11.卷6 第3章 一次方程（组）基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学配套课件（湘教版2024）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次方程（组）的概念、解法及应用，通过分类题型（选择、填空、解答）和典型例题解析，结合“上分总结”梳理等式性质、加减消元等核心方法，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入传统文化（明代《算法统宗》问题）、跨学科（物理密度公式）等情境题，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力和推理意识，设置不同难度题目及“上分技巧”，实现分层复习，助力学生巩固基础提升能力，也为教师提供精准复习教学支持。

数 学 七年级上册 湘教版 1 2 卷6 第3章基础诊断卷（A卷） 考查内容：一次方程（组） 3 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 时间： 满分：100分 . 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意. 1.［2025青海果洛州期末］下列式子中，是方程的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 【解析】 选项 分析 结论 A 含未知数，但不是等式 不是方程，不符合题意 B 是等式，但不含未知数 不是方程，不符合题意 C 含未知数，但不是等式 不是方程，不符合题意 D 含未知数，且是等式 是方程，符合题意 故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6 2.［2025湖南长沙雅礼中学月考］已知是方程 的一个解， 那么 的值是( ) D A.3 B.1 C. D. 【解析】将代入方程中，可得 ，解得 故选D. 上分总结 根据方程的解求值的方法 . 解此类题的方法是把方程的一组解代入方程，将其转化为关于未知字母的方程， 然后求相应字母的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7 3.［2025天津河东区期末］下列运用等式的基本性质变形一定正确的是( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8 【解析】 选项 分析 结论 A 若，则,,只有当 时， 才成立 不正确 B 若,则,,只有当时， 才成立 不正确 C 若,只有当时， 才成立 不正确 D 若，则 正确 故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9 上分总结 等式的变形判断方法 . 分析题目的已知条件和结论，从已知条件到结论是同时加（或减或乘）同一个数 或代数式，则变形正确.若是同时除以一个数，则需注意除数不能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10 4.［2025河北邢台襄都区月考］利用加减消元法解方程组 时，嘉 嘉说：“要消去，可以将.”淇淇说：“要消去 ，可以将 .”关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是( ) B A.嘉嘉对，淇淇不对 B.嘉嘉不对，淇淇对 C.嘉嘉和淇淇都对 D.嘉嘉和淇淇都不对 【解析】嘉嘉：将，可得，不可以消去 .淇淇： 将，可得，可以消去 .故嘉嘉不对，淇淇对.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 5.［2025甘肃兰州校级期末］解方程： ，下面去分母变形正确的 是( ) A A. B. C. D. 【解析】去分母得 ．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12 6.传统文化［2025福建泉州月考］我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一 支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5 尺计算）.”大意是现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺； 如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程 ；根据 第二次将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，可得出方程 ，那么方程组 是 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13 （第7题图） 7.［2025湖北武汉期中，中］如图，三个形状大小完全相同的小 长方形可以拼成一个大长方形．如果大长方形的周长为 ， 那么一个小长方形的面积是( ) B A. B. C. D. 【解析】设小长方形的宽为，则长为 .根据题意，得 ，解得，所以 ．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14 8.［2025浙江温州月考，中］如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位 长度，其中点，，，对应的数分别是整数，，，，且 ，则 的值为( ) （第8题图） A A. B. C.3 D.1 【解析】根据题意，知，即，将代入 ，得 ，解得，所以，，所以 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15 9.［2025湖北武汉月考，中］“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组 的解是则方程组 的解为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16 【解析】将方程组 中每一个方程两边同时除以4，得 设，，则 因为 方程组的解是 所以 即 解得 所以方程组的解为 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17 10.新考法［2025重庆校级期中，偏难］如图是某月的月历，某同学在该月历上圈 出了三个数，， ，并求出了它们的和为57，则这三个数在月历中的位置不可能 是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18 【解析】A选项，因为， ，所以 ，解得 ，故不符合题意；B选项，因为 ，，所以，解得 ， 故符合题意；C选项，因为， ，所以 ，解得 ，故不符合题意；D选项，因为 ，，所以，解得 ，故 不符合题意．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 上分技巧 列方程解决月历中的数字问题 解答此类问题时，需根据月历中各个数之间的等量关系，并结合题意建立方程， 解方程后需回归月历看所得答案是否符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11.［2025湖南长沙雅礼实验中学期末］已知方程组 是关于 ，的二元一次方程组，则 的值是____． 【解析】由题意得，，，解得， ，则 ．故答案为 ． 上分技巧 二元一次方程的判断 关于,的二元一次方程满足,的系数不为0，且, 的次数均为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21 12.跨学科问题［2025湖南永州冷水滩区校级期中］在物理学中，物体的密度 、 物体的体积以及物体的质量之间有以下关系：，变形可得 ，其变 形的依据是___________________________________________________． 等式两边同时除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等 【解析】因为 ，所以根据题意可知变形的依据是等式两边同时除以同一个不 为0的数，等式两边仍然相等.故答案为等式两边同时除以同一个不为0的数，等式 两边仍然相等． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22 13.开放性问题［2025河南洛阳月考］一个二元一次方程组的解是 试写出 一个符合要求的方程组：_ ___________________________. （答案不唯一） 【解析】因为，，所以， ，所以可得方程组 故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 14.［2025吉林省吉林市昌邑区校级期末］已知与 互为相反数，则 ____． 【解析】由题意知，，解得，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 15.［2025山西吕梁期末］对于关于，的二元一次方程组 佳佳 通过计算发现，无论取何值， 的值始终不变，则这个值是____. 