的取值范围为或．下列四个数中可能为k的值是（   ） A． B．0 C．3 D．5 8．（2025·山东威海·二模）如图，点，，在抛物线上，轴，，． (1)直接写出点的坐标 ；（用含，的式子表示） (2)将的面积记为． 求与之间的关系式； 若，当时，的最大值为，求的值． 9．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上任意三点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，；当时，；当时，； ①求，的值； ②若，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的值，不必说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$