12.第3章 一次方程（组） 对点上分（类题推送）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学配套课件（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦七年级上册第三章一次方程（组），系统梳理一元一次方程、二元一次方程（组）的概念、性质、解法及应用，通过“上分点”分模块整合知识，结合“上分总结”提炼关键要点，构建从概念到应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“基础诊断-对点补弱-提优验收”分层复习策略，精选各地期中期末真题设计类题推送，如通过新运算定义题培养模型意识，解方程组题提升运算能力，助力学生精准突破薄弱点，教师可高效开展个性化复习教学，强化知识巩固效果。

数 学 七年级上册 湘教版 1 2 第3章 对点上分（类题推送） 基础上分 练透考点 3 上分点1 一元一次方程的概念及解 上分点2 等式的基本性质 上分点3 解一元一次方程 上分点4 二元一次方程（组）的概念及解 上分点5 解二（三）元一次方程组 上分点6 一次方程（组）的一般应用 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 编者按：先做基础诊断（A卷）检测薄弱，再到对点上分处进行错题对应练习，补 足短板，最后做提优验收（B卷）综合提升 上分点1 一元一次方程的概念及解 1.［2024安徽阜阳颍州区期末］下列各式中，是方程的个数为( ) ；；；； ； . C A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】①②④⑤⑥是方程，符合题意；③不是等式，故不是方程，不符合题意. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 5 2.［2024江苏扬州期中］下列选项中是一元一次方程的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，方程 中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选 项不符合题意；B选项，不是整式，故 不是一元一次方程，故本选项不 符合题意；C选项，方程 是一元一次方程，故本选项符合题意；D选 项， 是代数式不是方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 6 3.［2025河南南阳宛城区月考］下列方程中，解为 的方程是( ) C A. B. C. D. 【解析】把代入各个选项中的方程，能成立的只有 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 7 4.［2025山东济宁月考］学习完一元一次方程后，甲、乙两同学分别写出了一个结 论： 甲同学：若是关于的方程的一个解，则 ； 乙同学：若，则关于的方程的解为 .下列说法正 确的是( ) A A.只有甲同学的结论正确 B.只有乙同学的结论正确 C.甲、乙两同学的结论都正确 D.甲、乙两同学的结论都错误 【解析】若是关于的方程的一个解，则 ， 故甲同学的结论正确；若，则原方程变为 ，解得 ，故乙同学的结论错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8 上分点2 等式的基本性质 5.［2025广东东莞月考］下列运用等式的基本性质对等式进行的变形中，正确的是 ( ) B A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【解析】A选项，若，则 ，所以A选项不符合题意；B选项，若 ，则，所以B选项符合题意；C选项，若，，则 ， 所以C选项不符合题意；D选项，若，，则 ，所以D选项不符合题 意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 9 6.［2025湖南株洲月考］已知 ，利用等式的基本性质可变形为 ，则， 必符合的条件是( ) B A. B. C. D.， 为任意有理数或整式 【解析】因为，，所以 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 10 7.［2024黑龙江哈尔滨香坊区月考］如图，第一个天平的两侧分别放2个球体和5个 圆柱，第二个天平的两侧分别放2个正方体和3个圆柱，两个天平都平衡，则与6个 球体的质量相等的正方体的个数为( ) D A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】由题图可知，1个球体的质量等于2.5个圆柱的质量，则6个球体的质量等 于15个圆柱的质量；1个圆柱的质量等于 个正方体的质量，故6个球体的质量等于 10个正方体的质量.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 11 8.［2024湖南永州期末］已知 ，利用等式的基本性质可求得 ___. 3 【解析】因为，， ， ，所以，所以 .故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 12 上分点3 解一元一次方程 9.［2025山东德州德城区月考］下列说法中正确的是( ) A A.，去分母得 B.，去括号得 C.，移项、合并同类项得 D.，解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 13 【解析】A选项，，去分母得 ，正确， 符合题意；B选项，，去括号得 ，原 说法错误，不符合题意；C选项，，移项、合并同类项得 ， 原说法错误，不符合题意；D选项，，解得 ，原说法 错误，不符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 14 10.［2025河北唐山路南区月考］把方程 的分母化成整数，结果应 为( ) D A. B. C. D. 【解析】将分子、分母同时乘10，原方程化为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 15 11.解下列方程： （1） . 【解】.去括号，得 .移项，得 .合并同类项，得.系数化为1，得 . （2） . 【解】.去括号，得 .移项， 得.合并同类项，得.系数化为1，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 16 （3） . 【解】.去括号，得.移项，得 . 合并同类项，得.系数化为1，得 . （4） . 【解】.去括号，得 .移项，得 .合并同类项，得.系数化为1，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 17 12.解下列方程： （1） . 【解】.去分母，得 .去括号，得 .移项，得.合并同类项，得 .系数化为1， 得 . （2） . 【解】.去分母，得 .去括号，得 .移项，得 .合并同类项，得 .系数化为1，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 18 （3） . 【解】.去分母，得 .去括号，得 .移项，得.合并同类项，得 . 系数化为1，得 . （4） . 【解】 .去分母，得 .去括号，得 .移项，得 . 合并同类项，得.系数化为1，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 19 （5） . 【解】.去括号，得 .去分母，得 .去括号，得 .移项，得 .合并同类项，得.系数化为1，得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 20 （6） . 【解】，则有或 .解方程 ,去分母，得.去括号，得 .移项、 合并同类项，得.系数化为1，得.解方程 ,去分母， 得.去括号，得 .移项、合并同类项，得 .系数化为1，得.因为，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 21 上分点4 二元一次方程（组）的概念及解 13.