1.5 【解析】 由①得，将 代入②，得 ，解得，将 代入①，得 ，解得，所以原方程组的解为 则 ，故答案为1.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16.［2025上海长宁区校级月考］小郑的年龄比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好 是小郑的5倍，则小郑今年的年龄是___岁． 7 【解析】设小郑今年的年龄是岁，则妈妈今年的年龄是 岁.由题意得 ，解得 ，故小郑今年的年龄是7岁．故答案为7． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 17.［2025湖南株洲期末，中］如果方程组的解使代数式 的 值为10，那么 __． 【解析】得，得，解得 .将 代入④得，将代入②得，所以将求出的，， 的值 代入中，得，解得．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 27 18.规律探究［2025江苏南京玄武区校级月考，偏难］如图，已知 正方形的边长为4，,两动点分别从正方形的顶点 , 同时出发，沿正方形的边开始移动，点 沿顺时针方向移 动，点沿逆时针方向移动.若点的速度是点 的速度的3倍，则 【解析】设它们第2 024次相遇时点移动的路程为，则点的移动路程为 .根 据题意，得，解方程，得 .因为 ，所以它们第2 024次相遇在边 上．故 答案为 ． 它们第2 024次相遇在边____上．（选填“”或“”或“”或“ ”） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 三、解答题：本题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 19.［2025广东广州校级月考］（6分）解方程： （1） ； 【解】移项，得 . …………（1分） 合并同类项，得 .…………（2分） 方程的两边都除以5，得 . …………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 29 （2） ． 【解】去分母，得 . 去括号，得 .…………（4分） 移项，得 . 合并同类项，得 .…………（5分） 方程的两边都除以，得 . …………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 20.［2025山东济南章丘区月考］（6分）解方程组： （1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 31 【解】 得 ， 解得 .…………（1分） 将代入①得 ， 解得 ，…………（2分） 所以原方程组的解为 …………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 【解】 整理得 由①得，③ 将③代入②得 ，解得 ， …………（4分） 将代入③得 ， …………（5分） 所以原方程组的解为 （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 21.新定义［2025湖南长沙北雅中学月考］（8分）规定：若关于的方程 的 解为，则称该方程为“差解方程”.例如：方程的解为 ，且 ，则 是“差解方程”． （1）判断 是否为“差解方程”．请说明理由. 【解】 是“差解方程”. …………（1分） 理由：，解得 .…………（2分） 因为 ， 所以 是“差解方程”.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 34 （2）若关于的方程是“差解方程”，求 的值． 【解】，解得 .…………（5分） 因为关于的方程 是“差解方程”，所以 ， …………（7分） 解得 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 35 22.［2025安徽亳州月考］（8分）已知关于，的方程组 与 有相同的解. （1）求这个相同的解； 【解】因为两方程组有相同的解，所以可将两方程组重新组合得到方程组 解①得 故这个相同的解为 …………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 36 （2）求， 的值； 【解】将代入②得 …………（4分） 解得 …………（6分） （3）若（1）中的解也是关于，的方程的解，求 的值. 【解】将代入 ，得 ，解得 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 37 23.［2025江苏南通月考］（8分）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由 塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并 且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装. （1）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每名工人每 天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成 套生产正方体教具？ 【解】设安排名工人生产塑料棒，则安排 名工人生产金属球. 依题意得 ，…………（1分） 解得，所以 . 答：应安排18名工人生产塑料棒，15名工人生产金属球.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 38 （2）［中］现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示），若 恰好用了1 800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 档次 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 【解】因为正方体教具的均价为 （元/套），所以只有购买高档、 低档和购买中档、低档两种情况.…………（4分） 当购买高档、低档正方体教具时，设购买高档正方体教具套，低档正方体教具 套.依题意得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 39 所以学校购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套.…………（5分） 当购买中档、低档正方体教具时，设购买中档正方体教具套，低档正方体教具 套.依题意得 解得 所以学校购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套.…………（7分） 答：该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体 教具80套，低档正方体教具20套. …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40 24.［2025天津河北区期中］（10分）在一条光滑的轨道上，滑块， 可在轨道上 进行无摩擦地滑动，，分别从点， 同时出发，以相同的速度相向运动 （不考虑滑块的尺寸大小）．以轨道所在直线建立数轴，规定向右为正方向， ， 两点表示的数分别为，，且，满足 ． （1）____， ____. 25 【解】因为 ， 所以， ， 所以， ， 故答案为 ，25.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 41 （2）［中］若，的速度均为3个单位长度/秒，运动时间为秒．， 碰撞后会 相互弹开，并分别以原来速度的和 原路返回，则经过多长时间，两滑块在轨道 上相距10个单位长度？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 42 【解】碰撞前，由题意得 ， 解得 .…………（4分） 令 ， 解得，所以碰撞时，， 在数轴上10对应的点处.…………（5分） 碰撞后，的速度为1个单位长度/秒， 的速度为4个单位长度/秒. 由题意得 ， 解得 ，…………（6分） 所以经过 秒或7秒，两滑块在轨道上相距10个单位长度.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）［难］拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是6，，，，为数轴上三个动点，点 从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为点 速度的3倍， 点从原点出发，速度为每秒1个单位长度．若点，， 同时出发，都向右运动， 求多长时间后点到点， 的距离相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 44 【解】设运动的时间为秒.点追上 点前， 由题意得 ， 解得 ;…………（8分） 点追上 点后， 由题意得 ， 解得 .…………（9分） 所以秒或秒后，点到点， 的距离相等．…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 45 $$