3.2二次函数（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.2 二次函数 第三章 二次函数 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念，. 2、通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 3、会根据实际问题求简单变量之间的二次函数关系式；在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣 什么是函数？ 什么叫做一次函数？ 什么叫做反比例函数？ 函数有哪些表示方法？ 在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的函数。 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 形如y= (k为常数，k≠0) 解析法 列表法 图象法 知识回顾 知识回顾 (1)、y=（m-2）xm²-3是正比例函数，则m= ; (2)、若反比例函数y=（2-k）x3-k², 则k=  ， 图象经过 象限 （3）一次函数y=-2x-3的图像不经过 象限 1、填 空：  -2 -2 一、三 一 知识回顾 (1) y = 2x+1 (2) y = -x-4 (5) y = -4x (6) y = ax+1 (4) y = 5x2 2、观察下列函数： 一次函数有 ； 反比例函数有 , （1）,（2）,（5） （3） a的值不确定一定不为0 二次函数 新课导入 它会与某种函数有联系吗? 节日的喷泉给人们带来喜庆,夏日的喷泉给人们带来凉爽. 你是否注意过喷泉水流所经过的路线? 新课探究 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? 橙子树接受阳光的多少等。 橙子的质量等。 自变量： 因变量： 橙子树的棵数或增加的棵数 橙子树间的距离、 橙子的总个数 每棵树结橙子的个数 新课探究 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有橙子树： （600-5x）个 假设果园增种x棵橙子树,那么 （100+x）棵 平均每棵树结橙子数： 新课探究 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. y=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60000 对于x 的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 解析式是关于x 的一个二次三项式 新课探究 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. ∵y=-5x2+100x+60000 (4)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？ 解得， ∴当y=60320时，即 -5x2+100x+60000=60320 想一想:种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多? 新课再探 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)² =100x²+200x+100. 对于x 的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 解析式是关于x 的一个二次三项式 新课再探 想一想 已知矩形的周长为40cm，（1）它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？ 解:设矩形其中一边长为x cm,由题意得 x（20-x）=100 -x2+20x=100 解得 x1=x2=10. 同理当-x2+20x=75时, 解得x1=5,x2=15. x cm （20-x） cm 一边 另一边 面积 长与宽的和为20cm （2）你能表示这个矩形的面积与边长的关系吗？ 设矩形面积为y，则： y=x（20-x） =-x2+20x（0<x<20） 2 18 36 12 8 96 10 10 100 15 5 75 …. 还可能是 解析式是关于x 的一个二次二项式 新课再探 想一想 两数的和是20，设其中一个数为x，你能写出这两个数的积的表达式吗？ 解:设其中一数为x, 积为y， 则另一个数为（20-x） y=x（20-x） =-x2+20x 这两个数的积y与其中一个数x的关系为 y=-x2+20x. 请大家独立思考完成 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 新课总结 提示: 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 新课总结 例如： y是x的二次函数 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100 y=-x2+20x S=a 2(正方形面积与边长的关系) S=πr 2(圆面积与半径的关系) h=gt 2(自由落体下落高度与时间的关系) 新课总结 二次函数的表达式是不是只有一种y=ax2+bx+c呢?是否还有别的表达式呢? ①y=ax2(a≠0,b=0,c=0) ②y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0) ③y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0) 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 几种特殊表示式: 称：a为二次项系数，ax2叫做二次项， b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。 例1 下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5) y=(x+3)²-x² (6) v =10πr² （是） （否） （是） （否） （否） （是） (7) y=x²+x³+25 (8) y =2²+2x （否） （否） (2) (4) 例题讲解 (1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍，则它的表面积S与底面半径r之间的关系式为 ． (2)某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系： ． (3)n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数m与球队数n之间的关系式为： ． 例2、列出下列函数的关系式． 例题讲解 S＝6πr2 y＝20(1＋x)2 m＝ 例题讲解 例3 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案 注意 新课练习 练一练 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 C 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C -3x2 -16 12 4、共享单车为市民出行带来了便利,某单车公司第一个月投放了a辆单车,计划第三个月投放y辆单车,设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系是(　　) A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2 C.y=(1-x)2+a D.y=x2+a  新课练习 A 5、若y=(m-3)+2x-3是关于x的二次函数,则m的值是(　　) A.3 B.-2 C.2 D.2或3 C 6、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增 加多少? (1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx (2)当x=1cm时, y =3π(cm2) 当x =cm时, y =(2+2 )π(cm2) 当x =2cm时, y =8π(cm2) 新课练习 解： 二次项系数 自变量 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 与其它函数一样，二次函数中x每取一个值,y都有唯一确定的值与之对应，两者之间满足“一一对应” (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 课堂小结 提升练习 1、下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = ； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9 提升练习 2、在一定条件下，若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的函数关系式为s=5t2+2t,则当t=4s时，该物体所经过的路程为（ ） A.28m B.48m C.68m D.88m D 3、若函数y=(m+1)是二次函数,求m的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零. 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