［2024江苏南京鼓楼区校级质检］下列方程是二元一次方程的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 22 【解析】 选项 分析 判断 A 含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，所以 不是二元一次方程 × B 符合二元一次方程的定义 √ C 含有三个未知数，不是二元一次方程 × D 化简后为 ，是一元一次方程 × 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23 上分总结 二元一次方程的必要条件 （1）方程两边都是整式；（2）含有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 24 14.［2024江苏常州天宁区校级期中］已知 是关于， 的二元一次方程 的一个解，则 的值为( ) B A. B.6 C. D.3 【解析】将代入原方程得，解得，所以 的值为6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 25 15.［2024浙江杭州上城区校级期中］下列方程组中是二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 结论 A、C 含未知数的项的次数有2，不属于二元一次方程组 不符合题意 B 满足二元一次方程组的定义，此方程组是二元一次方程组 符合题意 D 方程组共含有3个未知数，此方程组不属于二元一次方程组 不符合题意 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26 16.［2024河北邯郸期中］若二元一次方程组的解为则“ ”可以 表示为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为二元一次方程组的解为所以，即“ ”可 以表示为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 17.［2024河南南阳期末］二元一次方程 的非负整数解有( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.无数个 【解析】当时，；当时，；当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当 时，，所以二元一次方程 的非负整数解有 共7个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 上分点5 解二（三）元一次方程组 18.［2024河南信阳平桥区校级质检］用代入法解方程组 时，将方 程①代入②中，所得的方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】把①代入②得 ，去括号得 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 19.［2024广东韶关期末］李强用加减消元法解方程组 其解题步骤如 下： （1）得，解得 ； （2）得，解得，所以原方程组的解为 则下列说法正确的是( ) B A.步骤都不对 B.步骤 都对 C.本题不适宜用加减消元法解 D.加减消元法不能用两次 【解析】步骤（1）消去求得的值，步骤（2）消去求得 的值，两个步骤都正 确，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 30 20.［2024辽宁辽阳期末］请用指定的方法解下列方程组： （1） （代入消元法） 【解】将②代入①，得，解得 . 将代入②，得，所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 31 （2） （加减消元法） 【解】，得，，得 . 将代入①，得，解得，所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 21.［2025上海闵行区期末］解方程组： 【解】，得， ，得 ，，得，解得.把 代入④，得 .把，代入②，得.所以原方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 33 上分点6 一次方程（组）的一般应用 （实际应用问题请见上分专题（四）） 22.［2024河南周口沈丘月考］若代数式与的和为5，则 的值为 ( ) C A.18 B.10 C. D.7 【解析】依题意，得 .去分母，得 .去括号，得 . 移项、合并同类项，得.系数化为1，得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 34 23.［2024江西抚州期末］定义：若，则称与是关于 的关联数.例如： 若，则称与是关于2的关联数.若与 是关于3的关联数，则 的值是( ) A A.1 B. C.1.8 D.2 【解析】根据题意可得.去括号，得 .移 项，得.合并同类项，得.系数化为1，得 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 35 24.［2025黑龙江哈尔滨月考，中］阅读：关于的方程 在不同的条件下解 的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当， 时，方 程有无数解；（3）当， 时，方程无解.请你根据以上知识作答：已知关 于的方程无解，则 的值为____. 【解析】，去分母，得 ，去括号，得 ，移项，得，合并同类项，得 . 因为关于的方程无解，所以，解得 .故答案为 . 上分点拨 无解问题 一元一次方程无解的条件是方程中未知数的系数为0，常数项不为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 36 25.［2025河南安阳期中］对有理数，定义一种新运算“*”： ，其 中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知， ， 那么 ___. 5 【解析】由题意得， ，联立得 解得 所以 .故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 37 26.［2024湖南邵阳北塔区期中］若方程组与方程组 同解， 则 ___． 8 【解析】，得，解得.，得 ，解得 .把，代入方程组得解得 故 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 38 上分总结 二元一次方程组同解问题 若两个方程组中各有一个含参数的方程，则将不含参数的两个方程重新组合后解 这个新的方程组，再将方程组的解代入含参的方程中求解；若一个方程组中的两 个方程不含参数，则先解这个方程组，再将方程组的解代入含参的方程组中求解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 39 27.［2024山东济南历城区期末，中］有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三 角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数字之和都相等.图 （1）是这种特殊的三角形幻方，中间较小三角形三个顶点处的数字之和为 ，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15.图（2）也是这 种特殊的三角形幻方，请分别写出圈内字母所代表的数字，并写出求解过程. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 40 【解】因为，所以 ； 因为，所以 ； 因为，所以 ； 因为，所以 ； 因为，所以 . 故圈内字母，，，，所代表的数字分别为，7，4，2， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 41 $$