8.上分专题（三） 整式中的规律探索-【初中上分卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学配套课件（湘教版2024）

该初中数学课件聚焦整式中的规律探索，系统梳理数式、图形、表格、等式四类变化规律，通过中考真题解析与典型例题，构建“类型-例题-方法”的知识网络，帮助学生明晰各规律间的内在逻辑。 其亮点在于融合“观察-归纳-应用”复习策略，如通过3ⁿ末位数字循环培养抽象能力，图形规律题发展几何直观，分层设计基础题与中考题，助力学生用数学眼光发现规律，用数学思维推理，教师可借此精准实施个性化复习，提升巩固效果。

数 学 七年级上册 湘教版 1 2 上分专题（三） 整式中的规律探索 重难上分 攻克难点 3 类型1 探索数、式的变化规律 类型2 探索图形的变化规律 类型3 探索表格的变化规律 类型4 探索等式的变化规律 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 4 类型1 探索数、式的变化规律 1.［2024河南开封质检］观察下列算式：，，， ， ，，, ，用你所发现的规律得出 的末位数字是 ( ) C A.3 B.9 C.7 D.1 【解析】由题可知（且 为整数）的末位数字以3，9，7，1循环出现.因为 ，所以的末位数字和 相同，为7，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.［2024天津期中］下面是按一定规律排列的式子：，，，， ， 则第8个式子是( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， ， ，则第8个式子是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 3.［2024浙江宁波象山期中］如图，在数轴上，点表示数1，现将点 沿数轴做如 下移动，第1次将点向左移动3个单位长度到达点，第2次将点 向右移动6个 单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点， ，按照这种 移动规律进行下去，第2 023次移动到点，那么点 所表示的数为______ ____． 【解析】由题可得点所表示的数是，点 所表示的数是 ，点所表示的数是，点 所表示的数是， ，所以点 所表示的数是 ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 4.［2024云南昭通永善期中］观察下列式子：，，， ， ，请你找出其中规律，并将第 个式子写出来：______________． 【解析】根据给出的式子中的前项依次为，，，，得第 个式子中的前项 应为.根据给出的式子中的后项依次为，4，，16，得第 个式子中的后项 应为，所以第个式子为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 类型2 探索图形的变化规律 5.［2025重庆渝北区期中］如图，第1个图形中，互不重叠的三角形共有4个，第2 个图形中，互不重叠的三角形共有7个，第3个图形中，互不重叠的三角形共有10 个， ，按照此图形的变化规律，第5个图形中，互不重叠的三角形共有( ) B 第1个图形 第2个图形 第3个图形 A.13个 B.16个 C.18个 D.20个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 【解析】由题图可知，后一个图形中互不重叠的三角形个数总比前一个图形多3， 所以第个图形中，互不重叠的三角形共有 个，所以第5个 图形中，互不重叠的三角形共有 （个）．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 6.［2025山东济南期中］如图是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现， 图A比图A多出2个“树枝”，图A比图A多出4个“树枝”，图A比图A 多出8个 “树枝”， ，按此规律，图A比图A 多出“树枝”( ) A A.384个 B.256个 C.128个 D.127个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 【解析】由题意可得，图A比图A多出2个“树枝”，图A比图A 多出4个“树枝”， 图A比图A多出8个“树枝”，图A比图A多出16个“树枝”，图A比图A 多出32个 “树枝”， ，所以图A比图A多出个“树枝”，所以图A比图A 多出256个 “树枝”，图A比图A多出128个“树枝”.因为，所以图A比图A 多 出384个“树枝”．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.［2024山西太原期中］如图是某同学在沙滩上用石子摆成的“小房子”．观察图形 的变化规律，则第 个“小房子”需要__________________个石子． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 【解析】把“小房子”分为上、下两部分来观察：第一个“小房子”上面的石子个数 为1，第二个“小房子”上面的石子个数为3，第三个“小房子”上面的石子个数为5， 第四个“小房子”上面的石子个数为7， ，故第 个“小房子”上面的石子个数为 ;第一个“小房子”下面的石子个数为 ，第二个“小房子”下面的石子个 数为，第三个“小房子”下面的石子个数为 ，第四个“小房子”下面的 石子个数为， ，故第个“小房子”下面的石子个数为，故第 个 “小房子”需要 个石子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 上分技巧 图案规律探索的方法 . 寻找基础图形的个数与图案序号之间的联系，从而得出第 个图案中基础图形的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 类型3 探索表格的变化规律 8.［2025湖南湘潭月考］下列表格中的四个数都是按照规律填写的. 则表中 的值是_____. 209 【解析】根据表格可得规律：第个表格中，左上的数字为，左下的数字为 ， 右上的数字为，右下的数字为，所以 ，解得 ，所以 .故答案为209. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 9.［2025北京海淀区月考，难］已知月历表中同行的数从左向右依次递增1，同列 的数从上向下依次递增7. 图（1） 探究1： 图（1）是某月的月历表，现要探究带阴影的“口” 字方框中的4个数的数量关系，方框可以任意移动.小明先假 设左上角的数为 ，他通过计算发现斜对角的两个数字之和 均为___________，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数 满足斜对角两数之和______（填“相等”或“不相等”）； 相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 【解析】由题意可知方框中右上角的数为，左下角的数为 ，右下角的 数为.因为， ，所以斜对 角的两个数字之和均为 ，“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和相等. 故答案为 ，相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 图（2） 探究2： 小明又探究了图（2）中带阴影的十字方框中 的5个数的数量关系，发现当十字方框任意移动位置时 这5个数之和总是5的倍数，请你说明他的结论成立的理 由：____________. 理由见解析 【解析】理由：设十字方框中的正中间的数为 ，则这 5个数之和是 ，所以 当十字方框任意移动位置时，这5个数之和总是5的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 类型4 探索等式的变化规律 10.［2024广东广州期中］观察下列等式： ， ，， ，根据前 面各式的规律，可得 的值为____， 的值的个位数字是___． 15 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 【解析】由题意可得（ 为正整数）， 所以 ， .因 为，个位数字为2;，个位数字为4;，个位数字为8; ，个 位数字为6;，个位数字为2;，个位数字为4; ，个位数字为 8;，个位数字为6; ，，所以的个位数字与 的个 位数字相同，都是6，所以 的个位数字是5，所以 的值的个位数字是5．故 答案为15，5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 11.［2025四川成都期中］观察下列等式，解决问题. ； ； ； ； …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 （1）你发现了什么规律？你能用代数式表示出来吗？ 【解】规律：从1开始，1个奇数的和是1；前2个奇数的和等于2的平方，即 ；前 3个奇数的和等于3的平方，即；前4个奇数的和等于4的平方，即， . 所以从1开始，个连续的奇数相加，它们的和为 ，即 （ 是正整数）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 （2）根据（1）中的规律，计算： . 【解】 . （3）根据（1）中的规律，计算： . 【解】 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 $$